\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Terminale générale, spécialité},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

%%% En-tête et pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{10 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{%
	\decofourleft~Baccalauréat Asie -- 10 juin 2026~\decofourright\\[7pt]%
	Sujet 2\\[7pt]%
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
	ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\subsection*{Partie  A}
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right [$ par : \[f(x)=\dfrac{x-2}{2 x-3}\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.
	\end{enumerate}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1,espcl=5]{$x$/1, $f$/2}{$-\infty$,$\dfrac{3}{2}$}
		\tkzTabVar{-/$\dfrac{1}{2}$,+D/$+\infty$}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item En déduire que pour tout $x \in[0 ; 1]$, on a :
		\[f(x) \in[0 ; 1].\]
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie  B}
On considère la suite $(u_{n})$ définie par :
\[\begin{cases}
	u_{0}=0 \\
	u_{n+1}=\dfrac{u_{n}-2}{2 u_{n}-3}\, ,\quad \text { pour tout entier naturel } n
\end{cases}\]

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
		\[0 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  1.\]

		\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.

		\item On note $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$.

		En admettant que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$, montrer que $\ell=1$.

		\item On donne ci-dessous une fonction \texttt{seuil} écrite en langage Python.

		\begin{center}
		\begin{tblr}{colspec={X[6cm,font=\ttfamily]},vlines,hline{1,Z}={solid},rowsep=0pt}
			def seuil(h):\\
			\quad n = 0\\
			\quad u = 0\\
			\quad while u < 1-h:\\
			\quad \quad n = n+1\\
			\quad \quad u = (u-2)/(2*u-3)\\
			\quad return n\\
		\end{tblr}
		\end{center}

	L'appel ~\texttt{seuil(0.0001)}~ renvoie la valeur \np{5000}.

	Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

	\item \begin{enumerate}
		\item Donner les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sous forme de fractions irréductibles.

		\item Conjecturer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\emph{On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice. \\
On arrondira, si nécessaire, les résultats à $10^{-3}$ près.}

\medskip
Dans cet exercice, on s'intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball.

Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s'effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

\subsection*{Partie  A}
	Les statistiques de réussite des lancers-francs d'un joueur sont de 49,2~\% lors d'une saison.

	Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d'un lancer-franc.

	Au cours d'un match, ce joueur tente 16 lancers-francs.

	On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

		\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et l'interpréter dans le contexte de cet exercice.

		\item Calculer $P(X=5)$.

		\item Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie  B}
	On note $p$ la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où $p$ est un réel tel que
	\[0 \leqslant  p \leqslant  1\]

	On se place dans le cas où le joueur effectue 3 lancers-francs.

	On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $Y$.

		\item Exprimer $P(Y=2)$ en fonction de $p$.

		\item Donner la loi de probabilité de $Y$.

		Présenter la réponse sous forme de tableau.

		\item Montrer que
		\[P(Y \geqslant  2)=-2 p^{3}+3 p^{2}\]

		\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par
		\[f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}.\]
		\begin{enumerate}
			\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$ et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l'intervalle $[0 ; 1]$.

			\item En déduire l'existence d'une unique valeur $\alpha$ dans l'intervalle $[0 ; 1]$ telle que $f(\alpha)=0,9$.

			\item Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette valeur $\alpha$.

			\item Interpréter la valeur de $\alpha$ dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage
\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points
\[\mathrm{A}(1 ; 2 ; 3),\quad \mathrm{B}(-1 ; 3 ; 1),\quad \mathrm{C}(2 ; 1 ; 6) \quad \text { et } \quad \mathrm{D}(3 ;-2 ;-1).\]

	\begin{enumerate}
		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

			\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).

			\item  En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
		\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}
			\item Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan (ABC) et passant par le point D.

			\item Déterminer les coordonnées du point H qui est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

			\item En déduire que la distance du point D au plan (ABC) est égale à $3\sqrt{2}$.
		\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que
			\[\cos\left(\,\widehat{\mathrm{BAC}}\,\right)=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}\]

			\item En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\,\widehat{\mathrm{BAC}}\,\right)$.

			\item Montrer que l'aire du triangle ABC vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
		\end{enumerate}

		\item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

		On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :
		\[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h\, ,\quad \text{ où } \mathcal{B}\text{ est l'aire d'une base et } h\text{ la hauteur qui lui est associée.}\]
	\end{enumerate}

\newpage
\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

Les quatre questions sont indépendantes.

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
	\[f(x)=\left(-\dfrac{1}{2} x+3\right)^{5}\]

	\textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ est convexe sur $\R$.

	\item Une urne contient 32 jetons numérotés de 1 à 32 indiscernables au toucher.

	On tire simultanément 5 jetons de cette urne.

	On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

	\textbf{Affirmation 2 :} Le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de 8 est égal à \np{103096}.

	\item On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1.2,baseline={(R.base)}]
		% Styles (MODIFIABLES)
		\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
		% Dimensions (MODIFIABLES)
		\def\DistanceInterNiveaux{3}
		\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
		% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
		\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
		% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
		\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
		\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A$};
		\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$B$};
		\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{B}$};
		\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
		\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$B$};
		\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{B}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dfrac{2}{5}$};
		\draw (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dfrac{1}{4}$};
		\draw (Ra.east)--(Rab.west);% node[etiquette] {$$};
		\draw (R.east)--(Rb.west);% node[etiquette] {$$};
		\draw (Rb.east)--(Rba.west);% node[etiquette] {$$};
		\draw (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dfrac{7}{10}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\textbf{Affirmation 3:} \quad $P_{B}\big(\,\overline{A}\,\big)=\dfrac{9}{50}$.

	\item On considère l'équation différentielle
	\[(E): \quad y'+y=\e^{-x} \cos (x),\]
	où $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\R$.

	\textbf{Affirmation 4 :} La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\e^{-x} \sin (x)$ est solution de $(E)$ sur $\R$.

	\textbf{Affirmation 5 :} Les solutions de $(E)$ sur $\R$ sont les fonctions $k$ définies sur $\R$ par
	\[k(x)=C \e^{-x} \sin (x) \quad\text { où } C \text { est une constante réelle. }\]
\end{enumerate}
\end{document}