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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2001~\decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[\left\{ \begin{array}{l c l l}
f(x) &= &m \sin x& \text{pour}~ x \in [0~;~\pi]\\
f(x)& =& 0& \text{sinon}.\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $m$ tel que $f$ soit une densité de probabilité.

\item Représenter $f$ dans un repère orthonormé.

\item Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité 
de probabilité.

Définir la fonction de répartition de $X$ puis représenter 
graphiquement $F$ dans un repère orthonormé.

\item Calculer la probabilité $p\left(\dfrac{\pi}{4} 
\leqslant X \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right)$.

\item Calculer les probabilités $p(X \geqslant 0)$ et $p(X \leqslant 0).$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes 
l'équation d'inconnue $z$ :

\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

\item On considère les points A et B qui ont pour affixes 
respectives les nombres complexes

\[a = - 4\sqrt{3} - 4\im \quad\text{et}\quad b = - 4\sqrt{3} + 4\im.\]

Calculer les distances OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle OAB.

\item On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3} + \im$
et par D son image par la rotation de centre O et d'angle 
$\dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D.

\item On appelle G le barycentre des points pondérés 
(O~;~$- 1$),\: (D~;~1)\: et\: (B~;~1).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6\im$.
		\item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm).
		\item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité $\dfrac{c - g}{a - g} = 
\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\item En déduire une mesure en radians de l'angle 
$\left(\vect{\text{GA}}, ~\vect{\text{GC}}\right)$, ainsi 
que la valeur du rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$.

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls tels 
que PGCD$(a + b~;~ab) = p$, où $p$ est un nombre premier.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p$ divise $a^2$. (On remarquera que $a^2 = a(a + b) - ab.)$ 
		\item En déduire que $p$ divise $a$.

On constate donc, de même, que $p$ divise $b$.
		\item Démontrer que PGCD$(a,~b) = p$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $a$ et $b$ des entiers naturels tels que
$a \leqslant b$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système

\[\left\{ \begin{array}{l c r}
\text{PGCD}(a,~ b)& =& 5\\
\text{PPCM}(a,~ b)& =& 170\\
\end{array} \right.\]

	\item En déduire les solutions du système :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
\text{PGCD}(a + b,~ab)& =& 5\\
\text{PPCM}(a,~b) &=& 170\\
\end{array} \right.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère 
la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = - 3 - \ln x + 2(\ln x)^2.\]

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative.

\begin{center} \textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath 
$f$ \unboldmath \textbf{et tracé de la courbe} \boldmath 
$(\mathcal{C})$ \unboldmath \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. (On pourra poser $\ln x = X$).
		\item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $f(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ 
\infty$.
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de 
variations.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente 
$(\mathcal{T})$ à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 
e$^{\frac{5}{4}}$.
\item On se propose d'étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
par rapport à la droite $(\mathcal{T})$.

Pour cela, on considère la fonction $\varphi$, définie sur 
]0~;~$+ \infty[$ par :

\[ \varphi(x) = f(x) - \left(4\text{e}^{-\frac{5}{4}}x  - 
\dfrac{41}{8}\right).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\varphi'(x) = \dfrac{4 \ln x - 1}{x} - 
4\text{e}^{-\frac{5}{4}}$ puis calculer $\varphi''(x)$.
		\item Étudier le sens de variation de $\varphi'$ sur $]0~;~+ \infty[$.

En déduire que, pour tout $x$ appartenant à ]0~ ;~ $+ \infty[$, on a 
$\varphi'(x) \leqslant 0$.
		\item Calculer $\varphi \left(\text{e}^{\frac{5}{4}}\right)$. Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ déterminer le signe de $\varphi(x)$.

En déduire la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $(\mathcal{T})$. 
	\end{enumerate}

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et la droite 
$(\mathcal{T})$. (Unité graphique : 2~cm).
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B - Calcul d'une aire} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $h$, définie par $x 
\mapsto x \ln x - x$, est une primitive de la fonction logarithme népérien 
sur $]0~;~+ \infty[$.

\item On pose $I_{1} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} \ln x\: \text{d}x$ et $I_{2} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} (\ln x) ^2\: \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_{1}$.
		\item En utilisant une intégration par parties, montrer que 
$I_{2} = \dfrac{5}{4}\text{e}^{\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{\text{e}}$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} 
f(x)\: \text{d}x$. En déduire l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des 
points $M(x~ ;~ y)$ du plan tels que $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant \text{e}^{\frac{3}{2}}$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}