\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{fltpoint,pst-3dplot} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-eucl,pst-math,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Asie juin 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{Baccalauréat ES} \lfoot{\small Asie} \rfoot{\small juin 2008} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\bf Baccalauréat Asie ES juin 2008} \end{center} \medskip {\bf\large Exercice 1} \hfill{\bf 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \medskip \begin{enumerate} \item Une baisse de 25\,\% est compensée par une hausse, arrondie à l'unité, de : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\qquad 20\,\%& \textbf{b.}\qquad 25\,\%&\textbf{c.}\qquad 33\,\%\\ \end{tabularx} \item La population d'une ville a augmenté de 7\,\% en 2004, de 5\,\% en 2005 et de 6\,\% en 2006. L'augmentation de la population de cette ville sur la période 2004-2006 est, arrondie à l'unité près, égale à :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\qquad 17\,\% & \textbf{b.}\qquad 18\,\%&\textbf{c.}\qquad 19\,\%\\ \end{tabularx} \medskip Les élèves de deux classes de terminale ES (désignées par TE1 et TE2) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV, Math.) de la façon suivante : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} \multicolumn{2}{c|}{} &TE1 &TE2 &Total\\ \hline &SES &16 &8 &24\\ \cline{2-5} Spécialité &LV &12 &14 &26\\ \cline{2-5} &Math &6 &10 &16\\ \hline \multicolumn{2}{|c|}{Total} &34 &32 &66\\ \hline \end{tabularx} \medskip On interroge un élève au hasard. Lea données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes : \item La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE1 est égale à :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\qquad $\dfrac{1}{66}$&\textbf{b.}\qquad $\dfrac{1}{34}$&\textbf{c.}\qquad $\dfrac{17}{33}$\\ \end{tabularx} \item La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math. ou appartienne à la TE1 est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\qquad $\dfrac{2}{3}$&\textbf{b.}\qquad $\dfrac{25}{33}$&\textbf{c.}\qquad $\dfrac{1}{11}$\\ \end{tabularx} \item La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math. sachant qu'il appartient à la TE1 est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\qquad $\dfrac{1}{34}$&\textbf{b.}\qquad $\dfrac{1}{11}$&\textbf{c.}\qquad $\dfrac{3}{17}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf \large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points} {\bf Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~; + \infty[$ par \[ u(x) = \dfrac{10- x}{x}\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $u$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $u$. \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = \text{e}^{u(x)}.\] \item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ? \item Établir, en justifiant, le tableau de variations de $f$. \item Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = 1$. \item L'équation $f(x) = -x$ admet-elle une solution ? Pourquoi ? \emph{Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sein valorisée.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points} {\bf Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution du SMIC horaire brut en euros depuis 2001. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &\small 1/07/2001&\small 1/07/2002&\small 1/07/2003 &\small 1/07/2004&\small 1/07/2005 &\small 1/07/2006 &\small 1/07/2007\\ \hline Rang : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline Valeur en euros $y_{i}$ &6,67 &6,83 &7,19 &7,61 &8,03 &8,27 &8,44\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (1~cm représente 1~rang en abscisse et 5~cm représentent 1~\euro{} en ordonnée faire débuter la graduation à 6 sur l'axe des ordonnées). \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à $10^{-2}$ près). Tracer cette droite dans le repère précédent. \item La forme du nuage suggère une modification de l'évolution du SMIC horaire brut à partir de juillet 2004. Pour $x \geqslant 4$, on choisit d'ajuster le nuage de points par une courbe $\mathcal{C}$ d'équation \[y = a \ln (x - 3) + b\] où $a$, et $b$ sont deux réels. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées (4 ; 7,61) et (7 ; 8,44) (arrondir les réels $a$ et $b$ à $10^{-2}$). Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère précédent. \item Arthur est un jeune salarié, rémunéré au SMIC. Il souhaite estimer la valeur du SMIC au 1\up{er} juillet 2009. Quel est, parmi les modèles utilisés aux questions \textbf{2} et \textbf{3}, celui qui lui sera le plus favorable ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points} {\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la surface $S$ d'équation \[z = y \times \ln (x),\] où $x$ appartient à l'intervalle [0,5 ; 5] et $y$ appartient l'intervalle $[-3~;~5]$. Cette surface $S$ est représentée sur l'annexe correspondant à cet exercice qui est à rendre avec la copie. Les cinq questions sont indépendantes l'une de l'autre. \medskip \begin{enumerate} \item On note $P$ le plan d'équation $z = 3,5$. Quelle est la nature de l'intersection de la surface $S$ et du plan $P$ ? \item On désigne par $\mathcal{C}_{2}$ l'intersection de la surface $S$ avec le plan d'équation $y = 2$. Représenter la courbe $\mathcal{C}_{2}$ dans un repère orthonormal d'unité $2$~cm. \item Placer sur la surface $S$ le point A d'abscisse $2$ et d'ordonnée $4$. Calculer sa côte. \item Lire les coordonnées du point B situé sur la surface $S$. \item On considère la section $C$ de la surface $S$ par le plan d'équation $z = 1$. \begin{enumerate} \item Calculer l'ordonnée du point D d'abscisse $4$ situé sur la section $C$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près. Placer le point D sur la surface $S$. \item Arthur pense que la nature de la section $C$ est un morceau de parabole. A-t-il raison ? Pourquoi ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 4} \hfill{\bf 5 points} {\bf Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique une quantité $x$, comprise entre $0$ et $20$, d'un certain objet. Le coût total de production $f$, exprimé en euros, est représenté par la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère d'origine O du graphique 1 fourni .en annexe (à rendre avec la copie). La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point E d'abscisse 14 est tracée sur le même graphique. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le coût total de production dc 10 objets ? \item Quelle quantité maximale d'objets est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 150~\euro{} ? \end{enumerate} \item Le coût marginal $g$ est donné sur l'intervalle ]0 ; 20] par la dérivée du coût total de production $g(x) = f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~20]. \begin{enumerate} \item En utilisant le graphique 1 de l'annexe, déterminer la valeur du coût marginal pour $x=14$. Comparer $g(14)$ et $g(19)$. \item Quelle est, parmi les trois courbes proposées sur le graphique 2, celle qui représente le coût marginal ? Justifier la réponse, \end{enumerate} \item Le coût moyen $h$ est donné sur l'intervalle ]0 ; 20] par $h(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Estimer $h(5)$. \item Sur le graphique 1 de l'annexe, placer le point Q d'abscisse $5$ situé sur la courbe $\mathcal{C}$, puis tracer la droite (OQ). \medskip Une expression du coefficient directeur de la droite (OQ) est $\dfrac{f(5)}{5}$. Justifier cette expression, \item Placer le point A sur la courbe $\mathcal{C}$ tel que la droite (OA) soit tangente à $\mathcal{C}$. On appelle $a$ l'abscisse du point A. \item Conjecturer les variations de $h$ sur l'intervalle ]0 ; 20]. \emph{Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{Graphique 1} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm} \begin{pspicture}(-2,-10)(22,180) \multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,180)} \multido{\n=0+10}{19}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(22,180) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{19.76}{2.71828 0.144679 x mul exp 9.1186 mul 20.8814 add} \psplot{8}{22}{10 x mul 50 sub} \uput[d](17,90){6} \uput[r](20,120){60}\uput[ul](14,90){B}\uput[dl](0,0){O} \uput[l](18.5,153){\blue $\mathcal{C}$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(14,90)(20,90) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(20,90)(20,150) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{Graphique 2} \vspace{1cm} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(22,22) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(22,22) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(22,22) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{19.48}{2.71828 0.144679 x mul exp 1.31927 mul} \pscurve[linewidth=1.25pt](0,2.2)(3,3)(6,3.8)(9,4.65)(10,5)(12,5.85)(15,7.15)(18,8.8)(20,10) \pscurve[linewidth=1.25pt](0,19)(3,18.3)(6,17)(9,15)(12,12.2)(15,8.8)(18,4.5)(20,1.4) \uput[r](20,21.9){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[r](20,10){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[r](20,1.3){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[dr](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%% Figure spécialité \begin{center} %Surface z=yln(x) \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,17) %\SpecialCoor \psset{Alpha=-120,Beta=40} %\psset{Beta=30,Alpha=-80} %\psset{Beta=90,Alpha=0}% pour tests \pstThreeDCoor[xMin=0.5,yMin=-3,zMin=-5,xMax=5,yMax=5,zMax=8,eulerRotation=true,xRotVec=90,drawing=false] %la boîte %\pstThreeDPut(0,5,-1.2){Taille (m)} \pstThreeDPut(5,9.6,-1){\rput[c]{-17.7}(0,0){Poids (kg)}} %\pstThreeDPut(0,-0.75,4){\rput[c]{90}(0,0){IMC}} %\pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16) \multido{\n=1+1}{5}{\pstThreeDPut(\n,-3.5,-5.5){\n}} \multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDPut(0,5.35,\n){\n}} \multido{\n=-3+1}{9}{\pstThreeDPut(0,\n,-5.5){\n}} \multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDLine(0.5,5,\n)(5,5,\n)(5,-3,\n)} \multido{\n=0.5+0.5}{10}{\pstThreeDLine(\n,-3,-5)(\n,5,-5)(\n,5,8)} \multido{\n=-3+0.5}{17}{\pstThreeDLine(0.5,\n,-5)(5,\n,-5)(5,\n,8)} %la surface \newgray{gris}{0.99} \parametricplotThreeD(0.5,5){t 5 t ln 5 mul} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \parametricplotThreeD(0.5,5){t 5 t ln 5 mul} \parametricplotThreeD(5,-3){5 t t 1.609438 mul} \parametricplotThreeD(5,0.5){t -3 t ln -3 mul} \parametricplotThreeD(-3,5){0.5 t t -0.693147 mul} } %courbes de niveaux %0