\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}\usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{makecell} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{fltpoint} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1995~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne, en fonction de l'année, le montant des prêts d'aide, à l'accession à la propriété (les PAP) en milliers de francs. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c |*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline\hline Année &1982 &1983 &1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline Rang : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline PAP : $y_{i}$ &127&115 &113 &93&86 &78,1&60 &48 &38 &33\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\small (Source: ministère de l'Équipement, du Logement et des Transports)}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra 1~cm pour un rang sur l'axe des abscisses et 1~cm pour \np{10000}~F sur l'axe des ordonnées. Ce nuage permet-il d'envisager un ajustement linéaire? \item Le détail des calculs n'est pas demandé et les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Interpréter le résultat trouvé. \item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite dans le repère précédent. \end{enumerate} \item Si la progression se poursuivait dans les mêmes conditions, à partir de quelle année le montant des prêts PAP deviendrait-il nul ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = 3x^2 - 5x - 2.\] \begin{enumerate} \item Factoriser $f(x)$. \item Pour quelle valeur de $x$, $f$ admet-elle un minimum ? Quelle est la valeur minimale de $f(x)$ ? \item Tracer la courbe représentative $C$ de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. (unités : 3~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée.) \end{enumerate} \item On pose $b(x) = \dfrac{1}{3x^2 - 5x - 2}$ avec $x \in [0~;~2[$. \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x < 2}} b(x)$. \item Étudier les variations de $b$ sur l'intervalle $I = [0~;~2[$. \item Tracer la courbe représentative $C'$ de $b$ dans le même repère que $C$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un dé cubique A porte inscrits sur ses faces les nombres : $- 2,\: 1,\: 1,\: 1,\: 2n,\: - n$ (où $n$ est un entier relatif). On suppose qu'à chaque lancer, les faces de A ont la même probabilité d'apparition. \medskip \begin{enumerate} \item On lance une fois le dé A et on note $X$ le nombre obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire. Déterminer la loi de probabilité de $X$ : \begin{enumerate} \item lorsque $n = 3$. \item lorsque $n = - 1$ ; calculer alors l'espérance mathématique de $X$. \hspace{-1.25cm}\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera à $n$ la valeur $- 1$.} \end{enumerate} \item On lance A, 6 fois de suite. Déterminer la probabilité d'obtenir 4 fois exactement le nombre $1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit B un autre dé cubique dont les faces portent les nombres $-3,\: -2,\: - 1,\: 1,\:2,\:3,$ de telle sorte que les probabilités d'apparition respectives de ces nombres soient six termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $p(-3)$, probabilité d'apparition de la face portant le nombre $- 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité d'apparition de chacune des faces de B. \item On lance le dé A puis de façon indépendante le dé B. Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $- 1$ ? \end{enumerate} \textbf{N. B.} : On donnera les résultats sous forme fractionnaire. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Une entreprise fabrique un solvant pour peinture. On désigne par $x$ le nombre de m$^3$ de solvant produits chaque jour ; $x \in [1~;~6]$. Le coût total de production de ces $x$ mètres cubes, en milliers de francs (kF) est : \[C_{t}(x) = \dfrac{x^2}{4} + 2,8 + 2\ln x.\] On cherche à déterminer le prix de vente pour que l'entreprise fasse des bénéfices. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude de la fonction \og coût total \og}{}\: \boldmath $C_{t}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $C_{t}$ sur [1~;~6]. (Ces variations pourront être déduites de celles des fonctions $x \longmapsto \dfrac{x^2}{4}+ 2,8$ et $x \longmapsto 2\ln x$). \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4 &4,5 &5 &5,5 &6 \\ \hline $C_{t}(x)$ à $10^{-1}$ près&& & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer dans un repère \Oij{} la représentation graphique $C$ de la fonction $C_{t}$ (unités : 2~cm pour 1 m$^3$ et 1~cm pour 1~kF). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Étude de la fonction \og coût moyen \fg{}} \boldmath $C_{m}$ \unboldmath \medskip Pour une production journalière de $x$ mètres cubes, le coût moyen de production en milliers de francs de 1 m$^3$ est \[C_{m}(x) = \dfrac{C_{t}(x)}{x}.\] \begin{enumerate} \item Écrire $C_{m}(x)$ en fonction de $x$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de [1~;~6], $C_{m}(x)$ a le même signe que $f(x) = x^2 - 3,2 - 8\ln x$. \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [1~;~6]. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans [1~;~6], puis déterminer une valeur approchée par excès de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \medskip \emph{Dans la suite du problème, on utilisera cette valeur dans les calculs.} \item En déduire le signe de $f(x)$ sur [1~;~6]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction Cm sur [1~;~6]. \item Quel est le coût minimal de production de 1 m$^3$ de solvant? Pour quelle production ? \item Comment faut-il choisir le prix de vente de 1 m$^3$ de solvant pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}