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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin  2001}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une kermesse, un jeu est organisé de la façon suivante : le joueur mise $10$~francs puis il réalise un tirage en deux étapes :

\smallskip

1\up{re} étape : Le joueur tire au hasard un billet dans un panier.
Dans ce panier, on a placé 10 billets marqués \og U$_{1}$ \fg{} et 2 billets marqués \og U$_{2}$ \fg.

2\up{e} étape :

--- Si le joueur a obtenu un billet marqué \og U$_{1}$ \fg, il tire alors
un jeton dans une urne U$_{1}$ où sont placés 10 jetons marqués \og Perdant \fg{} et 2 jetons marqués \og Gagnant \fg.

--- Si le joueur a obtenu un billet marqué \og U$_{2}$ \fg, il tire alors un jeton dans une urne U$_{2}$ où sont placés 7 jetons marqués \og Perdant \fg{} et 5 jetons marqués \og Gagnant \fg.

\medskip


On note $A$ l'évènement :  Le joueur a tiré un billet \og U$_{1}$  \fg.

On note $B$ l'évènement :  Le joueur a tiré un billet \og U$_{2}$  \fg.

On note $G$ l'évènement :  Le joueur a tiré un jeton marqué \og Gagnant \fg. 

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu.
\item Calculer la probabilité des évènements
$(G \cap A)$ et $(G \cap B)$.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à  $\dfrac{5}{24}$.
\item Quelle est la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ par  rapport à l'évènement $G$ ?

Les évènements $A$ et $G$ sont-ils indépendants en probabilité ?

\item Avec un jeton gagnant de l'urne U$_{1}$, le joueur reçoit 25 F ; avec un jeton gagnant de l'urne U$_{2}$, il reçoit 50 F ; sinon rien. On notera $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue du jeu.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Déterminer son espérance mathématique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Le tableau suivant représente l'évolution du nombre d'éléphants dans une
réserve, à partir de sa création en 1988 :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||*{6}{c |}}\hline
Année						&1988	&1990	&1992	&1994	&1996	&1998\\ \hline \hline
Rang de l'année : ~$x_{i}$	&0		&2		&4		&6		&8		&10\\ \hline
Effectif :~ $y_{i}$ 		&144	&164	&210	&238	&266	&316\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique est représenté en annexe.

Ce dernier document sera complété au fur et à mesure et rendu avec la
copie.

L'objet de l'exercice est de faire des prévisions sur l'effectif de la 
population d'éléphants de cette réserve pour l'année 2000.

\textsl{Ces prévisions  seront arrondies à l'entier le plus proche.}

\textsl{Aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la calculatrice, n'est demandé dans cet exercice.
Les coefficients des équations de droites seront arrondis au centième}.

\psset{yunit=0.3mm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,260)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=50](0,0)(0,0)(12,260)
\rput(6.5,270){\textbf{Nombre d'éléphants dans la réserve}}
\rput{90}(-1,130){effectif}
\rput(7,-30){rang de l'année}
\psset{linecolor=gray}
\qdisk(0,44){2.5pt} \qdisk(2,64){2.5pt} \qdisk(4,110){2.5pt} 
\qdisk(6,138){2.5pt} \qdisk(8,166){2.5pt} \qdisk(10,216){2.5pt} 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{0.7cm}
\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

 Un premier ajustement affine du nuage de points est réalisé avec la droite $\Delta_{1} = (\text{M}_{0}\text{M}_{10})$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer sur le graphique de l'annexe cette droite $\Delta_{1}$.
\item Au moyen d'une lecture graphique, déduire une prévision $p_{1}$ de l'effectif pour l'année 2000.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

\medskip
    
On désigne par ($\Delta_{2}$) la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner une équation de ($\Delta_{2}$) et tracer cette droite sur le graphique joint en annexe.
\item Calculer la nouvelle prévision $p_{2}$ pour l'effectif en l'an 2000.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\medskip
    
L'effectif pour l'année 1999 est maintenant connu : 336 éléphants.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Placer le nouveau point sur le graphique.
\item On intègre cette valeur dans la série statistique initiale.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la nouvelle droite ($\Delta_{3}$) de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item Calculer la prévision correspondante $p_{3}$ pour l'effectif en l'an 2000.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie D} \end{center}

\medskip
    
On ne garde dans le tableau que les valeurs des années 1994 à 1999.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner l'équation de la droite ($\Delta_{4}$) de régression de $y$ en $x$.
\item Calculer la nouvelle prévision $p_{4}$ pour l'an 2000.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère \Oijk{} orthonormal.

Représenter ce repère sur votre copie en prenant pour unité sur chaque
axe 2~cm.

La qualité de cette représentation sera prise en compte. Le candidat pourra s'aider du graphique donné en annexe.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On donne le plan (P) d'équation $2 x + 2y + 3 z = 6$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points A, B, C intersections du plan (P) avec les axes du repère \Oijk.
		\item Tracer les droites d'intersection du plan (P) avec les plans de coordonnées du repère \Oijk.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan (Q) d'équation 	$x + 2y = 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersections du plan (Q) avec les axes du repère \Oijk, quand ceux-ci existent.
		\item Tracer les droites d'intersection du plan (Q) avec les plans de coordonnées du repère \Oijk.
		\item Tracer l'intersection des deux plans (P) et (Q).
	\end{enumerate}
\item On donne les points D(1~;~0~;~0), E$(0~;~- 4~;~0)$ et F(0~;~0~;~4).
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F.
		\item Calculer les coordonnées du point G, intersection des trois plans (P), (Q) et (R).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}
\psset{yunit=1cm}
\begin{center}
\rput(5.2,7){Annexe}
\begin{pspicture}(10.3,6.5)
\psframe(0,0)(10.3,6.5)
\psline(4.65,0)(4.65,6.5) % axe 8
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(5.1,0)(5.1,6.5)%axe 3
\psline(5.7,0)(5.7,6.5) % axe 9
\psline(5.8,6.5)(3.55,0) % ligne 7
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(7.8,6.5)(2.3,0) % axe 1
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,4.05)(10.3,2.4) % axe 2
\psline(0,0.9)(10.3,4.95) % axe 4
\psline(0,1.6)(10.3,3.6) % axe 5
\psline(2.5,6.5)(10.3,0.35) % axe 6
\rput(4.95,3.45){O} \rput(6.9,2.7){B} 
\rput(4.5,2.3){A} \rput(4.95,4.8){C} 
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$	par :

\[f(x) = x + 3 + \text{e}^{(- x + 2)}.\]

On notera $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentation de $f$ dans un repère \Oij{} orthonormal.

On prendra pour unité graphique 1~cm sur chaque axe.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer l'existence d'une droite (D) asymptote à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
Donner une équation de (D).
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la droite (D) et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ dans le repère défini plus haut.
		\item En utilisant le graphique, indiquer le nombre de solutions de l'équation E : ~$f(x) = 8$.

Donner une valeur approchée de ces solutions avec la précision permise 
par le graphique.
	\end{enumerate}
\item Justifier que sur l'intervalle [2~;~6], l'équation E admet une 
solution unique $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{- 2}$.
\item On appelle M la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
[1~;~9].

Calculer M, en donner une valeur exacte, puis une valeur approchée à
$10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise industrielle produit chaque jour $x$ centaines d'objets 
 ($1~<~ x~<~20$).
 
Le coût de fabrication de $x$ centaines d'objets est donné par $f(x)$ 
exprimé en milliers de francs.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le coût de fabrication de 600 objets, \np{1000}~objets, \np{1200}~objets, arrondi au franc.

Quel est, dans chacun de ces cas, le coût arrondi au franc de 
fabrication d'un objet ?
\item Quelle quantité d'objets doit-on fabriquer pour que le coût
de fabrication soit le plus proche possible de \np{8000}~F ?
\item Montrer que le coût de fabrication est minimal lorsque
l'entreprise fabrique une quantité $q_{0}$ d'objets. Donner la valeur de 
$q_{0}$.

Quel est alors le coût, en francs, de fabrication d'un objet ?
\end{enumerate}
\end{document}