\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Terminale générale, spécialité},
	pdftitle = {Baccalauréat -- Session 2026 -- Spécialité Mathématiques},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH}
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\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

%%% En-tête et pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{9 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{%
	\decofourleft~Baccalauréat Asie -- 9 juin 2026~\decofourright\\[7pt]%
	Sujet 1\\[7pt]%
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
	ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

	Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.

	On modélise la situation de la façon suivante :

	\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
		\item au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$;
		\item pour les tirs suivants :

		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$;
			\item lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$.
		\end{itemize}
	\end{itemize}

	Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_{n}:$ \og Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir \fg{}.

	On note $p_{n}=P\left(T_{n}\right)$ la probabilité que l'évènement $T_{n}$ se réalise.

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $p_{1}$ et montrer que $p_{2}=\dfrac{17}{30}$.

		\item Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
				% Styles (MODIFIABLES)
				\tikzstyle{fleche}=[thick]
				\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
				\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
				\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
				% Dimensions (MODIFIABLES)
				\def\DistanceInterNiveaux{3}
				\def\DistanceInterFeuilles{1}
				% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
				\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
				\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
				\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
				\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
				% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
				\node[noeud]   (R)   at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
				\node[noeud]   (Ra)  at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$T_n$};
				\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles})   {$T_{n+1}$};
				\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles})   {$\overline{T_{n+1}}$};
				\node[noeud]   (Rb)  at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{T_{n}}$};
				\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles})   {$T_{n+1}$};
				\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles})   {$\overline{T_{n+1}}$};
				% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
				\draw[fleche](R.east)--(Ra.west)   node[etiquette]{$p_n$};
				\draw[fleche](Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette]{$\dfrac{4}{5}$};
				\draw[fleche](Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette]{$\dots$};
				\draw[fleche](R.east)--(Rb.west)   node[etiquette]{$\dots$};
				\draw[fleche](Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette]{$\dots$};
				\draw[fleche](Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette]{$\dots$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :
		\[p_{n+1}=\dfrac{7}{15} p_{n}+\dfrac{1}{3}\]

		\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
		\[u_{n}=p_{n}-\dfrac{5}{8}\]

		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$.
			\item Déterminer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
			\item En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.
		\end{enumerate}

		\item Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

		\newpage
		\item On considère ci-dessous une fonction \texttt{seuil}, incomplète, écrite en langage Python.

		Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à 0,6.

		\begin{center}
		\begin{tblr}{vlines,hline{1,Z}={solid},column{1}={4cm,font=\ttfamily}}
			def seuil():\\
			\quad n = 1\\
			\quad p = 0.5\\
			\quad while .........:\\
			\quad \quad n = .........\\
			\quad \quad p = .........\\
			\quad return .........\\
		\end{tblr}
		\end{center}

		\item Résoudre dans $\N$ l'inéquation \quad $p_{n} \geqslant  0,6$.
	\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1 ;+\infty[$ par :
		\[f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}\]

		\textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ admet pour limite 1 en $+\infty$.

		\item On considère la suite $(w_{n})$ définie par \quad $w_{0}=1$ \quad et pour tout entier naturel $n$ par :
		\[w_{n+1}=w_{n}+2 n+3\]

		\textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$,
		\[w_{n}=(n+1)^{2}\]

		\item Soit $p$ un nombre réel tel que \quad $0 < p < 1$.

		On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 3 et $p$.

		On note $P\big(X=1\big)$ la probabilité de l'évènement $(X=1)$.

		\textbf{Affirmation 3 :}\quad $P\big(X=1\big)=3 p-6 p^{2}+3 p^{3}$.

		\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par :
		\[v_{n}=\int_{0}^{1} \e^{n x} \d x\]

		\textbf{Affirmation 4 :} Pour tout entier naturel $n \geqslant  1$,
		\[v_{n}=\dfrac{\e^{n}}{n}\]

		\item On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des 16 cases d'un quadrillage.

		\textbf{Affirmation 5 :} On peut réaliser $\ds \binom{16}{3}$ coloriages différents.
	\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

	Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère les points suivants

	\[\mathrm{A}(0 ; 0 ; 1) ;\quad \mathrm{B}(1 ; 2 ; 3) ;\quad \mathrm{C}(3 ; 3 ; 1) ;\quad \mathrm{E}(2 ;-2 ; 2) ;\quad \mathrm{F}(3 ; 0 ; 4) \quad \text{et} \quad \mathrm{G}(5 ; 1 ; 2)\]

	\begin{enumerate}
		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que les points B, C et E ne sont pas alignés.

			\item Justifier que le vecteur $\vectt{AF}$ est normal au plan (BCE).

			\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCE) est \quad $x+z-4=0$.
		\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que le point G n'appartient pas au plan (BCE).

			\item Montrer que les vecteurs $\vectt{BE}$, $\vectt{BC}$ et $\vectt{AG}$ ne sont pas coplanaires.

			\item En déduire que la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

	Pour la suite de l'exercice, on appellera P le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BCE).

	\begin{enumerate}[resume]
		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (AG) est :
			\[\begin{cases}
				x=5 t \\
				y=t \\
				z=1+t
			\end{cases}
			 t \in \R\]

			\item En déduire les coordonnées du point P.

			\item Montrer que le point P est le milieu du segment [EC].
		\end{enumerate}

		\item Déterminer l'intersection des plans (BCE) et (ACG).
	\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ par :
		\[g(x)=x \cos (x)-\sin (x)\]

		On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ et on note $g'$ sa dérivée.

		\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$, on a :
			\[g'(x)=-x \sin (x)\]

			\item On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ ci-dessous.

			Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit{$x$/0.7, $g$/2}
					{$0$,$\pi$,$2\pi$}
					\tkzTabVar{+/$0$,-/$-\pi$,+/$2\pi$}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}

			\item Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $[\pi ; 2 \pi]$ telle que $g(\alpha)=0$.

			\item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$.
		\end{enumerate}

		\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ par :
		\[f(x)=\dfrac{\sin (x)}{x}\]

		On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ et on note $f'$ sa dérivée.

		\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ on a :
			\[f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}\]

			\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$.

			\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$.

			\item Déterminer la limite de $f$ en 0. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0.
		\end{enumerate}

		\item On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : \quad $0<r<s<\pi$.

		Montrer que :
		\[\dfrac{r}{s}<\dfrac{\sin (r)}{\sin (s)}\]
	\end{enumerate}
\end{document}
