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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale ES}
\lfoot{\small Asie}
\rfoot{\small{juin 1999}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}        

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1999~\decofourright}} 
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

Le tableau suivant recense par clinique le nombre de postes 
du personnel non médical en fonction du nombre de lits de la clinique :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Clinique	&$C_1$	&$C_2$	&$C_3$	&$C_4$	&$C_5$	&$C_6$	&$C_7$	&$C_8$	&$C_9$	&$C_{10}$	&$C_{11}$\\ \hline
Nombre de lits
 $x_i$		&122 	&177	&77		&135	&109	&88		&185	&128	&120	&146		&100\\ \hline
Nombre de 
postes $y_i$&205	&249	&114	&178	&127	&122	&242	&170	&164	&188		&172\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la 
série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 1~cm pour 20~lits en abscisse et 1~cm pour 50~postes
en ordonnée. 
\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre 
$x$ et $y$.
\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en 
$x$ par la méthode des moindres carrés (les détails des calculs ne sont
pas demandés). 

Pour les coefficients, on prendra les valeurs décimales arrondies à 
$10^{-1}$ près.

Tracer cette droite dans le repère précédent.
\item Une clinique possède 35 lits. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats obtenus en 3, combien 
devrait-elle embaucher de personnel occupant un poste non médical à temps plein ?  
		\item En réalité, cette clinique dispose de 60 postes.
		
Calculer la différence entre le nombre de postes réels et le nombre 
de postes théoriques obtenu précédemment.

Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la 
situation théorique ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice  2}\hfill 6 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Énoncé}

\medskip

Un grand club de ski français propose à la vente :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] des licences ;
\item[$\bullet~$] des cartes neige à prix normal ;
\item[$\bullet~$] des cartes neige à prix réduit pour les habitants de la 
commune.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour chacun de ces titres vendus, il faut distinguer deux catégories 
: la catégorie jeunes et la catégorie adultes.

Le nombre de titres vendus pour la saison 98 se répartit de la manière
suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 8,5\,\% de licences ;
\item[$\bullet~$] 77,5\,\% de cartes neige à prix réduit ;
\item[$\bullet~$] 1,5\,\% de licences catégorie jeunes ;
\item[$\bullet~$] 2,5\,\% de cartes neige à prix normal catégorie jeunes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

De plus, parmi les personnes ayant acheté une carte neige à prix 
réduit, $86,5\,\%$ sont des adultes.

On note :

$L$ : l'évènement  \og La personne a acheté une licence \fg{} ;

$CN$ : l'évènement \og La personne a acheté une carte neige à prix normal \fg{} ;

$CR$ : l'évènement \og La personne a acheté une carte neige à prix réduit \fg{} ;

$J$ : l'évènement \og 	 La personne est dans la catégorie jeunes \fg{} ;

$A$ : l'évènement \og 	 La personne est dans la catégorie adultes \fg.

\textbf{Questions}

On choisit au hasard un client de la saison 98.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour que :
	\begin{enumerate}
		\item cette personne ait acheté une carte neige à prix normal ;
		\item cette personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie  adultes.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité pour que la personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie jeunes est égale à $0,105$.
\item Sachant que la personne a acheté une licence, 
quelle est la probabilité pour qu'elle appartienne à la catégorie adultes ?
\item Quelle est la probabilité pour que cette 
personne appartienne à la catégorie jeunes ?
\item Sachant que la personne est jeune, quelle est la probabilité pour qu'elle ait acheté une licence ?

Pour répondre aux questions, on peut utiliser la méthode des arbres. 
Tous les résultats sont donnés avec un arrondi à $10^{-3}$ près (ex : 0,105 ou $10,5\,\%$.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{Énoncé}

\medskip

Dans l'espace rapporté au repère orthonormal \Oij, on a placé les points :

\medskip

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{*{3}{X}}\\
A(0 ~;~0 ~;~18)	&B(0~;~15~;~0) & \\
C(22,5~;~0~;~0) &D(0~;~0~;~12,5)&(voir Annexes 1 et 2)\\
E(0~;~25~;~0) 	&F(12,5~;~0~;~0). & \\
\end{tabularx}

\medskip

Le plan (ABC) a pour équation : $4 x + 6y + 5 z = 90$.

Le plan (DFE) a pour équation : $2x + y + 2z = 25$.

La droite (GI) est l'intersection des plans (ABC) et (DFE).

On admet que tout point $M(x~;~y~;~z)$ appartenant au polyèdre 
ODGBIF a des coordonnées qui satisfont aux conditions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{*{2}{X}}
$\bullet~ x > 0$ 			& $\bullet~4x + 6y + 5z \leqslant 90$\\
$\bullet~ y \geqslant  0$ 	& $\bullet~2x + y  + 2z \leqslant 25$\\
$\bullet ~z > 0$ 			& \\
\end{tabularx}
\end{center}

Une usine fabrique 3 types de vannes pour l'industrie 
pétrolière.

Pour fabriquer le modèle V1, il faut 20 heures d'usinage et 20 heures 
de montage.

Pour fabriquer le modèle V2, il faut 30 heures d'usinage et 10 heures 
de montage.

Pour fabriquer le modèle V3, il faut 25 heures d'usinage et 20 heures 
de montage.

Le nombre d'ouvriers spécialisés permet de disposer de $450$ heures
d'usinage par semaine.

Le nombre d'ouvriers monteurs permet de disposer de $250$ heures de
montage par semaine.

On désigne par $x$ le nombre de vannes de type V1 fabriquées dans une
semaine, $y$ le nombre de vannes de type V2 et $z$ le nombre de vannes de
type V3.

Les points de coordonnées $(X~;~Y~;~Z)$ qui satisfont aux contraintes  précédentes sont situés à l'intérieur du polyèdre ODGBIE. 

Le bénéfice réalisé sur une vanne de type V1 est de \np{2000}~F, sur une
vanne de type V2, il est de \np{3000}~F et enfin sur une vanne de type V3, il est de \np{5000}~F.

Un point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ représente une production.

\medskip

\textbf{Questions}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Montrez que les points représentant une production pour laquelle le
bénéfice total est de \np{30000}~F sont situés sur le plan (P) d'équation 
cartésienne : $2 x + 3y + 5 z = 30$.

Le plan (P) est tracé sur la figure de l'annexe 2.

\item[\textbf{b.}] Montrez qu'une production de 5 vannes de type V1, de 5 vannes de 
type V2 et d'une vanne de type V3 est réalisable par cette usine en 
une semaine et que le bénéfice alors réalisé est de \np{30000}~F.
 
Quelle conclusion en tirez-vous sur la position du point K de 
coordonnées (5~;~ 5~;~1) ?

\item[\textbf{c.}] Montrez que les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de \np{60000}~F sont situés sur le plan (Q) 
d'équation cartésienne : $2 x + 3y + 5 z = 60$.

\item[\textbf{d.}] Quelle remarque pouvez-vous faire sur les plans (P) et (Q) ?

\item[\textbf{e.}] On admet que le bénéfice réalisé par l'entreprise est maximal 
lorsque le plan (R) d'équation $2 x + 3y + 5 z = b$ passe par le point 
G dont les coordonnées sont $\left(0~;~\dfrac{55}{7}~; ~
\dfrac{60}{7}\right)$.

Calculer ce bénéfice maximal.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\large{\textbf{Partie A}}\normalsize{}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~50] par : 

\[f(x) = x^2 + \dfrac{50x}{x + 1} - 50 \ln (x + 1) - 50.\]

La dérivée $f'(x)$ est égale à : $\dfrac{2x(x - 4)(x + 6)}{(x + 1)^2}$.

La courbe ($\mathcal{C}$) de $f$ est donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~50].
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur [0~;~50]. On admet que $f(x)$ s'annule pour une seule valeur $\alpha$et de
l'intervalle ]0~;~50[ ; en déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~50].
\item Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.

Pour la suite du problème, on prendra pour $\alpha$ la plus petite de ces deux valeurs.
\end{enumerate}

\bigskip

\large{\textbf{Partie B}}\normalsize{}

\medskip

Une entreprise fabrique une quantité $x$, exprimée en kilogrammes, d'un certain produit.

Le coût marginal $C$, exprimé en euros, est défini sur [0~;~50] par

\[C(x) = 2x + \dfrac{50}{x + 1}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction coût total, notée $C_{\text{T}}$ est la 
primitive de la fonction C sur [0 ~;~ 50] qui prend la valeur 50 pour $x =  0$.

Vérifier que $C_{\text{T}}(x) = x^2 + 50 \ln (x + 1) + 50.$
\item Le coût moyen est la fonction $C_{m}$, définie par :

\[C_{m}(x) = \dfrac{C_{\text{T}}(x)}{x} \text{sur} ]0~;~50].\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner une expression de $C_{m}(x)$ en fonction de $x$.
		\item Vérifier que la dérivée de $C_{m}$ peut se mettre sous la forme

\[C'_{m}(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\large{\textbf{Partie C}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des résultats précédents le tableau de variation de la fonction $C_{m}$ sur ]0~;~50].
\item Tracer dans un repère orthonormal \Oij{} la courbe représentative de $C_{m}$  sur [1~;~50].
\item Quelle est la production donnant le coût moyen minimal ?

Calculer alors le coût total et le coût marginal correspondant au coût moyen minimal.
\end{enumerate}
\begin{center}

\textbf{Annexe 3}

Courbe ($\mathcal{C}$) de la fonction $f$.

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=4mm,yunit=0.64mm}
\begin{pspicture}(0,-80)(20,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200]{->}(0,0)(0,-80)(20,10)
\uput[l](0,10){$y$}
\uput[d](20,0){$x$}
\uput[dl](0,0){O} \rput(-1,-50){$-50$} \rput(10,-40){\blue $(\mathcal{C}$)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x dup mul 50 x mul x 1 add div add x 1 add ln 50 mul sub 50 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\emph{Annexe} 1

\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-12,-12)(26,19)
\psline{->}(0,0)(1,0) 	\psline{->}(0,0)(0,1) 	\psline{->}(0,0)(-0.71,-0.71)
\rput(0,-2){$\vect{\imath}$}
\rput(1,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput(-2,1){$\vect{k}$}
\psline(0,0)(26,0) \psline(0,0)(0,19) \psline(0,0)(-12,-12)
\psline(0,18)(15,0) \psline(15,0)(-11.2,-11.2) \psline(-11.2,-11.2)(0,18)%ABC%
\psline(0,12.5)(25,0) \psline(25,0)(-6.4,-6.4) \psline(0,12.5)(-6.4,-6.4) %DEF
\psline(7.85,8.57)(6.1,-4) %GI %
\psline(5,0)(5,-0.5) \psline(0,5)(-0.5,5) 
\psline(-3.55,-3.55)(-4.05,-3.55)
\rput(-1,18){A} \rput(15.5,1){B} \rput(-12,-10){C} \rput(1,12.9){D} 
\rput(25,1){E}  \rput(5,-1){5}\rput(-1,5){5}\rput(-4,-4.7){5}
\rput(-7,-6){F} \rput(8,9.8){G} \rput(6,-4.8){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\emph{Annexe} 2

\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-12,-12)(26,19)
\psline{->}(0,0)(1,0) 	\psline{->}(0,0)(0,1) 	\psline{->}(0,0)(-0.71,-0.71)
\rput(0,-2){$\vect{\imath}$}
\rput(1,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput(-2,1){$\vect{k}$}
\psline(0,0)(26,0) \psline(0,0)(0,19) \psline(0,0)(-12,-12)
\psline(0,18)(15,0) \psline(15,0)(-11.2,-11.2) \psline(-11.2,-11.2)(0,18)%ABC%
\psline(0,12.5)(25,0) \psline(25,0)(-6.4,-6.4) \psline(0,12.5)(-6.4,-6.4) %DEF
\psline(7.85,8.57)(6.1,-4) %GI %
\psline(5,0)(5,-0.5) \psline(0,5)(-0.5,5) 
\psline(-3.55,-3.55)(-4.05,-3.55) 
\psline[linestyle=dashed](0,5)(10,0) 
\psline[linestyle=dashed](10,0)(-8.57,-8.57)
\psline[linestyle=dashed](-8.57,-8.57)(0,5) \rput(5,2){(P)}
\rput(-1,18){A} \rput(15.5,1){B} \rput(-12,-10){C} \rput(1,12.9){D} 
\rput(25,1){E}  \rput(5,-1){5}\rput(-1,5){5}\rput(-4,-4.7){5}
\rput(-7,-6){F} \rput(8,9.8){G} \rput(6,-4.8){I}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}