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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 
20 juin 2012~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Les cinq questions sont indépendantes.

\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte $1$ point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne :  

\[\mathcal{D} \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 - 2t\\
y&=&t\\
z &=&- 5- 4t
\end{array}\right. (t \in \R)\quad \text{et}\quad  \mathcal{P} : \quad 3x + 2y -z -5 = 0.\] 

\medskip

\textbf{Affirmation 1} : la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$. 
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A(1~;~9~;~0) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :
$4x - y - z + 3 = 0$.

\textbf{Affirmation 2} : la distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\item Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

\textbf{Affirmation 3} : la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses. 
\item Pour tout réel $x$, on pose $F(x) = \displaystyle\int_{1}^x (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t$.

\textbf{Affirmation 4} : $F(x)$ est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel $x$ supérieur à 1.
\item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} t^2 \ln t\:\text{d}t$. 

\textbf{Affirmation 5} : la valeur exacte de l'intégrale $I$ est : $\dfrac{2\text{e}^3 + 1}{9}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. 

On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$. 

On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe 

$z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$.

On note enfin B image du point A$_{1}$ par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point 8.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. On prendra 2~cm comme unité graphique.
		\item Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.
	\end{enumerate}
\item On considère le vecteur unitaire $\vect{w}$, tel que $\left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{w}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.
		\item Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}\right)$.

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par la rotation $r$. Démontrer que B$'$ = A.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$.

Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\textbf{Partie A - Détermination d'une similitude directe}

\medskip

On considère les points A et B d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad  z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
		\item Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1~cm comme unité graphique.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $f$ de centre 0 qui transforme le point A en B.
		\item Préciser les éléments caractéristiques de la similitude $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude d'une transformation}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier la transformation $g = s \circ f$, où $f$ désigne la similitude définie dans la partie A et $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point quelconque du plan. On désigne par $M'$ l'image du point $M$ par la transformation $g$.

On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points $M$ et $M'$, et $\overline{z}$ celle du conjugué de $z$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'égalité : $z'= 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\overline{z}$.
		\item On pose C = $g$(A) et D = $g$(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.
		\item Quelle est la nature du triangle OAC ?
		\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OD}}$ sont colinéaires.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer la nature de la transformation $g \circ g$ et préciser ses éléments géométriques. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
\item un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
\item un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans la partie A, on pose $k = 7$.

Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes.
 
Démontrer que $p = 0,42$.
\item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième.
		\item Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Un joueur joue une partie.

On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$.
		\item Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_{k}$ \end{enumerate}
\item On note E$\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$.

On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E$\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive.

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|p{8cm}|}\hline
&Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\
\textbf{Entrée}& Saisir un réel strictement positif non nul $b\: (b > a)$\\
&Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline
&Affecter à $u$ la valeur $a$\\ 
\textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\
&Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline
&TANT QUE $n < N$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\
\textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\
&\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\
&\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $u$,  afficher $v$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4,\: b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline
0 &4 &9&&\\ \hline
1&&&&\\ \hline
2&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.

On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par :

$u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
		
\[v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2.\]

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
		\item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
\end{enumerate}
\end{document}