\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES juin 2002} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une statistique publiée en l'an 1998 donne le nombre d'abonnés à internet dans le monde, à la fin de l'année indiquée : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1995 &1996 &1997 &1998\\\hline Rang de l'année : $x_i$ &0 & 1 &2 &3\\\hline Nombre d'abonnés en millions : $y_i$ &26 &55 &101 &150\\\hline \end{tabularx} \end{center} \textsl{Pour tout l'exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés.} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. (Prévoir sur l'axe des $y$ des graduations jusqu'à 500). \item Des prévisions ont été réalisées pour les années 1999, 2000 et 2001 à l'aide d'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, les coefficients étant arrondis au dixième. Tracer cette droite sur le graphique. \item Calculer avec cet ajustement les prévisions $p,~ q$ et $r$ du nombre d'abonnés à internet pour les années 1999, 2000 et 2001. \end{enumerate} \item Le nombre d'abonnés à internet pour les années 1999 et 2000 est maintenant connu, on obtient le nouveau tableau : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1995 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &0 &1 &2 & 3 &4 &5 \\ \hline Nombre d'abonnés en millions : $y_i$&26 &55 &101 &150 &248 &407\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Placer les nouveaux points sur le graphique. L'ajustement choisi à la question \textbf{2} ne paraît plus pertinent ; on essaie donc un autre ajustement. \item Pour cela, on pose $z_i = \ln (y_i)$. Calculer, arrondies au centième, les valeurs $z_i = \ln \left(y_i\right)$ pour $i$ entier variant de 0 à 5, et les présenter dans un tableau. Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$, les coefficients étant arrondis au centième. \item En déduire l'ajustement : $y = 30\text{e}^{0,53x}$. \item Calculer avec cet ajustement la nouvelle prévision $r'$ pour l'année 2001. Quelle serait, avec ce deuxième ajustement, la prévision pour 2002 en millions d'abonnés ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une entreprise vend des calculatrices d'une certaine marque. Le service après-vente s'est aperçu qu'elles pouvaient présenter deux types de défaut, l'un lié au clavier et l'autre lié à l'affichage. Des études statistiques ont permis à l'entreprise d'utiliser la modélisation suivante : La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à $0,04$. En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d'affichage est de $0,03$. Alors qu'en l'absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d'affichage est de $0,94$. On note $C$ l'évènement : \og la calculatrice présente un défaut de clavier \fg, $A$ l'évènement \og la calculatrice présente un défaut d'affichage \fg. On notera $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$. L'évènement contraire de $E$ sera noté $\overline{E}$. $p_{F}(E)$ désignera la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport à l'évènement $F$. \textsl{Dans cet exercice, les probabilités seront écrites sous forme de nombres décimaux arrondis au millième.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser à l'aide de l'énoncé les probabilités suivantes : \[p_{\overline{C}}(A), \quad p_{C}(A)\quad \text{ et } \quad p(C).\] \item Construire un arbre pondéré décrivant cette situation. \end{enumerate} \item On choisit une calculatrice de cette marque au hasard. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts. \item Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier. \item En déduire $p$(A). \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og la calculatrice ne présente aucun défaut \fg{} arrondie au millième est égale à $0,902$. \end{enumerate} \item Un client choisit au hasard trois calculatrices de cette marque. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que les trois calculatrices ne présentent aucun défaut. \item Calculer la probabilité pour qu'au moins une calculatrice ait un défaut. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On rappelle que l'euro, est la nouvelle monnaie en usage en France. \textsl{Les résultats numériques seront donnés arrondis à l'unité.} En janvier 2002, un artisan a réalisé une recette de \np{2300} ~euros alors que ses coûts se sont élevés à 800~euros. Son bénéfice est donc de \np{1500}~euros. Grâce à une clientèle en augmentation, la recette, c'est-à-dire le chiffre d'affaires de cet artisan, augmente de $1\:\%$ tous les mois. Cependant les coûts, c'est-à-dire les frais, augmentent pendant le même temps de $2,5\,\%$. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} &janvier 2002 &février 2002 &mars 2002\\ \hline Rang du mois &0 &1 &2\\ \hline Recette &\np{2300} & & \\ \hline Coûts &800 & & \\ \hline Bénéfice &\np{1500} & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Pour le mois de rang $n$, avec $n$ entier naturel, on note $R_n$ le montant de la recette, $C_n$ le montant des coûts et $B_n$ le montant du bénéfice. \begin{enumerate} \item Exprimer $R_n$ et $C_n$ en fonction de $n$ ; justifier votre réponse. \item Montrer que $B_n = \np{2300} \times (1,01)^n - 800\times (1,025)^n$. \end{enumerate} \item Pour étudier le sens de variations de la suite $\left(B_n\right)$, on étudie le signe de $B_{n+1} - B_n$. \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout entier positif $n,$ \[B_{n+1} - B_n = 23 \times (1,01)^n - 20 \times (1,025)^n.\] \item Établir que : \[23\times (1,01)^n -20\times (1,025 )^n > 0 \quad \text{équivaut à} \quad \left(\dfrac{1,025}{1,01}\right)^n < \dfrac{23}{20}.\] En déduire les valeurs de $n$ telles que l'inégalité $B_{n+1} - B_n > 0$ soit vérifiée. Que peut-on dire de la suite $\left(B_n\right)$ dans ce cas ? \end{enumerate} \item Le bénéfice de cet artisan peut-il diminuer ? Si oui, à partir de quel mois obtiendra-t-il une baisse par rapport au mois précédent ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en France. Le but du problème est d'étudier le coût marginal et le coût total de production d'un produit dans une entreprise. L'objet de la \textbf{partie A} est de déterminer une fonction $h$ satisfaisant à des conditions données. L'objet de la \textbf{partie B} est l'étude de propriétés d'une fonction $f$. L'objet de la partie \textbf{C} est d'utiliser certains résultats de la \textbf{partie A} pour répondre à des questions d'ordre économique. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe ($\mathcal{C}$), donnée ci-dessous, est la courbe représentative d'une fonction $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$. Le point A a pour coordonnées (0~;~2). La droite (T) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A. \smallskip \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(6,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,2){A} \uput[d](4.5,1.9){(\blue$\mathcal{C}$)} \psline[linewidth=1.2pt](0,2)(3,-1) \uput[d](2.4,-0.4){(T)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.97}{x 1 add ln 2 mul 2 add x 2 exp 2 div add 3 x mul sub} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Préciser $h(0)$. Déterminer à l'aide d'une lecture graphique le nombre dérivé $h'(0)$. (Justifier la réponse). \item La fonction $h$, définie sur $[0~;~ + \infty[$ est de la forme : \[h(x) = ax^2 + bx + c + 2 \ln(x + 1)\quad \text{où} \quad a,~ b~ \text{et}~ c~ \text{sont des nombres réels}.\] On note $h'$ la dérivée de la fonction $h$. Exprimer $h'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. \item On donne $h'(3) = \dfrac{1}{2}$. En utilisant ce résultat et les résultats de la question \textbf{1} déterminer chacune des valeurs $a,~ b$ et~$c$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur I $= [0~;~5]$ par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{2} - 3x + 2 + 2\ln (x + 1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle I : \[f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x -1}{x + 1}.\] \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle I. \item En déduire les variations de $f$ sur [0 ; 5]. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur I par : \[g(x) = (x+1) \ln (x+1) - x.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $g$. \item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur I. \item Calculer la valeur exacte, puis la valeur approchée à $10^{-3}$ près, de l'intégrale $\displaystyle\int_0^5 f(x)\: \text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Sur l'intervalle [0~;~5], la fonction $f$ de la partie précédente représente le coût marginal de production un liquide conditionné en flacons d'un litre, en fonction de la quantité produite. On rappelle que le coût marginal de production est assimilé à la dérivée du coût total. $x$ représente le volume en milliers de litres, $x$ variant sur l'intervalle [0~;~5] ; $f(x)$ représente le coût marginal en milliers d'euros. \begin{enumerate} \item Quel est le coût marginal en euros, du \np{3000}\up{e} litre produit ? \item Pour quelle quantité produite le coût marginal est-il minimum ? (donner la valeur au litre près). \item Les coûts fixes sont de \np{1000} euros. \begin{enumerate} \item Montrer, en utilisant le résultat de la \textbf{partie B}, question \textbf{2. b}, que le coût total est donné par l'expression définie sur [0~;~5] par : \[C(x) = \dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2(x+1) \ln (x + 1) + 1.\] \item Calculer $C(5) - C(0)$ à un euro près et interpréter en termes de coût cette différence. Comparer ce résultat à celui à la \textbf{partie B} question \textbf{2. c} et expliquer cette réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}