\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fltpoint} %pour les calculs de z, à charger avant le reste,sinon erreur \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree,pst-3dplot,pst-eucl} %%% Mille remerciements à Philippe Camus pour la surface %%% \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Antilles--Guyane septembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée. Barème : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $F : x \longmapsto \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} ${\Huge \bullet~} f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{2x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\ \end{tabularx} \item L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} ${\Huge \bullet~} 6(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}\text{e}$\\ \end{tabularx} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} ${\Huge \bullet~} (2~;~ 0)$&${\Huge \bullet~} (1~;~-1)$&${\Huge \bullet~} \left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\ \end{tabularx} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right)$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} ${\Huge \bullet~} y = 0$ &${\Huge \bullet~} y = 2x - \ln 2$ &${\Huge \bullet~} y=2x$. \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année $a_{i}$ &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2003\\ \hline Proportion $y_{i}$ &11,4 &19,6 &30,1 &37,6 &42,6 &45,2\\ \hline \end{tabularx} \medskip On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~ y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm, \item sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Un ajustement affine semble-t-il adapté ? \end{enumerate} \item On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a -1950$ et $t = \ln x$. \begin{enumerate} \item Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $a_{i}$ &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2003\\ \hline $x_{i} = a_{i} - 1950$ &30 & & & & &\\ \hline $t_{i} = \ln x_{i}$ &3,401 & & & & &\\ \hline $y_{i}$ &11,4 & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième. \item Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième. \item En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$. \item Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à $1$\,\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ? \item À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à $60$\,\% ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur $5$~dm (décimètres). Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que \[x \in ]0~;~20[ \quad \text{et} \quad y \in ]0~;~20[.\] La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux $12$ arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de $0,8$~euro le dm. Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre. \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip On décide d'investir exactement $80$~euros pour la construction du bâti métallique. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte $x + y = 20$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en dm$^3$, de cet aquarium. \item En déduire le volume $V$ en fonction de $x$ sous la contrainte précédente. \end{enumerate} \item On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$. \item En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$ et tout $y \in ]0 ~;~20[$ par : \[g(x~;~y) = xy + 10(x+y).\] On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle au plan $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse. \item Montrer que $g(x~;~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en dm$^2$, de la surface vitrée de l'aquarium. \item On suppose pour cette question que $x = 12.$ \begin{enumerate} \item Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée. \item Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre $400$ et $500$ dm$^2$. \item Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\] dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité $2$~cm. \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp} \uput[l](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe. \item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x - 2.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. \item Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique de la feuille annexe le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées. \item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg. \item $A_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $\overline{A_{1}}$ et $\overline{A_{2}}$ les évènements contraires des évènements $A_{1}$ et $A_{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ? \item Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ? \end{enumerate} \item Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}2$ ; s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$. \begin{enumerate} \item Illustrer cette situation par un arbre pondéré. \item Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$. \item Calculer $P\left(A_{1} \cap A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap A_{2}\right)$ ; en déduire $P\left(A_{2}\right)$. \item L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ? \end{enumerate} \item Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet. \item Déterminer la durée moyenne du trajet. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{Enseignement obligatoire} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} \vspace{1cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.75} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $a_{i}$ &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2003\\ \hline $x_{i} = a_{i} - 1950$ &30 & & & & &\\ \hline $t_{i} = \ln x_{i}$ &3,401 & & & & &\\ \hline $y_{i}$ &11,4 & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 3} \vspace{1cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp} \uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage Spécialité ES\hfill{}Antilles Guyane Septembre 2007 \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-1.5,-2)(30,24) %\SpecialCoor \psset{Beta=12,Alpha=165} %\psset{Beta=90,Alpha=180}% pour tests \pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false] %la boîte %à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y \pstThreeDPut(10,0,-1){$y$} \pstThreeDPut(22,10,0){$x$} \pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$} \pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16) \multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}} \multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\z}} \multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n,0){\n}} \multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)} \multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)} \multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)} %courbes de niveaux %z=0-100 \newgray{gris}{0.45} \parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2} \parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div} \parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}} %z>=100 \newgray{gris}{0.15} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4) \pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16) \pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4) \pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2} } %z>=200 \newgray{gris}{0.85} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4} } %z>=300 \newgray{gris}{0.65} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6} } %z>=400 \newgray{gris}{0.45} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8} } %z>=500 \newgray{gris}{0.3} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t 500 t 10 mul sub t 10 add div 10} } %z>=600 \newgray{gris}{0.15} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12} } %z>=700 \newgray{gris}{0.75} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14} } %surface \psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre %la légende \psframe[linewidth=0.5pt](25.5,6)(29.8,14) \psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid} \newgray{gris}{0.45} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,6.5)(26,6.8) \rput[l](26.5,6.65){0-100} \newgray{gris}{0.15} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,7.5)(26,7.8) \rput[l](26.5,7.65){100-200} \newgray{gris}{0.85} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,8.5)(26,8.8) \rput[l](26.5,8.65){200-300} \newgray{gris}{0.65} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,9.5)(26,9.8) \rput[l](26.5,9.65){300-400} \newgray{gris}{0.45} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,10.5)(26,10.8) \rput[l](26.5,10.65){400-500} \newgray{gris}{0.3} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,11.5)(26,11.8) \rput[l](26.5,11.65){500-600} \newgray{gris}{0.15} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,12.5)(26,12.8) \rput[l](26.5,12.65){600-700} \newgray{gris}{0.75} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,13.5)(26,13.8) \rput[l](26.5,13.65){700-800} \end{pspicture} \end{center} \end{document}