% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : 			François Kriegk
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% figures TikZ :
% figures pstricks :
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% Remerciements :

\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

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%
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%% pour TikZ
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%% Définitions ou redéfinitions
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% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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% Définitions
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% necessaire avec le paquet enumitem ?
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%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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%
%
% Taille de la zone d'écriture
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% Formatage du pdf
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\begin{document}

% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

% Titre
\begin{center}
{\Large \textbf{
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
	Sujet jour 2\\[10pt]
	Métropole -- 17 juin 2026 }}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		Dans le repère orthonormé \Oijk{}, on considère les points :

		A$(2 ; 1 ; 1)$, B$(3 ;-2 ; 0)$, C$(0 ;-1 ; 1)$ et D$(0 ; 0 ; 2)$.
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[x=(15:15mm),y=(135:10mm),z=(90:16mm),>=stealth,baseline={(current bounding box.center)}]
		\draw[darkgray] (-0.25,0,0)--(1.47,0,0) (2.9,0,0)--(4,0,0)
			(0,-3,0)--(0,2,0)
			(0,0,-1.5)--(0,0,3);
		\draw[darkgray,dashed] (1.47,0,0)--(2.9,0,0) ;
		\draw[->,line width=1.2pt] (0,0,0)--(1,0,0) node[pos=0.6,below]{$\vect{\imath}$} ;
		\draw[->,line width=1.2pt] (0,0,0)--(0,1,0) node[pos=0.9,below]{$\vect{\jmath}$} ;
		\draw[->,line width=1.2pt] (0,0,0)--(0,0,1) node[pos=0.7,left]{$\vect{k}$} ;
		\node at(0,0,0) [below left] {O};
		\foreach \coord/\nom/\pos in {{(2,1,1)}/A/{above},{(3,-2,0)}/B/{above right},{(0,-1,1)}/C/{below left},{(0,0,2)}/D/{above left}}
		{\fill[shift={\coord}] (0,0,0) circle (0.1pt) node[\pos] {\nom} ;}
		\draw[fill opacity=0.3,fill=lightgray!50] (2,1,1)--(3,-2,0)--(0,-1,1)--(0,0,2)--cycle;
		\draw (3,-2,0)--(0,0,2);
		\draw[dashed] (2,1,1)--(0,-1,1) ;
	\end{tikzpicture}


	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} $ est normal au plan (ABC).

			\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :
			\[x-y+4 z-5=0.\]
		\end{enumerate}

		\item Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et orthogonale au plan (ABC) est donnée par :
		\[\begin{cases}
			x=t \\
			y=-t \\
			z=2+4 t
		\end{cases} \quad \text { avec } t \in \R.\]
		\item Montrer que le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point H$\left(-\dfrac{1}{6} ; \dfrac{1}{6} ; \dfrac{4}{3}\right)$.
		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.

			\item Montrer que l'aire du triangle ABC est $3 \sqrt{2}$.
		\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}
			\item En déduire que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 1.

			\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:} \quad $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$,\quad \emph{ où } $\mathcal{B}$ \emph{est l'aire d'une base et} $h$ \emph{la hauteur relative à cette base.}

			\item On admet que la distance du point A au plan (BCD) est égale à $\sqrt{2}$.

			En déduire l'aire du triangle BCD.
		\end{enumerate}

		\item Dans cette question, on note $\mathrm{D}_{k}$ le point ayant pour coordonnées $(0 ; 0 ; k)$, où $k$ est un réel.
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points A, B, C et $\mathrm{D}_{k}$ sont coplanaires.

			Quel est alors le projeté orthogonal du point D$_{k}$ sur le plan (ABC)?

			\item Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que A soit le projeté orthogonal de $\mathrm{D}_{k}$ sur le plan (ABC) ?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 (5 points)}

	Un bassin destiné à l'élevage des truites contient \np{30000} litres d'eau, régulièrement renouvelée.

	Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.

	On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l'eau par une substance polluante à l'aide de deux modèles différents.

	Les deux parties sont indépendantes.

	\subsection*{\centering Partie A : modèle discret}

		On note $V_{n}$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, $n$ heures après le début du phénomène de pollution.

		On a ainsi \quad $V_{0}=0$.

		On admet que pour tout entier naturel $n$,\quad $V_{n+1}=0,995 V_{n}+6$.

		\begin{enumerate}
			\item Calculer $V_{1}$ et $V_{2}$.

			\item \begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
				Recopier et compléter le programme ci-contre pour qu'il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures.
				\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,  $V_{n} \leqslant  V_{n+1} \leqslant  1200$.

			\end{minipage}\hfill
			\begin{tblr}[T]{colspec={X[font=\ttfamily,5cm]},vlines, hline{1,Z}={solid}, rowsep=0pt}
				def volume(n):\\
				\quad v = ...\\
				\quad for k in range(n):\\
				\quad \quad	v = ...\\
				\quad return v\\
			\end{tblr}

			\item Justifier que la suite $(V_{n})$ converge, et calculer sa limite.
		\end{enumerate}

	\subsection*{\centering Partie B : modèle continu}

		On note $v(t)$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l'instant $t$, en heure.

		On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et on note $v'$ sa fonction dérivée.

On considère que le phénomène de pollution débute au temps $t=0$; ainsi $v(0) = 0$.

On admet que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :

\[(E) : \quad y'=-0,005 y+6,\]

où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.
	
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ :

\[v(t)=1200\left(1-\e^{-0,005 t}\right).\]

		\item Calculer la limite de $v$ en $+\infty$.

		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$.
	\end {enumerate}
\item Un taux de substance polluante supérieur à $5\,\%$ du volume du bassin nécessite un nettoyage complet.

Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage?

\item Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l'élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas 50 litres.

Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse 50 litres dans le bassin.

En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 (4 points)}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
	Justifier chaque réponse.\\
	Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

On désigne par \og musiciens professionnels \fg{} l'ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
		\item Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).

\begin{list}{\textbullet}{Cette étude indique que:}
\item $52\,\%$ des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
\item parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, $32\,\%$ sont des femmes ;
\item $20\,\%$ des musiciens professionnels sont des femmes.
\end{list}

On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $O$ l'évènement : \og la personne joue de la Pop \fg{} ;
\item $F$ l'évènement : \og la personne est une femme \fg{}.
\end{list}

\textbf{Affirmation 1 :} Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de 0,832.

\item La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à $6,2\,\%$.

On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de \np{5000} personnes au sein de cette population.

La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} En arrondissant le résultat au dixième, on a \quad $P(X \leqslant  340) \approx 0,4$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de $95\,\%$ de chance que, sur cet échantillon de \np{5000} actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.

\item Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à 10 personnes dont 4 sont des musiciens professionnels.

Deux équipes de 5 joueurs s'affrontent.

Elles sont chacune constituées de 2 musiciens professionnels et de 3 personnes qui ne le sont pas.

\textbf{Affirmation 4 :} On peut former ainsi 120 équipes différentes.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 (6 points)}

\subsection*{\centering Partie A}

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal.

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On note $f'$ sa fonction dérivée.\\

\begin{list}{\textbullet}{On précise que:}
\item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 1;

\item la tangente $T_{\mathrm{A}}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$\left(\dfrac{1}{2} ; 0 \right)$ passe par le point B$\left(1 ; \e^{2}\right)$.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique ci-contre :
	\begin{enumerate}
		\item Donner $f'(1)$.
		\item Donner la solution de l'équation $f(x)=0$ sur l'intervalle $[0~;~3]$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
			\end{enumerate}
			\end{minipage}
			\hfill
			\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]%compiler avec pgfplots
				\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
					x={15mm}, y={7.5mm},
					xmin = -0.4, xmax = 4.7,
	ymin = -3.4, ymax = 8.6,
	xtick={0,1,...,5},
	ytick ={-3,...,8},
	xticklabels={0,1},
	yticklabels={,,,0,1},
	minor tick num = 0,
	grid=major, axis lines =center]
	\draw[teal,line width=0.8pt] (0,-7.389)--(1.5,14.778) node[pos=0.71,right]{$T_{\mathrm{A}}$};
	\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.2:5 ]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)};
	\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}};
	\node[red] at(axis cs: 3.2,0.6) {$ \mathcal{C}_f $};
	\draw[shift={(axis cs: 0.5,0)}] (2pt,-2pt)--(-2pt,2pt) (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) node[above left]{A} ;
\draw[shift={(axis cs: 1,7.389)}] (2pt,-2pt)--(-2pt,2pt) (2pt,2pt)--(-2pt,-2pt) node[left]{B} ;
\draw[shift={(axis cs: 1,2.718)}] (2pt,-2pt)--(-2pt,2pt) (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) node[above right]{C} ;

\end{axis}
\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}[start=3]
\item Parmi les trois courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$.

Indiquer lesquelles et justifier.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]%compiler avec pgfplots
	\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
	x={19mm}, y={10mm},
	xmin = -0.4, xmax = 4.7,
	ymin = -3.4, ymax = 5.4,
	xtick={0,1,...,5},
	ytick ={-3,...,8},
	xticklabels={0,1},
	yticklabels={,,,0,1},
	minor tick num = 0,
	grid=major, axis lines =center]
	\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}};
	\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100, dashed,domain= 0:5 ]{-x*exp(-2*x+3)+exp(1)+1};
\node[red] at(axis cs: 2.3,3.6) {$ \mathcal{C}_1 $};
	\addplot [line width=1.2pt,color=teal,smooth,samples=100, dotted,domain= 0:5 ]{-x*exp(-2*x+3)+exp(1)-1};
	\node[teal] at(axis cs: 2.3,1.6) {$ \mathcal{C}_2 $};
	\addplot [line width=1.2pt,color=blue,smooth,samples=100, dashdotted ,domain= 0:5 ]{-(x-0.4)*exp(-2*(x-.4)+3)+exp(1)-1};
\node[blue] at(axis cs: 2.3,0.4) {$ \mathcal{C}_3 $};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\centering Partie B}

\begin{minipage}{0.55\linewidth}

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1).

La dimension de \np[cm]{0,3} indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

\bigskip

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en \textbf{partie A}, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $[0,5 ; \alpha]$.

Le nombre $\alpha$ est un réel supérieur à 1 que l'on déterminera dans cette partie.

\medskip

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité 1 cm.
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},>=stealth]%compiler avec pgfplots
\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
	x={12mm}, y={12mm},
	xmin = 0.4, xmax = 4.2,
	ymin = -3, ymax = 3,
	axis lines=none,
	xtick=\empty, ytick=\empty, grid=none]
	\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.5:3.312]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)};
\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.5:3.312]{-(2*x-1)*exp(-2*x+3)};
\draw[red,line width=1.2pt](axis cs: 3.312,-0.15)--(axis cs: 3.312,0.15) ;
\draw[line width=0.8pt,<->](axis cs: 3.45,-0.15)--(axis cs: 3.45,0.15) node[pos=0.5,right] {\np[cm]{0,3}};
\node at(axis cs: 2.3,-2.5) {Fig. 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par :
	\[f(x)=(2 x-1) \e^{-2 x+3}.\]

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
	
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ;+\infty[$ :

\[f(x)=\e^{2} \times \dfrac{2 x-1}{\e^{2 x-1}}.\]

		\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

(On pourra poser $X = 2x-1)$.
			\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que,

	 pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$,
	\[f'(x)=(-4 x+4) \e^{-2 x+3}.\]
	\item Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	\item Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité
\quad $f(\alpha)=0,15$.

Montrer qu'il existe une unique valeur de $\alpha$ dans l'intervalle $[1 ;+\infty[$ qui permette de vérifier cette égalité.

En donner une valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill

\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},>=stealth]%compiler avec pgfplots
	\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
	x={14mm}, y={14mm},
	xmin = -0.4, xmax = 3.8,
	ymin = -3.1, ymax = 3.1,
	xtick={0,1,...,5},
	ytick ={-3,...,8},
	xticklabels={0,1},
	yticklabels={,,,0,1},
	minor tick num = 0,
	grid=major, axis lines =center]
	\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}};
	\addplot [name path = Cf,line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.5:3.312]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)};
						\addplot [name path = Cg,line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.5:3.312,dashed]{-(2*x-1)*exp(-2*x+3)};
						\addplot[fill=gray,fill opacity=0.1] fill between[of=Cf and Cg];%Attention, parfois un problème avec l'opacité qui masque le quadrillage en fonction de la chaîne de compilation. Ce code fonctionne avec lualatex, notamment
	\node[right] at(axis cs: 3.312,-0.2) {$\alpha$};
	\node[red] at(axis cs: 2.7,0.7) {$ \mathcal{C}_f $};
	\node[fill=white] at(axis cs: 2,-3) {Fig. 2};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\subsection*{\centering Partie C}

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la \textbf{partie B}.

On précise que cette plaque a une épaisseur de $\np[cm]{0,2}$.

\begin{enumerate}
\item On considère :

\[I=\int_{0,5}^{3,3} f(x) \,\mathrm{d} x\]

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à 3,6.

\item On précise que le volume du porte-clé est égal à :

\begin{center}
\emph{Aire du logo} $\times$ \emph{épaisseur de la plaque}
\end{center}

Déterminer le volume du porte-clé en $\mathrm{cm}^{3}$, arrondi au dixième.
\end{enumerate}
\end{document}
