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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Terminale ES}
\lfoot{\small Asie}
\rfoot{\small juin 1997}
\vspace{0,5cm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat ES Asie  juin 1997}  }
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution des obligations (capitalisation en fin d'anée en milliards de francs) en France de 1980 à 1986.

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années 					&1980	&1981	&1982	&1983		&19874		&1985		&1986\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&1		&2		&3		&4			&5			&6			&7\\ \hline
Montant des obligations
 $y_{i}$				&567,3	&580,5	&778,9	&\np{1032,9}&\np{1296,7}&\np{1598,1}&\np{1870,6}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize \emph{La Bourse : temple de la spéculation au marché financier ; B.Bellante - juillet 1989}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On envisage un ajustement exponentiel de $y$ en $x$ : on pose donc $Y_{i} = \ln y_{i}$. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant (les valeurs de $Y_{i}$ seront arrondies à $0,01$ près par défaut).

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$Y_{i}$&6,34&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série $(\left(x_{i}~;~Y_{i} \right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités : 2~cm pour unité en abscisse (origine 1979) ; 10~cm pour une unité en ordonnée (origine 6).

Donner le coefficient de corrélation de la série $(\left(x_{i}~;~Y_{i} \right)$ à $0,01$ près par défaut.

(Le détail des calculs n'est pas demandé).

En déduire que, pour cette série, un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est satisfaisant.

Donner alors une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ sous la forme $Y = ax + b$ ($a$ et $b$ donnés à $0,01$ près par défaut), aucune justification n'est demandée.

Tracer cette droite.
\item En utilisant la droite de régression trouvée à la question précédente, avec les valeurs approchées de $a$ et $b$, et l'égalité $Y = \ln y$, donner les valeurs estimées de $Y_{i}$, puis de $y_{i}$ pour les années 1986 et 1987 (valeurs données à $0,01$ près par défaut).

Placer ces deux nouveaux points$\left(x_{i}~;~\text{valeur estimée de}\:y_{i}
\right)$ correspondant aux années 1986 et 1987 dans le repère précédent. 
\item On remarque que cette estimation est bonne pour 1986 mais l'année 1987 a connu un krach boursier et le montant réel des obligations en 1987 a été de \np{1941,6} 
milliards de francs,.

À quelle erreur (en pourcentage de la valeur réelle) l'estimation conduit-elle ? Le résultat sera donné au centième près par défaut.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill}

\medskip

Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit.

Sa capacité maximale de production est de 20~tonnes.
La courbe $C$ ci-jointe représente le coût de production $C(x)$, exprimé  en milliers de francs, en fonction du nombre $x$ de tonnes produites.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après une étude de marché, l'entreprise espère vendre son produit 84~milliers de francs la tonne.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction du nombre $x$ de tonnes produites, la recette $R(x)$ en milliers de francs espérée par cette entreprise.
		\item Tracer la représentation graphique $\Delta$ de la fonction $R$ sur le graphique ci-dessous, pour $x \in [0~;~20]$.
		
Déterminer graphiquement à quel intervalle doit appartenir $x$ pour assurer un bénéfice à l'entreprise.
		\item Déterminer graphiquement, à une tonne près, le nombre de tonnes à produire pour assurer un bénéfice maximum.
	\end{enumerate}
\item On considère maintenant que 

\[C(x) = x^3 - 30x^2 + 300x\quad \text{avec } \: x > 0.\]

Pour affaiblir la concurrence, l'entreprise décide de vendre son produit le moins cher possible sans perdre d'argent.

Soit $C_{m}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$ le coût moyen de fabrication.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $C_{m}(x)$ en fonction de $x$.
		
Étudier les variations de $C_{m}(x)	$ sur l'intervalle [0~;~20].
		\item En déduire la valeur $x_{m}$ qui assure un coût moyen minimum. Quel est alors le prix d'une tonne ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.005cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-50)(21,2050)
\multido{\n=0+5}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2000)}
\multido{\n=0+500}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](1,0)(1,2000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(-1,-50)(21,2050)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=500](0,0)(-1,-50)(21,2050)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,0.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 3 exp 300 x mul add x dup mul 30 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill }

\medskip

Le but de ce problème est l'étude d'une fonction, le tracé de sa représentation graphique et le calcul d'une aire liée à cette représentation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = - 1 + (1 - x )\text{e}^{- x}. \]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g^{\prime}(x)$. étudier son signe.
		\item Démontrer que la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $1$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. On précisera $g(0)$.
		\item Démontrer que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\:g(x) < 0$.		
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$  par 

\[f(x) = x \text{e}^{- x} - x + 4.\]
 
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. Unité : 2~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) = g(x)$. 
		\item étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ ; préciser la limite en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 4$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
		
étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
		\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et préciser la tangente  à cette courbe au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$  par

\[h(x) = - \dfrac{x}{2} + 4.\]

Tracer sa représentation graphique $D$ dans le m\^eme repère que $\mathcal{C}$.
		\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $D$.
		\item étudier le signe de $f(x) - h(x)$ sur  $[0~;~+ \infty[$ et en déduire la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $G$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$  par
		
		\[G(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\].
		
Calculer $G^{\prime}(x)$.
		\item En déduire une primitive de la fonction qui à $x$ associe $x\text{e}^{- x} - \dfrac{x}{2}$, sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 2$.
		
On donnera une valeur approchée à $10^{- 2}$ près par défaut de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}