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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
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\begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S 
Antilles-Guyane  septembre 2005~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_{0} = 1$ et $\forall n \in \N,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + n - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $n \geqslant  3,~ u_{n} \geqslant  0$. 
		\item En déduire que pour tout $n \geqslant  4,~ u_{n} \geqslant  n - 2$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = 4u_{n} - 8n + 24$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme. 
		\item Démontrer que $\forall n \in \N,~u_{n} = 7\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 2n -6$. 
		\item Vérifier que $\forall n \in \N,~ u_{n} = x_{n} + y_{n}$ où $\left(x_{n}\right)$ est une suite géométrique et $\left(y_{n}\right)$ une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison. 
		\item En déduire l'expression de $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$	en fonction de $n$.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
  
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{ 2\ln x}{x^2 + x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x > 1,~\dfrac{\ln x}{x^2} \leqslant 	f(x) 	\leqslant \dfrac{\ln x}{x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer I $= \displaystyle\int_{2} ^4 \dfrac{\ln x}{x}\, \text{d}x$ et J $ =	 \displaystyle\int_{2} ^4 \dfrac{\ln x}{x^2}\, \text{d}x$ (on pourra utiliser une intégration par parties pour cette dernière). 
		\item En déduire un encadrement de K $ =  \displaystyle\int_{2} ^4 f (x) \, \text{d}x$. 
	\end{enumerate}
\item La figure ci-dessous représente la courbe représentative de $f$ (unités graphiques: en abscisse 1~cm pour 1 unité, en ordonnées 4~cm pour 1 unité). On considère l'ensemble des points $M(x~ ;~ y)$ tels que :

\[\left\{\begin{array}{l l c l l}
2 &\leqslant &x&\leqslant&  4\\
0& \leqslant & y & \leqslant& f(x)\\
\end{array}\right. \quad \text{et on note}~ \mathcal{A}~\text{son aire.}\]

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=4.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.6)(5,0.9)
\multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-0.6)(\n,0.8)}
\multido{\n=-0.6+0.1}{15}{\psline[linewidth=0.3pt](-2,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-0.6)(5,0.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-0.61)(5,0.81)
\uput[u](5,0){$x$} \uput[r](0,0.8){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.7}{5}{x ln 2 mul x 2 exp x add div}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide de l'encadrement trouvé au 2 b, donner un encadrement de $\mathcal{A}$ en cm$^2$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip
  
Soit $\mathcal{P}$ le plan complexe rapporté au repère \Ouv{} (unité graphique : 4 cm). Soit A le point d'affixe $1$. On note $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\[z' =  \dfrac{1}{z - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit B le point d'affixe $b = 4 + \text{i}\sqrt{3}$. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de l'affixe $b'$ de B$'$. 
		\item Déterminer les affixes des points ayant pour image par $f$ leur symétrique par rapport à O.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\left|z'\right|$ et arg $\left(z'\right)$ en fonction de $|z - 1|$ et arg $(z - 1)$. 
		\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de  centre A et de rayon $r$. On suppose que $M$ est un point de $\mathcal{C}$. Déterminer $\left| z' \right|$.
		
En déduire que $M'$ appartient à un cercle $\mathcal{C}'$ dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Placer un point $M$ quelconque sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}$
et construire son image $M'$. (On laissera les traits de construction,) 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
 
On modélise le temps d'attente entre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La probabilité pour un client d'attendre moins de $t$ min est définie par :

\[p(X\leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t  \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x.\]

Le temps moyen d'attente est donné par :

\[\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \displaystyle\int_{0}^t  \lambda x\text{e}^{- \lambda x}\,	\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^t  \lambda x\text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$ en fonction de $t$. 
		\item En déduire que le temps moyen est $\dfrac{1}{\lambda}$. 
	\end{enumerate}
\item Le temps moyen d'attente étant de 5~ min, quelle est la probabilité
d'attendre plus de 10~min ? plus de 5~min ? 
\item Quelle est la probabilité d'attendre encore au moins 5~min, sachant qu'on a déjà attendu 10~min ? Comment expliquez-vous ce résultat ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.\\
Chaque réponse juste rapporte $1$ point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré $0,5$ point par réponse fausse.\\
La note finale de l'exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.}
  
\medskip
  
Soit \Oijk{} un repère orthonormal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La droite passant par A$(1~;~2~;~-4)$ et B$(-3~;~4~;~1)$ et la droite
représentée par $\left\{\begin{array}{l c r}
x 	& = 	& - 11 - 4t\\
y 	& = 	& 8 + 2t\\
z 	& = 	& 11 + 5t\\
\end{array}\right. \quad  t \in \R ~~\text{sont :}$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}}
$\square$ sécantes &$\square$ strictement parallèles &$\square$ confondues &$\square$\: non coplanaires
\end{tabularx}

\item Soient le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + 3y  - z + 4 =  0$ et la droite $\mathcal{D}$ représentée par
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=	& t \\
y& =& t\\	
z&=&8 + t\\
\end{array}\right. \quad  t \in \R$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{X}} 
$\square~~\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont sécants.& $\square$ ~~  $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$  sont strictement parallèles.\\
$\square$ ~~$\mathcal{D}$  est incluse dans $\mathcal{P}$.& $\square$ ~~Aucune de ces possibilités n'est vraie.
\end{tabularx}
\item La distance du point A$(1~;~2~;~-4)$ au plan d'équation $2x + 3y - z + 4 = 0$  est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} 
$\square \quad 	\dfrac{8\sqrt{14}}{7}$&$\square \quad  16$ & $\square \quad 8\sqrt{14}$&$\square \quad \dfrac{8}{7}$
\end{tabularx}

\item Soient le point B$(-3~;~4~;~1)$ et la sphère	$\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 16$ ;

\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{X}} 
$\square$\quad  B est à l'intérieur de $\mathcal{S}$ &$\square$ \quad   B est à l'extérieur de $\mathcal{S}$\\
$\square$\quad  B est sur $\mathcal{S}$&$\square$\quad On ne sait pas.
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}