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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Antilles-Guyane}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}  
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1998~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}    

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\textsl{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles.}

\medskip

Neuf amis, cinq garçons et quatre filles, décident de tirer au 
sort deux conducteurs, qui devront rester sobres durant une soirée.

Chacun écrit son nom sur un carton glissé ensuite dans une boîte.

L'un d'entre eux extrait au hasard, successivement et sans remise, 
deux cartons de la boîte.

On définit les évènements $G_{1}$, $G_{2}$, $F_{1}$ et $F_{2}$ par :

$\bullet~$ $G_{1}$ : \og Un garçon est désigné au premier tirage \fg{} ;

$\bullet~$ $G_{2}$ : \og Un garçon est désigné au deuxième tirage\fg{} ;

$\bullet~$ $F_{1}$ : \og Une fille est désignée au premier tirage \fg{} ;

$\bullet~$ $F_{2}$ : \og Une fille est désignée au deuxième tirage \fg.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le nom d'une fille apparaisse au deuxième tirage sachant que le nom d'un garçon
a été lu sur le premier carton.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $G_{1} \cap  F_{2}$.
La comparer à celle de l'évènement $G_{2} \cap F_{1}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'il y ait deux conductrices en fin de  soirée.
\item Calculer la probabilité que le sort désigne une fille au deuxième tirage.
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles  désignées.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du SMIC horaire (Salaire Minimum
Interprofessionnel de Croissance) de 1988 à 1996.

\begin{center}
{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date					 &07/88	& 07/89	&07/90 	&07/91	& 07/92	&07/93	&07/94	&07/95	&07/96\\ \hline
Rang de l'année $(x_{i})$& 1	& 2 	&3 		&4		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 \\ \hline
Montant en francs 
$(y_{i})$				 &28,76 &29,91	&31,28	&32,66	&34,06	&34,83	&35,56	&36,98 &37,91\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\scriptsize Source : INSEE}
\end{tabularx}} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série 
$(x_{i}~ ;~ y_{i})$.

Le plan est rapporté à un repère \Oij{} d'unités graphiques 1 cm
pour 1 an sur l'axe des abscisses et 2 cm pour 1 franc sur l'axe des
ordonnées.

L'origine du repère correspond au point de coordonnées (0 ; 28).\\
\item à l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 
$10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série 
$(x_{i}~ ;~ y_{i})$.

Pourquoi peut-on envisager un ajustement linéaire ?
\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la
méthode des moindres carrés.

(Les coefficients seront donnés par des valeurs approchées à $10^{-2}$ 
près.)

Tracer cette droite sur le graphique précédent.

(Les coordonnées des points utilisés pour le tracé de la droite seront
indiquées.)
\item Estimer, à l'aide de l'équation de la droite de régression et en faisant
figurer sur la copie les étapes du calcul, le montant prévisible du
SMIC en juillet 1997.
\item Quelle est, en pourcentage, l'erreur commise par rapport au montant réel
du SMIC qui était de $39,93$~F en juillet 1997 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On considère une fonction $f$ de la variable réelle $x$, dont on 
donne le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(7,5)
\psframe(7,5) \psline(1,0)(1,5)
\psline(0,3)(7,3) \psline(0,4)(7,4)
\psline{->}(1.4,2.4)(2.6,0.5) 
\psline{->}(3.4,0.5)(4.6,2.4)
\psline{->}(5.4,2.4)(6.6,0.5)
\uput[u](0.5,4){$x$} \uput[u](3,4){$-\frac{1}{2}$}
\uput[u](1.2,4){$- \infty$}
\uput[u](4,4){$0$} \uput[u](5,4){$1$} \uput[u](6.5,4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,3){$f'(x)$} \uput[u](2,3){$-$} \uput[u](3,3){$0$}
\uput[u](4,3){$+$} \uput[u](6,3){$-$}
\uput[u](0.5,1.2){$f(x)$} \uput[d](1.2,3){$1$}
\uput[u](3,0){$-\frac{1}{3}$} \uput[d](1.2,3){$1$} 
\uput[u](4,1.1 ){$0$}
\uput[d](4.6,3){$+\infty$} \uput[d](5.4,3){$+\infty$}
\uput[u](6.7,0){$1$}
\end{pspicture} 
\end{center}

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans
un repère orthonormé \Oij\\ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe).

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie A}

\medskip

En interprétant le tableau donné ci-dessus :

\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble de définition de $f$.
\item Placer dans le repère \Oij~:
	\begin{enumerate}
		\item l'asymptote horizontale (D) ;
		\item l'asymptote verticale (D$'$) ;
		\item le point A o\`u la tangente à ($\mathcal{C}$) est horizontale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B}

\medskip

On donne maintenant l'expression de $f$ :
			
\[f(x) = 1 + \dfrac{4}{(x-1)} + \dfrac{3}{(x-1)^2}.\]

\smallskip
	 		
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations $f(x) = 0$ et $f(x) = 1$.  
\item Au moyen de votre calculatrice remplir le tableau suivant (recopier ce
tableau sur votre copie.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 		&$-1$	&$- 0,75$	&0,5	&2	&3	& 4\\ \hline
$f(x)$ 	& 			& 				& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Placer la courbe ($\mathcal{C}$) dans le repère de la question 
\textbf{A. 2.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1} & = &\dfrac{1}{2}u_{n} + 1.\\
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{}
d'unité graphique 4~cm, tracer la droite (D) d'équation $y = x$ et
droite (D$'$) d'équation $y = \dfrac{1}{2}x+ 1$.

En utilisant (D$'$) et (D), représenter sur ce graphique les points 
P, Q, R, S, T, U, V, de coordonnées respectives :
$(u_{0}~ ;~ 0), (u_{0} ~;~ u_{0}), (u_{0}~ ;~ u_{1}), (u_{1}~ ;~ u_{1}), 
(u_{1}~ ;~ u_{2}), (u_{2}~;~ u_{2})
(u_{2}~ ;~ u_{3})$.
\item Soit $\left(v_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ la suite définie 
par : $v_{n} = u_{n} - 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est 
une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la 
raison.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, en déduire l'expression de $u_{n}$
fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $u_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Problème} \hfill 	10 points}

\medskip

\textsl{Le but du problème est d'étudier une fonction, dont on connaît la 
représentation graphique, d'étudier la position de la courbe par rapport à l'une de
ses tangentes et de calculer une aire.}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 2x\ln x- x.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de 
$f$.

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij~ (voir annexe).

Unités graphiques utilisées : 2 cm sur chaque axe.

Joindre cette annexe à votre copie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ A. Étude de la fonction \boldmath  $f$ \unboldmath}
\begin{enumerate} 
\item étude des limites de $f$ aux bornes de son intervalle
    de définition.
    \begin{enumerate}
    	\item Déterminer	 $\displaystyle\lim_{x \to 0}  
f(x)$. (On donne $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$).
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  
f(x)$. (On pourra mettre $x$ en facteur).
	\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = 2\ln x+ 1$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe $(\mathcal{C})$
et de l'axe des abscisses. Placer ce point A sur le graphique donné en
annexe.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ B. Position de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'une de ses
tangentes}
\begin{enumerate} 
\item Établir qu'une équation de la droite ($\Delta$), tangente
en A à la courbe $(\mathcal{C})$ est : $y = 2x-2\sqrt{\text{e}}$.

Placer ($\Delta$) sur le graphique donné en annexe.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~ ;~+ \infty[$ par :

		\[g(x) = f (x) - (2x- 22\sqrt{\text{e}}).\]
		
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item À l'aide du tableau de variations de $g$ montrer que $g(x) 
\geqslant  0$ sur $]0~;~ + \infty[$.

En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite ($\Delta$) sur
$]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ C. Calcul d'une aire}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie sur $]0~ ;~ + \infty[$ par 

\[H(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac{1}{2}\right).\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $H'(x)$.
\item Calculer la valeur exacte de 
$\displaystyle\int_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \left(2x\ln x - 3x + 
2\sqrt{\text{e}}\right)\:\text{d}x$.
\item Cette intégrale correspond au calcul de l'aire d'un domaine plan.
	\begin{enumerate} 
		\item Colorier ce domaine sur la figure.
		\item Donner, en cm$^2$, une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de
cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe}

\bigskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(4,7.5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(0,-1.5)(4,7)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(4,0)(0,7.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(-0.5,0)(4,0) \uput[d](3.8,0){$x$}
\psline{->}(0,-1.5)(0,7.5) \uput[l](0,7.3){$y$}
\uput[d](2.71828,0){e}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,-1.213)(0.607,-1.213)(0.607,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](2.71828,0)(2.71828,2.71828)(0,2.71828)
\uput[u](0.607,0){$\text{e}^{-\frac{1}{2}}$}
\uput[l](0,-1.213){$-2\text{e}^{-\frac{1}{2}}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{4}{x ln x mul 2 mul x sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}