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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B) }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Asie juin 1994~\decofourright 
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

 Un jeu consiste à lancer simultanément deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6 (un dé vert et un dé rouge), et à lire les points marqués sur chacune des faces supérieures. Chaque face a la m\^eme probabilité d'apparaître. 

Les résultats sont donnés sous la forme d'un couple, le premier nombre correspondant aux points marqués sur le dé vert. Par exemple : (2~;~5) signifie 2 sur la face supérieure du dé vert et 5 sur celle du dé rouge. La somme $S$ des points marqués est alors 7.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de couples possibles ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_1$ pour que la somme S des points marqués soit un multiple de 5 ? 
		\item Quelle est la probabilité $p_2$ pour que la somme S des points marqués soit un multiple de 2 qui ne soit pas multiple de 5 ?
	\end{enumerate} 
\item Un joueur gagne 3~F si la somme S est un multiple de 5 et 2~F si S est un nombre pair qui n'est pas multiple de 5. Il perd 4~F dans les autres cas. On appelle $X$ la variable aléatoire représentant en francs la somme gagnée ou perdue ($X > a$ si le joueur gagne, $X < a$ si celui-ci perd).
 
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et l'espérance mathématique E($X$).
 
Le jeu est-il avantageux pour le joueur ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau suivant représente l'indice des prix à la consommation.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $x$	& 1970 	&1972 	&1974 	&1976 	&1978 	&1980 	&1982 	&1983 	&1984\\ \hline
Indice $y$	& 100,0 &112,0 	&136,7 	&167,5 	&199,8 	&251,8 	&316,1 	&345,5 	&371,8\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\emph{(Source: INSEE.)}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le tableau par un nuage de points dans un repère
orthogonal (on prendra 1~cm pour représenter 2~années sur l'axe des
abscisses et 1~cm pour représenter 20~points d'indice sur l'axe des
ordonnées).
		\item Calculer les coordonnées du point moyen à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire à $10^{-3}$ près. L'interpréter.
		\item Rechercher, en utilisant la méthode des moindres carrés, une
droite d'ajustement linéaire $y = ax + b$.
		
Tracer cette droite dans le repère précédent (aucun tableau de calcul
n'est exigé ; les coefficients $a$ et $b$ seront donnés à $10^{-1}$ près mais
tous les calculs intermédiaires devront être effectués avec la précision
de la calculatrice).
		\item Quel indice aurait-on pu prévoir pour 1988 avec cet ajustement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~ 1]$ par :

\[f(x) = (5x - 2) \text{e}^x -3 x - 2.\]


Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique
2~cm sur (O$x$) et 1~cm sur (O$y$).

C est la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

Le but de ce problème est l'étude de $f$ et le calcul d'une aire liée à $f$.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~ 1]$ par 

\[g(x) = (5 x + 3)\text{e}^x - 3\]

et représentée ci-dessous par la courbe $\Gamma$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-6,-5)(2.25,7)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-5)(2.25,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,1)
\uput[d](1,0){$\vect{\imath}$}
\uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](-1.6,0)(-1.6,-4)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-2.6,-4)(-0.6,-4)
\uput[ul](2.25,-5){(échelle 0,5)}
\uput[u](-1.6,0){$- \frac{8}{5}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{2}{5 x  mul 3 add 2.71828 x exp mul 3 sub}
\end{pspicture*}
\end{center} 

Utiliser le graphique pour :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le signe de $g(x)$.
\item Donner la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $(- \infty)$ sachant que la
droite d'équation $y = - 3$ est une asymptote à la courbe.
\item Construire le tableau de variation de $g$ en précisant la valeur
exacte et une valeur approchée à $10^{-2}$ près du minimum.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\textbf{Étude de }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = g(x)$. En déduire le signe de
$f'(x)$ en fonction de $x$.
\item  Déterminer la limite de $f$ en $(- \infty)$ et dresser le tableau de variation
de $f$.
\item  Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = - 3 x - 2$ est une asymptote
à la courbe C lorsque $x$ tend vers $(- \infty)$.
\item  Étudier les positions relatives de C et de $\Delta$.
\item  Tracer, dans le repère \Oij{} la droite $\Delta$ et la courbe C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\textbf{Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale :

\[I = \displaystyle\int_{-3}^{-2} (5 x - 2) \text{e}^x\text{d}x.\]

\item En déduire l'aire A en cm$^2$ du domaine limité par la courbe, l'axe
des abscisses, et les droites d'équations $x = - 3$ et $x = - 2$.

Le résultat sera donné à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}