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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
\renewcommand{\)}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{19 juin  2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie -- 19 juin  2013~\decofourright\\[3pt]
Corrigé}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}%   \section{exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textit{On ne demandait aucune justification dans cet exercice.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{b.}

\textit{La longueur de l'intervalle $[ -1\:; 1]$ est 2; celle de l'intervalle $[ -2\:; 5]$ est 7. D'après la loi uniforme, on fait le quotient des longueurs des intervalles.}

\item \textbf{a.}

\textit{On peut utiliser la calculatrice pour obtenir la réponse.}

\item \textbf{c.}

\textit{On peut éliminer rapidement les courbes \textbf{a.} et \textbf{d.}. Comme l'aire sous la courbe doit être égale à $1$, on peut éliminer la courbe \textbf{b.}}
 
\item \textbf{c.}

\textit{L'intervalle de confiance est $\left[ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\:; f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right] $ donc $\left[ \dfrac{424}{800}-\dfrac{1}{\ds\sqrt{800}}\:; \dfrac{424}{800} +\dfrac{1}{\ds\sqrt{800}} \right]$.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}%   \section{exercice 2 non spé}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On remarque d'abord qu'on interroge au hasard un élève de terminale, donc on est dans un cas d'équiprobabilité.


\begin{enumerate}

\item% En utilisant les effectifs inscrits dans le tableau :

\begin{enumerate}

\item% Sachant qu'on interroge un garçon, calculer la probabilité qu'il soit en série Littéraire.
Il y a en tout \np{138617} garçons dont \np{11080} en série littéraire.

Comme on est dans un cas d'équiprobabilité, la probabilité que l'élève interrogé soit en série littéraire sachant que c'est un garçon est:
$p_\text{G}\(\text{L}\)=\dfrac{\np{11080}}{\np{138617}} \approx 0,08$.

\item% Calculer $p(\mathrm{S})$.
L'événement S représente \og{}L'élève choisi est en série scientifique\fg.

Il y a $\np{71765} + \np{87031} = \np{158796}$ élèves en série scientifique sur un total de $\np{176109}+\np{138617} = \np{314617}$ élèves.
Donc $p\(\text S\)=\dfrac{\np{158796}\rule{0pt}{9pt}}{\np{314617}} \approx 0,50$.

\end{enumerate}

\item% Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :

On complète l'arbre donné dans le texte:

\begin{center}
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{F}\naput{0,56}}
	                        {
	                        \TR{L}\naput{0,23}
			                \TR{ES}\naput{0,36}
		                    \TR{S} \nbput{\red 0,41}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{G}\nbput{\red 0,44}}
                            {
	                        \TR{L}\naput{\red 0,08}
	                        \TR{ES}\naput{0,29}
	                        \TR{S} \nbput{\red 0,63}
	                        }
      }
}% fin du \small
\end{center}

\bigskip

\item% En utilisant l'arbre complété et les propriétés des probabilités :
\begin{enumerate}

\item% Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que l'élève choisi soit un élève de la série Sciences Économiques et Sociales est égale à 0,33.

D'après la formule des probabilités totales:

$p\(\text{ES}\)= p\(\text{F} \cap \text{ES}\) + p\(\text G \cap \text{ES}\) =
 p\(\text F\) \times p_{\text F}\(\text{ES}\) + 
 p\(\text G\) \times p_{\text G}\(\text{ES}\)\\
\phantom{p\(\text{ES}\)} = 0,56 \times 0,36 + 0,44 \times 0,29 = \np{0,2016} + \np{0,1276}=\np{0,3292}\\
\phantom{p\(\text{ES}\)} \approx 0,33$ 


\item% Calculer $p_{\mathrm{ES}}(\mathrm{F})$.

$p_{\text{ES}}\(\text F\)= \dfrac{p\(\text{ES} \cap \text F\)}{p\(\text{ES}\)}
= \dfrac{\np{0,2016}}{\np{0,3292}} \approx 0,61$


\end{enumerate}
\item  On choisit successivement et au hasard $10$~élèves de terminale de série générale.  On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves de la série ES parmi les 10 élèves choisis.

La probabilité de choisir un élève de ES est 0,33 et on admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que les choix des 10~élèves soient assimilés à des tirages indépendants avec remise.

On peut donc dire que la variable aléatoire $X$  suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,33$.

Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est donnée par:
$p\(X=k\)= \ds\binom{n}{k}\,p^k \(1-p\)^{n-k}$

Donc la probabilité de choisir exactement trois élèves de la série ES est:

$p\(X=3\)= \ds\binom{10}{3}\,0,33^3 \(1-0,33\)^{10-3} \approx 0,26$

%Calculer la probabilité de choisir exactement trois élèves de la série ES.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}%   \section{exercice 2 spé}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}


\medskip
 
\textbf{Partie A}%   \subsection{partie A}

\medskip

On considère le graphe étiqueté suivant :

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(3,.5)
\psset{labelsep=2pt,nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
\rput(0,0){\dianode{A}{1}}
\rput(1,0){\dianode{B}{2}}
\rput(2,0){\dianode{C}{3}}
\rput(3,0){\dianode{D}{4}}
\ncarc{->}{A}{B}\naput{\textbf{S}}
\ncarc{->}{B}{A}\naput{\textbf{U}}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{B}{.7cm}\naput{\textbf{P}}
\rput{180}(1,0){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{.7cm}\naput[nrot=:U]{\textbf{C}}}
\ncline{->}{B}{C}\naput{\textbf{E}}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{C}{.7cm}\naput{\textbf{N}}
\ncline{->}{C}{D}\naput{\textbf{S}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Parmi les trois codes suivants, écrire sur votre copie le (ou les) code(s) reconnu(s) par le graphe.

Parmi les trois codes suivants:

%\begin{center}
\hfill \begin{tabularx}{.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
SUCCES & SCENES & SUSPENS
\end{tabularx}\hfill\,
%\end{center}

le seul reconnu par le graphe est SUSPENS.

\item% Recopier et compléter la matrice d'adjacence A associée au graphe. On prendra les sommets dans l'ordre 1-2-3-4.
La matrice d'adjacence du graphe ci-dessus est une matrice carrée d'ordre 4 (le nombre de sommets) dans laquelle l'élément situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$ donne le nombre de chemins de longueur 1 allant du sommet $i$ au sommet $j$ du graphe.

La matrice d'adjacence de ce graphe est donc:
$ A= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 \\ 
\end{pmatrix}$

\item Avec une calculatrice on a calculé : $A^4 =\begin{pmatrix}
5 & 12 & 8 & 3 \\
12 & 29 & 20 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$.

Cette matrice donne, à la ligne $i$ et à la colonne $j$, le nombre de chemins de longueur 4 allant du sommet $i$ au sommet $j$ du graphe.

Le nombre 3 situé sur la première ligne et la quatrième colonne de la matrice $A^4$, représente le nombre de mots de 4 lettres allant du sommet 1 au sommet 4, c'est-à-dire le nombre de codes reconnus par le graphe.

Il y a donc 3 codes de 4 lettres reconnus par ce graphe: SPES, SCES et SENS.


\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{Partie B}%   \subsection{partie B}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,1)
\psset{linewidth=.75pt}
\cnodeput(0,0){N}{\bf N}   \cnodeput(1,-1){R}{\bf R} \cnodeput(1,1){V}{\bf V} \cnodeput(2.2,1){T}{\bf T} \cnodeput(3,0){A}{\bf A} \cnodeput(3.8,-1){E}{\bf E} \cnodeput(5,1){B}{\bf B} \cnodeput(5,-1){C}{\bf C}  \cnodeput(6,0){D}{\bf D}
\ncline{B}{A}\ncput*{\bf \sf 35}  \ncline{A}{E}\ncput*{\bf \sf 12}  \ncline{E}{C} \ncput*{\bf \sf 38} \ncline{C}{D} \ncput*{\bf \sf 18}  \ncline{D}{B} \ncput*{\bf \sf 19} \ncline{B}{E} \ncput*{\bf \sf 41} \ncline{E}{R} \ncput*{\bf \sf 53} \ncline{R}{N} \ncput*{\bf \sf 21}  \ncline{N}{V} \ncput*{\bf \sf 32} \ncline{V}{T} \ncput*{\bf \sf 16} \ncline{T}{R} \ncput*{\bf \sf 24} \ncline{R}{A} \ncput*{\bf \sf 58}
\ncline{A}{T} \ncput*{\bf \sf 25} \ncline{T}{B} \ncput*{\bf \sf 63} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

Antoine décide d'aller visiter neuf châteaux de la Loire.

Il a construit le graphe ci-dessus où les sommets représentent:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
A : Amboise &  B : Blois & C : Cheverny & D : Chambord\\
E : Chenonceau & T : Tours & V : Villandry & R : Azay-le-Rideau\\
N : Chinon & & & \\
\end{tabularx}

Sur les arêtes sont indiquées les distances en km

\begin{enumerate}

\item% Antoine peut-il partir de Blois et y revenir, en parcourant une et une seule fois chacune des routes matérialisées par les arêtes de ce graphe ? On justifiera la réponse.
Un chemin qui passe une fois et une seule par toutes les arêtes d'un graphe est un chemin \og{}eulérien\fg{}; un chemin eulérien qui part d'un sommet et qui revient au même sommet est un \og{}cycle eulérien\fg{}.

Un graphe possède un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. C'est le cas de ce graphe, donc Antoine peut partir de Blois et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes matérialisées par les arêtes de ce graphe. 

Un cycle eulérien partant de Blois est:
B - T - V - N - R - T - A - B - E - A - R - E - C - D - B


\item% Déterminer le plus court chemin pour aller du château de Chambord au château de Chinon. On donnera le parcours ainsi que le nombre total de kilomètres.

On détermine le plus court chemin allant du château de Chambord (D) au château de Chinon (N) en utilisant l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{3mm}}
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}
\hline 
\esp A\esp  & \esp B\esp  & \esp C\esp  & \esp D\esp  & \esp E\esp  & \esp N\esp  & \esp R\esp  & \esp T\esp  & \esp V\esp  &  {\small On garde} \\ 
\hline 
$\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & D \\ 
\hline 
$\infty$ & 19 & \sur{18} &  & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & C (D) \\ 
\hline 
$\infty$ & \sur{19}  &  &  & 56 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & B (D) \\ 
\hline 
\sur{54} &  &  &  & \sout{60} & $\infty$ & $\infty$ & 82 & $\infty$ &  \\[-4pt] 
         &  &  &  & 56        &  &  &  &  & A (B) \\ 
\hline 
 &  &  &  & \sout{66} & $\infty$ & 112 & \sout{82} & $\infty$ &  \\[-4pt]
 &  &  &  & \sur{56}  &          &          &  79  &          & E (A) \\  
\hline 
 &  &  &  &           & $\infty$ & \sout{112}& \sur{79} & $\infty$&\\[-4pt]
  &  &  &  &           &  & 109&     &  & T (A) \\
\hline 
 &  &  &  &           & $\infty$ &    \sout{109}     &    & \sur{95} &  \\[-4pt]
  &  &  &  &           &          &   103      &    &          & V (T) \\
\hline 
 &  &  &  &  & 127 & \sur{103} &  &  & R (T) \\ 
\hline 
 &  &  &  &  & \sout{127} &  &  &  &  \\[-4pt] 
  &  &  &  &  & \sur{124} &  &  &  & N (R) \\ 
\hline  
\end{tabular} }
\end{center}

Le trajet le plus court reliant Chambord à Chinon fait 124~km:
D $\stackrel{19}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{35}{\longrightarrow}$ 
A $\stackrel{25}{\longrightarrow}$ 
T $\stackrel{24}{\longrightarrow}$ 
R $\stackrel{21}{\longrightarrow}$ N


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}%   \section{exercice 3}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip
 
Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70\,\% des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.

Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.

\begin{enumerate}

\item% Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.
$600\times \dfrac{70}{100}= 420$ et $420+210=630$;
le nombre d'abonnés en 2011 est de $630$.

$630 \times \dfrac{70}{100} = 441$ et $441+210=651$;
le nombre d'abonnés en 2012 est de $651$.


\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par : $u_0 = 600$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7u_n + 210$.

On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(u_n)$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& \textsf{A} & \textsf{B} \\ \hline
\textsf{1} & n & u n \\ \hline
\textsf{2} & 0 & 600 \\ \hline
\textsf{3} & 1 &   \\ \hline
\textsf{4} & 2 &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La formule à écrire dans la cellule B3 pour calculer $u_1$ est \fbox{= B2*0.7 + 210}; on recopie cette formule dans les cases B4, B5, etc.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 700$; donc $u_n=v_n+700$.

\begin{enumerate}

\item% Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,7.
$v_{n+1}=u_{n+1}-700 = 0,7\,u_n+210 -700 = 0,7\(v_n+700\) -490 = 0,7\,v_n +490 - 490 = 0,7\,v_n$

$v_0= u_0-700 = 600-700=-100$

Donc la suite $\(v_n\)$ est géométrique de premier terme $v_0=-100$ et de raison $q=0,7$.

On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0 \times q^{n}$ donc $v_n=-100 \times 0,7^n$. 
\item% Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 700 - 100 \times 0,7^n$.
On a vu que, pour tout $n$, $u_n=v_n+700$ donc on peut dire que $u_n = -100 \times 0,7^n +700$ ce qui équivaut à $u_n=700 - 100 \times 0,7^n$.

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n \geqslant 697$ est équivalent à $0,7^n \leqslant 0,03$.
$u_n \pg 697 \iff 700 - 100 \times 0,7^n \pg 697 \iff 3 \pg 100 \times 0,7^n \iff 0,03 \pg 0,7^n \iff 0,7^n \pp 0,03$
		\item Pour résoudre cette inéquation, on fait tourner l'algorithme proposé dans le texte (valeurs de $U$ arrondies au millième dès que nécessaire):

%\medskip
%
%\begin{tabular}{|lp{6cm}}
%\textbf{Variables :} & $N$ est un nombre entier naturel\\
%\textbf{Initialisation :} & Affecter à $N$ la Valeur 0 \par Affecter à $U$ la valeur 1 \\
%\textbf{Traitement :} & Tant que $U > 0,03$ \par
%\begin{itemize}
%\item[] Affecter à $N$ la valeur $N + 1$.
%\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,7 \times U$.
%\end{itemize}
%Fin du Tant que\\
%\textbf{Sortie :} & Afficher $N$.\\
%\end{tabular}

\medskip

\begin{center}
{\renewcommand\arraystretch{1.2}
\def\esp{\hspace*{7mm}}
$\begin{array}{|l|c|c|}
\cline{2-3} 
\multicolumn{1}{c|}{\hspace*{3cm}} &\esp N\esp & \esp U\esp \\ 
\hline 
\blue\esp\text{Initialisation} & \blue 0 & \blue 1 \\ 
\hline 
 & 1 & 0,7 \\ 
\cline{2-3} 
 & 2 & 0,49 \\ 
\cline{2-3}
 & 3 &  0,343\\ 
\cline{2-3}
 & 4 & 0,240 \\ 
\cline{2-3}
\esp\text{Traitement} & 5 & 0,168 \\ 
\cline{2-3}
 & 6 & 0,118 \\ 
\cline{2-3}
 & 7 & 0,082 \\ 
\cline{2-3}
 & 8 & 0,058 \\ 
\cline{2-3} 
 & 9 & 0,040 \\
\cline{2-3} 
 & 10 & 0,028 \\  
\hline 
\red \esp\text{Sortie} & \multicolumn{2}{c|}{\red \text{On affiche }10}\\
\hline
\end{array}$ 
}
\end{center}

On obtient 10 pour valeur de $N$ en sortie.

		\item% Retrouvez ce résultat en résolvant l'inéquation $0,7^n \leqslant 0,03$.
On résout l'inéquation $0,7^n \pp 0,03$:

$0,7^n \pp 0,03 \iff \ln\(0,7^n\) \pp \ln\(0,03\) \iff n\times  \ln\(0,7\) \pp \ln\(0,03\) \iff n \pg \dfrac{\ln\(0,03\)}{\ln\(0,7\)}$

Or $\dfrac{\ln\(0,03\)}{\ln\(0,7\)} \approx 9,83$ donc $n \pg 10$ car $n$ est un nombre entier.

		\item% En utilisant l'étude précédente de la suite $\left(u_n\right)$, déterminer à partir de quelle année le nombre d'abonnés atteindra au moins $697$.
Le nombre d'abonnés atteindra au moins 697 pour l'entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 697$ c'est-à-dire pour $n\pg 10$ donc à partir de l'année $2010+10$ soit $2020$.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}%   \section{exercice 4}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

Elle passe par les points $A\left(1~;~4\e^{0,5} \right)$, $B\(0~;~5\)$ et $C\(5~;~0\)$.

Le point $D\(-3~;~0\)$ appartient à la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

\newpage

\textbf{Partie A - Par lecture graphique}%   \subsection{partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quel est le signe de $f'(1)$ ? Justifier.
Le nombre $f'\(1\)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe passant par le point $A$ qui est d'abscisse 1; d'après le texte, cette tangente est la droite $(DA)$.

Le coefficient directeur de $(DA)$ est $\dfrac{y_A-y_D}{x_A-x_D} = \dfrac{1 - \(-3\)}{4\e^{0,5}-0} = \dfrac{4}{4\e^{0,5}} \approx 0,6 >0$. 
Donc $f'\(1\)>0$.

\item% Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
Le point $A$ semble représenter un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

\item 
	\begin{enumerate}

		\item Le domaine hachuré en rouge sur le graphique ci-dessous, délimité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$ et $x=3$, a une aire égale à $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$ unités d'aire.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-4)(7,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(5-x)*EXP(0.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(7,12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-4)(7,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](7,0){{$x$}} \uput[dl](0,12){{$y$}} 
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5.285}{\f}
\pscustom[fillstyle=hlines, linestyle=solid, linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{   
\psplot{0}{3}{\f}           % courbe de f sur [0;3]
\lineto(3,0)\lineto(0,0)    % trace les segments
\closepath                  % indispensable pour fermer le chemin
}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-5,-3.297)(4.278,12)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,6.595)
\uput[r](0,5){\bleu{$B$}}
\uput[u](1,6.59){\bleu{$A$}}
\uput[ur](5,0){\bleu{$C$}}
\uput[dl](4.9,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[ul](-3,0){\prune{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}


		\item Le seul encadrement qui convient parmi les trois proposés est:
$20 \pp I \pp 24$; il suffit de compter le nombre de rectangles d'aires 1 contenus dans la partie hachurée.	

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Par le calcul}%   \subsection{partie B}

\medskip

On admet que pour tout réel $x$, $f\(x\) = \(-x + 5\)\e^{0,5x}$ et $f'\(x\) = \(1,5- 0,5x\)\e^{0,5\,x}$. 

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}

		\item% Vérifier que, pour tout réel $x$, $f''(x) = 0,25\(-x + 1\)\e^{0,5\,x}$.
$f''\(x\)=-0,5\e^{0,5\,x}+ \(1,5-0,5\,x\)\(0,5\e^{0,5\,x}\)
= -0,5\e^{0,5\,x}+ 0,75\e^{0,5\,x}-0,25\,x\e^{0,5\,x}\\[5pt]
\phantom{f''\(x\)}= 0,25\e^{0,5\,x} -0,25\,x\e^{0,5\,x}
= 0,25\(-x+1\)\e^{0,5\,x}$

		\item% Résoudre l'équation $f''(x)= 0$. Montrer que le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
$f''\(x\)=0 \iff 0,25\(-x+1\)\e^{0,5\,x} = 0 \iff -x+1=0$ car $\e^{0,5\,x}>0$ pour tout réel $x$.

$f''\(x\)=0 \iff x=1$  

Le point de la courbe d'abscisse 1 est donc le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal C_f$; il s'agit du point $A$.

		\item% Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle convexe ? Justifier.
On sait qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est strictement positive sur cet intervalle.

On résout  $f''\(x\)>0 \iff 0,25\(-x+1\)\e^{0,5\,x} \iff -x+1 >0$ car $\e^{0,5\,x}>0$ pour tout $x$.

$f''\(x\)>0 \iff -x+1>0 \iff 1>x \iff x<1$

La fonction $f$ est donc convexe sur l'intervalle $]-\infty\:; 1[$.

	\end{enumerate} 

\item Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F\(x\) = \(-2x+14\)\e^{0,5\,x}$, une primitive de $f$ sur $\R$.

D'après le cours: 

$I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x = F\(3\)-F\(0\) = \(\(-6+14\)\e^{0,5\times 3}\) - \(14 \e^0 \) 
= 8\e^{1,5} -14 \approx 21,85$ unités d'aire.


\end{enumerate}

\end{document}