\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-node,pst-plot,pst-text,pstcol} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2003}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 2003 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Un phénomène économique est modélisé par une fonction $f$ représentée graphiquement par une courbe ($\mathcal{C}$) dans un repère \Oij. Une partie de ($\mathcal{C}$) est donnée ci-dessous. \smallskip \begin{center}\psset{xunit=1.33cm,yunit=0.67cm} \begin{pspicture}(8,18) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(8,18) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=5](0,0)(0,0)(8,18) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,10)(0.5,7.75)(1,6)(1.5,5)(2,4.35)(2.5,4.1)(3,4) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{6.964}{x 3 exp 5 div x dup mul 7 mul 5 div sub x 6 mul 5 div add 10 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor= blue]{3}{5}{x 3 sub dup mul 0.5 mul 4 add} \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](5,6){A} \uput[ul](7.5,12){T} \psline(3,1)(8,13.5) \uput[u](7.9,0){$x$} \uput[l](0,18){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,75cm} On donne aussi le tableau de valeurs suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$0$ &$3$ &$7$&$8$ &$9$ &$10$\\ \hline $f(x)$ &10 &4 &20 &49,5 &149 &546\\ \hline \end{tabularx}\] On suppose que la fonction $f$ ainsi représentée est continue et dérivable sur [0~;~10] et strictement croissante sur [3~;~ 10] On note $f'$ sa fonction dérivée. La droite T est la tangente à ($\mathcal{C}$) en son point A d'abscisse 5 ; elle passe aussi par le point de coordonnées (7~;~11). ($\mathcal{C}$) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3. \medskip \parbox[l]{0.5\textwidth}{\textbf{1.} En utilisant ces informations : \hspace{0.6cm}\textbf{a.} Reproduire et compléter le tableau ci-contre :} \hfill \parbox[l]{0.45\textwidth}{ $\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &3 &5\\ \hline $f(x)$ &4 & \\ \hline $f'(x)$ & &\\ \hline \end{tabularx}$} \hspace{0.6cm}\textbf{b.} Dresser le tableau des variations de $f$ sur [0~;~10] ; indiquer aussi le signe de $f'(x)$ sur cet intervalle. Justifier. \hspace{0.6cm}\textbf{c.} Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 6$. Utiliser le graphique pour donner des valeurs approchées des solutions à 0,5 près. \textbf{2.} On considère la fonction $g$ définie pour tout $x$ de [0~;~10] par : $g(x) = \ln [f(x)]$. \hspace{0.6cm}\textbf{a.} Étudier les variations de g et dresser le tableau des variations de $g$ sur [0~;~10]. \hspace{0.6cm}\textbf{b.}{} À l'aide du graphique de la question 1, donner une solution approchée, dans l'intervalle [0~;~10], de l'équation $g(x) = 3$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Dans cet exercice les résultats approchés seront donnés à \np{0,0001} près. Lors d'une épizootie, on s'est aperçu que si la maladie était diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal (avant que les symptômes apparaissent), on pouvait le guérir, sinon la maladie était mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon bien connu d'animaux dont $1\,\%$ sont porteurs de la maladie. On obtient les résultats suivants : \begin{itemize} \item si un animal est malade, le test est positif dans 85\,\% des cas ; \item si un animal est sain, le test est négatif dans 95\,\% des cas. \end{itemize} On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : \begin{itemize} \item $M$ l'évènement : \og L'animal est atteint par la maladie \fg{} ; \item $E$ l'évènement : \og Le test est positif \fg{} ; \item $N$ l'évènement : \og Le test est négatif \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. \item Un animal est choisi au hasard. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il soit malade et que son test soit positif ? \item Vérifier que la probabilité pour que son test soit positif est \np{0,0580}. \end{enumerate} \item Un animal est choisi parmi ceux dont le test est positif, quelle est la probabilité pour qu'il soit malade ? \item On choisit 5 animaux au hasard, dans un troupeau suffisamment important pour que les épreuves puissent être considérées comme indépendantes et que les tirages puissent être assimilés à des tirages avec remise. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq ait un test positif ? \item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant un test positif est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test ayant développé la maladie est de \np{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit. D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Coût &0 &100 &\np{1000}\\ \hline Probabilité &\np{0,9405}&0,058 & \np{0,0015}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Un éleveur possédant un troupeau de \np{2000}~bêtes vous demande une prévision du coût à engager à la suite d'un passage du test à tout le troupeau ; quelle réponse proposez-vous ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Dans la ville de GRAPHE, on s'intéresse aux principales rues permettant de relier différents lieux ouverts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la bibliothèque (B), la piscine (P) et le lycée (L). Chacun de ces lieux est désigné par son initiale. Le tableau ci-dessous donne les rues existant entre ces lieux. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|} } \cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{}&B &C &L &M &P\\ \hline B & &$\bullet$ & &$\bullet$ &$\bullet$\\ \hline C &$\bullet$ & &$\bullet$ &$\bullet$ & \\ \hline L & &$\bullet$ & & $\bullet$ & \\ \hline M &$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$ & &$\bullet$ \\ \hline P & $\bullet$ & & & $\bullet$ & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Dessiner un graphe représentant cette situation. \item Montrer qu'il est possible de trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues de ce plan. Justifier. Proposer un tel trajet. Est-il possible d'avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues ? \medskip \parbox[l]{0,42\textwidth}{\item Dimitri habite dans cette ville ; le graphe ci-contre donne le \textbf{nouveau} plan du quartier avec les sens de circulation dans les différentes rues et le temps de parcours entre les différents lieux.} \hfill \parbox[l]{0,53\textwidth}{\begin{pspicture}(-1,0)(6,5) \psset{arrowsize=2.5pt 3}\cnodeput(0,1.3){A}{P} \cnodeput(1.9,2.9){B}{B} \cnodeput(1.8,0){C}{M} \cnodeput(3.6,1.5){D}{C} \cnodeput(4.5,3.8){E}{D} \cnodeput(5.7,0.4){F}{L} \ncarc{->}{B}{A} \ncput*{10} \ncarc{<->}{A}{C} \ncput*{4} \ncarc{<->}{B}{C} \ncput*{5} \ncarc{<->}{D}{C} \ncput*{9} \ncarc{->}{D}{B} \ncput*{3}\ncarc{->}{E}{B} \ncput*{9} \ncarc{->}{E}{D} \ncput*{5} \ncarc{<->}{F}{E} \ncput*{11} \ncarc{<->}{F}{D} \ncput*{4} \ncarc{->}{F}{C} \ncput*{10} \end{pspicture}} \bigskip Dimitri désire prendre sa voiture pour se rendre de son domicile noté D jusqu'à la piscine. Proposer un trajet le plus court possible lui permettant de se rendre de son domicile à la piscine. La réponse proposée devra être justifiée par un algorithme. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude statistique} \medskip Le but de ce problème est de modéliser l'évolution de la cotation d'une action en Bourse. \textsl{On ne fera qu'un seul dessin qui sera compété tout au long des différentes questions.} \textsl{Les parties sont indépendantes.} La société \og T--E S \fg{} est entrée en Bourse en 1995. Le tableau suivant donne la valeur d'une action en euros le $1\up{er}$ janvier de chaque année. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année& 1995& 1996& 1997& 1998& 1999\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$& 0& 1& 2& 3 & 4\\ \hline Valeur de l'action en euros $y_{i}$& 32& 57& 78& 90& 110\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 10~euros sur l'axe des ordonnées). \item Le graphique permet d'envisager un ajustement affine. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer ce point sur le graphique précédent. \item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ (les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés). \item En supposant que ce modèle reste valable jusqu'en 2003, quelle serait la valeur, en euros, d'une action de cette société en 2003 ? \end{enumerate} \item En fait, suite à un retournement de tendance, la valeur de l'action a commencé à baisser à partir de 1999 comme le montre le tableau suivant (valeur au $1\up{er}$ janvier) \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1999 &2000 &2001 &2002 &2003\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &4 & 5 &6 &7 &8\\ \hline Valeur de l'action en euros $y_{i}$ &110 &50 &23 &15 &11\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter le nuage de points à l'aide de ces nouvelles valeurs. \item Expliquer pourquoi l'ajustement précédent ne semble pas pertinent. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(x) & = &18,9x+35,6 & \text{si}\quad x \in ]0~;~4[\\ f(x) &= & \text{e}^{-0,58x+6,85}& \text{si} \quad x \in ]14~;~+ \infty[\\ \end{array}\right.\] On suppose que $f$ modélise l'évolution du cours de l'action à partir de l'année 0. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~4]. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. Étudier les variations de $f$ sur $]4~;~+ \infty[$ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ sur le graphique précédent. $f$ est-elle continue sur $[0~;~+ \infty[$ ? \item Calculer, arrondie au centième, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [5~;~10]. On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$ est égale à $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \:\text{d}x$. Interpréter ce résultat. \item Résoudre l'inéquation : $f(x) \leqslant 1,5$. À partir de quelle année la valeur de l'action sera-t-elle inférieure à 1,50~euro ? \end{enumerate} \end{document}