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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small  juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1995~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On a relevé dans le T. E. F. (Tableaux de l'économie française) de l'année 1994 les prestations sociales concernant la santé reçues par les ménages, en France, au cours d'un certain nombre d'années.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 					&1988 	&1989 	&1990 	&1991 	&1992 	&1993\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$	& 1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline 
Dépenses de santé $y_{i}$ (en milliards de francs)	&368 	&395 	&420 	&443 &468 &487\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on choisira des unités convenables de façon à utiliser au mieux toute la feuille de papier millimétré; en particulier on mettra $300$ à l'origine sur l'axe des ordonnées).
 
(Les résultats numériques des questions 2 et 3 seront arrondis à $10^{- 3}$ près.) 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. 
		\item Tracer cette droite de régression sur le graphique de la question 1. 
	\end{enumerate}
\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $y$ en $x$. 
\item D'après les résultats précédents, et en l'absence de contraintes nouvelles, quel aurait da être le montant approximatif, à 1 milliard de francs près, des prestations de santé, versé en 1994 ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
À la cafétéria, dans la vitrine pâtisserie, 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 60\,\% des gâteaux sont à base de crème ; 
\item parmi ceux qui sont à base de crème, 30\,\% ont aussi des fruits ; 
\item parmi les gâteaux qui n'ont pas de crème, 80\,\% ont des fruits.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prend un gâteau au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'avoir un gâteau à base de crème et comportant des fruits. 
		\item Calculer la probabilité d'avoir un gâteau avec des fruits mais sans crème. 
		\item En déduire que la probabilité d'avoir un gâteau avec des fruits est égale \`a $0,50$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le gâteau pris au hasard comporte des fruits. Quelle est la probabilité qu'il soit à base de crème ? 
		\item Le gâteau pris au hasard ne comporte pas de fruit. Quelle est la probabilité qu'il soit à base de crème ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$, par son premier terme $u_{0} = 5$ et, pour tout entier $n$, par la relation de récurrence $u_{n+1} = a u_{n} + 4$ ($a$ est un réel). 

On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $a$ pour que la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ soit une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. 
\item Dans la suite de l'exercice, on prend $a = \dfrac{1}{3}$.
 
Calculer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle convergente ? 
\item Déduire de la question précédente la limite de $\left(u_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la somme $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Étudier la convergence de la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur $\N$. 
		\item En déduire la limite de la somme $\sum_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ telle que: 

\[f(x) = ax^3 + bx^2 + c\quad  \text{où}\: a, b et c \text{désignent des nombres réels}.\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij.

Calculer les réels $a, b$ et $c$ sachant que la courbe $\mathcal{C}$ possède les propriétés suivantes : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ coupe l'axe (O,[) au point d/ordonnée 20. 
\item $\mathcal{C}$ passe par le point A( - 1 ; 18) et admet en ce point une tangente 
de coefficient directeur 3.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\R$ par 

\[g(x) = - x^3 - 3x^2  + 20.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$. 
\item Calculer $g(2)$. Déduire de ce résultat et de l'étude des variations de $g$ l'ensemble des solutions dans $\R$, de l'inéquation : $g(x) > 0$. 
\item Représenter graphiquement la fonction $g$ sur $[- 2~;~2[$ dans un 
repère orthogonal \Oij. On prendra pour unités : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. 

On notera $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de $g$. 
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-2~;~1]$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

Soit $h$ la fonction numérique définie sur $]- \infty~;~2[$ par: 

\[h(x) = \ln \left(- x^3 - 3x^2 + 20\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Utiliser des résultats de la partie B pour justifier que $h$ est bien définie sur $]- \infty~;~2[$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $h$ en $- \infty$ et en $2$. 
		\item Établir le tableau de variation de $h$.
	\end{enumerate} 
\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{2}$ de $h$ sur $[- 2~;~2[$ dans le repère précédent. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, justifier que l'équation, $h(x) = 2$, a une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~2[$. 
		\item Démontrer que $\alpha$ est élément de l'intervalle $\left[1~; \dfrac{7}{4}\right]$. 
		\item Calculer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par excès. 
		\item L'équation $g(x) = \text{e}^2$ a une solution unique dans $\R$ ; laquelle ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}