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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{ \Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES 
Antilles juin 2003 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

 Dans cette partie, on étudie la répartition des étudiants dans les différentes filières universitaires en fonction de la Catégorie Socio-Professionnelle (CSP) de leurs parents. Les catégories socio-professionnelles retenues sont :

\setlength\parindent{9mm}
CSP A : cadre supérieur, cadre moyen, profession libérale, patron de l'industrie et du
commerce.

CSP B : ouvrier, employé, personnel de service, ouvrier agricole.

CSP C : agriculteur exploitant.

CSP D : autre.
\setlength\parindent{0mm}

Les différentes filières universitaires sont regroupées en :

\setlength\parindent{9mm}
Type S : sciences, santé.

Type L: Lettres. Type E économie et droit.

Type I : IUT et autres.

Tableau 1 : Répartition en pourcentage des étudiants dans les différentes filières en fonction de la CSP de leurs parents.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 			&CSP A		&CSP B		&CSP C	&CSP D		& 	Total\\ \hline
Type S		&64,7\,\%	&17,5\,\%	&4,5\,\%&13,3\,\%	&100\,\%\\ \hline
Type L		&51,2\,\%	&24\,\%		&4,2\,\%&20,6\,\%	&100\,\%\\ \hline
Type E		&54,2\,\%	&26\,\%		&4,5\,\%&15,3\,\%	&100\,\%\\ \hline
Type 1		&49\,\%		&31,3\,\%	&7,4\,\%&12,3\,\%	&100\,\%\\ \hline
Toutes filières
confondues	&56,7\,\%	&22,7\,\%	&4,7\,\%&15,9\,\%	&100\,\%\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item Donner la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard parmi ceux qui suivent des études d'économie ou de droit ait ses parents classés dons la CSP A.
		\item  Donner la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard dans la population globale des étudiants ait ses parents exploitants agricoles.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
Tableau 2 : Probabilité qu'un étudiant choisi ou hasard dans l'ensemble des étudiants soit dans les diverses filières.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&Type S	&Type L	&Type E	&Type I \\ \hline
Probabilité	&0,369	&0,298	&0,249	& 0,084 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On choisit un étudiant au hasard dans la population globale des étudiants.

Soit $A$ l'évènement : l'étudiant choisi a ses parents dans la CSP A. On définit de même les évènements $B$, $C$ et $D$.

Soit $S$ l'évènement : l'étudiant est dans la filière de type S. On définit de même les évènements $L$, $E$ et $I$.

Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E \cap A$.
		\item L'étudiant choisi a ses parents dans la CSP A. Quelle est la probabilité pour qu'il suive des études d'économie ou de droit ?
		\item L'étudiant choisi a ses parents dans la CSP B. Quelle est la probabilité pour qu'il suive des études d'économie ou de droit ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{(candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)}

\bigskip

\emph{Les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés.}

La production nette d'électricité nucléaire en France, en milliards de kWh est donnée par le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $x_i$		&85		&90		&95		&96		&97		&98		&99\\ \hline
Production $y_i$&213	&298	&359	&378	&376	&368	&382\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal : sur l'axe des abscisses, on placera 84 à l'origine et on choisira 1 cm pour 1 an. Sur l'axe des ordonnées,  on placera O à l'origine et on choisira 1 cm pour 20 milliards de kWh.
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage des points associé à la série 
statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$.
		\item Quelles sont les coordonnées du point moyen G ?
		\item Placer G.
	\end{enumerate}
\item Ajustement affine
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant la méthode des moindres carrés, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au centième.
		\item Tracer cette droite sur le graphique. Expliquer la méthode utilisée pour le tracé.
	\end{enumerate}	
\item Estimation de production
	\begin{enumerate} 
		\item 	En supposant que le modèle affine reste valable jusqu'en 2020, estimer à l'aide de ce modèle, au milliard de kWh près, la production d'électricité nucléaire en France en 2020.
		\item	On pose $X =  \ln (x)$. L'équation de la droite de régression de $y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y = \nombre{1119}X - \nombre{4745}$.

En supposant que le modèle logarithmique reste valable jusqu'en 2020, estimer à l'aide de ce modèle, au milliard de kWh près, la production d'électricité nucléaire en France en 2020.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{(Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)}

\bigskip

\textbf{I-} Un musée est constitué de 9 salles notées A, B, C, D, E, F, G, H et S.

Le plan du musée est représenté ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,6)
\psset{unit=1cm,linewidth=1.35pt}
\psframe(0,0)(8,6)
\psline(2,0)(2,0.7)\psline(2,1.3)(2,2.7) \psline(2,3.3)(2,4.7) 
\psline(2,5.3)(2,6)\psline(4,0)(4,0.7) \psline(4,1.3)(4,2.7)
\psline(4,3.3)(4,4.7)\psline(4,5.3)(4,6)\psline(6,0)(6,0.7)
\psline(6,1.3)(6,2.7) \psline(6,3.3)(6,4.7) \psline(6,5.3)(6,6)
\psline(2,5.3)(2,6) \psline(4,5.3)(4,6) \psline(6,5.3)(6,6)
\psline(2,2)(2.7,2) \psline(3.3,2)(4.7,2) \psline(5.3,2)(6,2)
\psline(2,4)(2.7,4) \psline(3.3,4)(4.7,4) \psline(5.3,4)(8,4)
\rput(1,3){S} \rput(3,3){D} \rput(3,1){G} \rput(3,5){A}
\rput(5,1){H} \rput(5,3){E} \rput(5,5){B}
\rput(7,2){F} \rput(7,5){C}   
\end{pspicture} 
\end{center}

Ainsi, un visiteur qui se trouve dans la salle S peut atteindre directement les salles A, D ou G. S'il se trouve dans la salle C, il peut se rendre directement dans la salle B, mais pas dans la salle F.
 
On s'intéresse au parcours d'un visiteur dans ce musée. On ne se préoccupe pas de la manière dont le visiteur accède au musée ni comment il en sort. Cette situation peut être modélisée par un graphe, les sommets étant les noms des salles, les arêtes représentant les portes de communication.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dessiner un graphe modélisant la situation décrite.
\item Est-il possible de visiter le musée, en empruntant chaque porte une fois et une seule ?

Justifier en utilisant un théorème du cours sur les graphes.
\item Pour rompre une éventuelle monotonie, le conservateur du musée souhaite différencier chaque salle de sa ou des salles voisines (c'est-à-dire accessibles par une porte) par la moquette posée au sol. Quel est le nombre minimum de types de moquettes nécessaires pour répondre à ce souhait ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II} - On note $M$ la matrice à 9 lignes et 9 colonnes associée au graphe précédent, en convenant de l'ordre suivant des salles S, A, B, C, D, E, F, G, H. Le graphe n'étant pas orienté, comment cela se traduit-il sur la matrice ?

\medskip

\textbf{III} - On donne la matrice :

\[M^4 = \begin{pmatrix}
 18&12& 11&2& 20& 12& 6& 12& 12\\
 12& 20& 3& 6& 11&20& 5& 18& 5\\
 11&3& 16& 0& 19& 3& 8& 4&12\\
 2& 6& 0& 3& 1&7& 1&4& 1\\
 20& 11&19& 1&31&9& 11&12& 19\\
 12&20&3&7&9&28&9&20&9\\
6& 5& 8& 1& 11&9& 9& 8& 9\\
12&18&4&4&12&20&8&20&6\\
12& 5& 12& 1&19& 9& 9& 6& 17\\
\end{pmatrix}\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Combien y-a-t-il de chemins qui en 4 étapes, partent de 
D et reviennent à D ?
\item Combien y-a-t-il de chemins qui en 4 étapes, partent de 
S et reviennent à C ? Les citer.
\item Est-il toujours possible de joindre en 4 étapes deux salles quelconques ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le but du problème est la recherche du meilleur moment de revente d'une machine-outil en tenant compte de sa valeur marchande ainsi que du coût de son entretien. On étudie dans la \textbf{partie A}, deux fonctions qui contribuent à la résolution du problème traité dans les \textbf{parties B} et \textbf{C}. Les parties A et B sont indépendantes.
 
\bigskip

\textbf{Partie A : étude de fonctions}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par 

\[f(x) = 10 - 10 \text{e}^{-0,2x} + \text{e}^{0,5x}.\]

\smallskip

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R_+$ et dresser son tableau de variations.

Préciser les limites en $0$ et en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$  par  $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$.

On donne une partie de la courbe représentative de la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-8)(8,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=lightgray](0,0)(0,-8)(8,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-8)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.355}{8}{2.71828 0.2 x mul neg exp 10 2 x mul add mul 2.71828 0.5 x mul exp 0.5 x mul 1 sub mul add 10 sub x 2 exp div}
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

Soit A le point d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses. On prendra 2,5 comme valeur approchée de l'abscisse de A. Comme le suggère le graphique, on admet que la fonction $g'$ reste négative entre $0$ et 2,5.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant ce graphique, déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle ]0~;~8].
		\item En déduire une valeur approchée du minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle ]0~;~8].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : dépréciation d'un matériel}

\medskip
 
Toutes les valeurs marchandes sont exprimées en milliers d'euros, et on suppose raisonnable de négliger les variations monétaires. Une machine-outil achetée neuve, coûte 10~milliers d'euros.

Au bout d'un an, son prix de revente a diminué de 18\,\% et on admet qu'il en est ainsi chaque année.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le prix de revente en milliers d'euros au bout de 3 années ?
\item On note $v_n$ le prix de revente de la machine au bout de $n$ années,
 en milliers d'euros.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer par le calcul, le nombre d'années à partir duquel le prix de revente de la machine sera inférieur ou égal à $1,5$~millier d'euros. Expliquer la méthode utilisée.
	\end{enumerate} 

\item Soit $k$ la fonction définie sur [0~;~8] par $k(x) = 10\text{e}^{-0,2x}$. On admet que $k(n)$ est une bonne
approximation de $v_n$ pendant les 8 premières années.

On note I l'intégrale suivante I $= \displaystyle\int_0^5  k(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la valeur exacte de I puis en donner une valeur approchée arrondie à l'unité la plus proche.
		\item Estimer la valeur moyenne du prix de revente de la machine sur 
5~années d'utilisation, puis en donner une valeur approchée.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C : coût total d'un matériel}

\medskip

La machine-outil a un coût d'entretien. On estime qu'il peut être calculé par la fonction $E$ définie sur [0~;~8] par $E(x) = \text{e}^{0,5x}$ où $x$ désigne l'âge de la machine en années.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Justifier que le coût total d'utilisation de la machine-outil en fonction de son âge, exprimé en milliers d'euros, peut être défini sur [0~;~8] par 

\[f(x) = 10 - 10 \text{e}^{-0,2x} + \text{e}^{0,5x} (f\: \text{est la fonction étudiée dans la partie A)}\]

\item Exprimer le coût moyen par année d'utilisation, en fonction de l'âge de la machine.

En utilisant les questions précédentes, estimer le meilleur moment pour revendre la machine.
\end{enumerate} 
\end{document}