% Préambule APMEP - Annales
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% Définitions
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% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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\begin{document}

% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{10 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


% Titre
\begin{center}
{\Large \textbf{
		\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
		Corrigé\\[10pt]
		\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
		Voie générale -- spécialité J2 -- Asie -- 10 juin 2026 }}
\end{center}


\section*{\textsc{Exercice 1 :\hfill 5 points}}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item La fonction $f:x \mapsto \dfrac{x-2}{2x-3}$ est dérivable sur $]-\infty~;~\frac32[$ en tant que quotient de fonctions polynomiales, le dénominateur étant non nul. On a :

	\[\begin{array}{rcl}
		f'(x) &=& \dfrac{1 \times (2x - 3) - (x - 2) \times 2}{(2x - 3)^2} \\
		&=& \dfrac{2x - 3 - 2x + 4}{(2x - 3)^2}\\
		&=& \dfrac{1}{(2x - 3)^2}
	\end{array}\]

	Pour tout $x \in \left]-\infty~;~\frac32\right[$,\: $(2x - 3)^2 > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty~;~\frac32\right[$.

	Étudions les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition :
	\begin{itemize}
		\item Limite en $-\infty$:
		\[\begin{matrix}
			f(x) &=&\dfrac{x-2}{2x-3} \\
			&=&\dfrac{x\left(1-\dfrac2{x}\right)}{x\left(2-\dfrac3{x}\right)}\\
			& =&\dfrac{1-\frac2{x}}{2-\frac3{x}}, \\

		\end{matrix}\]

		donc puisque $\displaystyle \lim_{x \to - \infty}\dfrac2{x} = \displaystyle \lim_{x \to - \infty}\dfrac3{x} = 0$, on en déduit que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)  = \dfrac12$ \text{(quotient de limites)}

		\item Limite en $\frac{3}{2}, \: x < \frac{3}{2}$:
		\[
			\left. \begin{array}{l}
				\displaystyle \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}}x - 2 = -\frac12 \\
			\displaystyle \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}} 2x-3 = 0^-
			\end{array}\right\}
		 \Rightarrow \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}} f(x)= +\infty \text{ (quotient de limites)}
		\]
	\end{itemize}
	On en déduit donc le tableau de variations suivant:

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$ / 1 , $f'(x)$ / 1 , $f$ / 2}{$-\infty$, $\frac32$}
			\tkzTabLine{, +, d}
			\tkzTabVar{-/ $\frac12$, +D/ $+\infty$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item Sur l'intervalle $[- \infty~;~\frac32]$, donc a fortiori sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $f$ est strictement croissante. Ainsi :

	\[\begin{array}{rcl}
		0 \leqslant x \leqslant 1 &\implies& f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1) \\
		&\implies& \dfrac{-2}{-3} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{-1}{-1} \\
		&\implies& \dfrac{2}{3} \leqslant f(x) \leqslant 1
	\end{array}\]

	Puisque $\frac{2}{3} \geqslant 0$, on en déduit que pour tout $x \in [0~;~1]$,\: $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
	\item Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Initialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = 0$ et $u_1 = f(0) = \frac{2}{3}$. On a bien $0 \leqslant 0 \leqslant \frac{2}{3} \leqslant 1$, soit $0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 1$. La propriété est initialisée.
		\item \textbf{Hérédité :} Soit $n \in \N$, tel que $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$% montrons que $0\leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1$.

		La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0~;~1]$, elle conserve l'ordre, on a donc:

		\[\begin{array}{rl}
			& 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 \\
			\implies & f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) \\
			\implies & \frac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1
		\end{array}
		\]
		Comme $0 \leqslant \frac{2}{3}$, on obtient $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1$. L'encadrement est vrai au rang $n + 1$.
		\item \textbf{Conclusion :} L'encadrement est vrai au rang 0 et s'il est vrai à un rang supérieur ou égal à 0, il l'est aussi au rang suivant : par le principe de récurrence :

		Pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
	\end{itemize}

	\item Le résultat précédent montre :

	-- que $u_n \leqslant u_{n+1}$ donc que la suite $(u_n)$ est croissante et

	-- majorée par 1 puisque tous ses termes le sont.

	D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$ vérifiant $0 \leqslant \ell \leqslant 1$.

	\item La fonction $f$ étant continue, la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.

	\[\begin{array}{rcl}
		\dfrac{x - 2}{2x - 3} = x &\iff& x - 2 = x(2x - 3) \\
		&\iff& x - 2 = 2x^2 - 3x \\
		&\iff& 2x^2 - 4x + 2 = 0 \\
		&\iff& 2(x - 1)^2 = 0 \\
		&\iff& (x - 1)^2 = 0\\
		&\iff& (x - 1) = 0\\
		&\iff& x  = 1\\
	\end{array}\]

	On en déduit que $\ell = 1$ et donc que la suite $(u_n)$ converge vers 1.
	\item La fonction \texttt{seuil(0.0001)} renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $u_n \geqslant 1 - \np{0,0001}$, c'est-à-dire $u_n \geqslant \np{0,9999}$. La valeur \np{5000} signifie que c'est à partir du rang $n = \np{5000}$ que les termes de la suite dépassent \np{0,9999}.

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Les premiers termes sont :

		\[\begin{array}{rcl}
			u_0 &=& 0 \\
			u_1 &=& \frac{2}{3} \\
			u_2 &=& \frac{\frac{2}{3} - 2}{2\left(\frac{2}{3}\right) - 3} = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \\
			u_3 &=& \frac{\frac{4}{5} - 2}{2\left(\frac{4}{5}\right) - 3} = \frac{-\frac{6}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{6}{7}
		\end{array}\]

		\item On peut conjecturer que $u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}$.

		Démontrons-le par récurrence :

		\begin{itemize}
			\item \textbf{Initialisation :} Pour $n = 0$, $\frac{2 \times 0}{2 \times0 + 1} = \frac01 = 0 = u_0$. La propriété est vraie au rang 0.
			\item \textbf{Hérédité :} Soit $n \in \N$, tel que $u_n = \frac{2n}{2n + 1}$.

			\[\begin{array}{rcl}
				u_{n+1} &=& f(u_n) = \frac{\frac{2n}{2n+1} - 2}{2\left(\frac{2n}{2n+1}\right) - 3} \\
				&=& \frac{\frac{2n - 2(2n+1)}{2n+1}}{\frac{4n - 3(2n+1)}{2n+1}} \\
				&=& \frac{2n - 4n - 2}{4n - 6n - 3} \\
				&=& \frac{-2n- 2}{-2n - 3} \\&=& \frac{2n+2}{2n+3}\\
				&=& \frac{2n+2}{2n+2 + 1}\\
				u_{n+1} &=&\dfrac{2(n+1)}{2(n+1) + 1}\\
			\end{array}\]

			La relation est vraie au rang $n + 1$.
			\item La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \geqslant 0$, elle l'est aussi au rang $n + 1$. Par le principe de récurrence on a donc montré que:

			\[\text{quel que soit}\: n \in \N,\enskip u_n=\frac{2n}{2n+1}\]
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item L'épreuve consiste en la répétition de $n = 16$ lancers francs identiques et indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec deux issues : succès (probabilité

	$p = 0,492$) ou échec. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 16$ et $p = 0,492$, notée $\mathcal{B}(16~;~0,492)$.

	\item L'espérance est donnée par :

	\[\begin{array}{rcl}
		E(X) &=& n \times p \\
		&=& 16 \times 0,492 \\
		&=& 7,872
	\end{array}\]
	En moyenne, sur \np{16000} tirs, le joueur réussira environ \np{7872} lancers francs .

	\item Calcul de la probabilité d'avoir exactement 5 succès :
	\[
	\begin{array}{rcl}
		P(X = 5) &=& \binom{16}{5} \times (0,492)^5 \times (1 - 0,492)^{16 - 5} \\
		P(X = 5)&\approx& 0,073
	\end{array}
	\]

	\item Probabilité de réussir au moins 6 lancers francs :
	\[
	\begin{array}{rcl}
		P(X \geqslant 6) &=& 1 - P(X \leqslant 5) \\
		&\approx& 1 - 0,117 \\
		P(X \geqslant 6)&\approx& 0,883
	\end{array}
	\]
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
	\item Le joueur effectue 3 lancers francs. La variable $Y$ peut donc prendre les valeurs $0, 1, 2, 3$.

	\item $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
	\[
	\begin{array}{rcl}
		P(Y = 2) &=& \binom{3}{2} p^2 (1 - p)^1 \\
		&=& 3p^2(1 - p) \\
		&=& 3p^2 - 3p^3
	\end{array}
	\]

	\item Loi de probabilité de $Y$ :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$y_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
			\hline
			$P(Y = y_i)$ & $(1 - p)^3$ & $3p(1 - p)^2$ & $3p^2(1 - p)$ & $p^3$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

	\item Calcul de $P(Y \geqslant 2)$ :
	\[
	\begin{array}{rcl}
		P(Y \geqslant 2) &=& P(Y = 2) + P(Y = 3) \\
		&=& (3p^2 - 3p^3) + p^3 \\
		&=& -2p^3 + 3p^2
	\end{array}
	\]

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Étude de $f(x) = -2x^3 + 3x^2$ sur $[0~;~1]$.

		\[\begin{array}{rcl}
			f'(x) &=& -6x^2 + 6x \\
			&=& 6x(1 - x)
		\end{array}\]
		Sur $[0~;~1]$, $6x \geqslant 0$, $f'(x)$ est donc du signe de  $1 - x $. Or \[1 - x > 0 \iff 1 >x.\] On a donc pour $x \in [0~;~1[$,\: $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~1]$.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$ / 1 , $f'(x)$ / 1 , $f$ / 2}{$0$, $1$}
				\tkzTabLine{, +, z}
				\tkzTabVar{-/ $0$, +/ $1$}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

		\item Sur l'intervalle $[0~;~1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus, $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$. Puisque $0,9 \in [0~;~1]$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0,9$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0~;~1]$.

		\item À l'aide de la calculatrice :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			f(0,80) &=& 0,896\\
			f(0,81) &=& 0,905
		\end{array} \implies f(0,80) < 0,9 < f(0,81)
		\]
		L'encadrement est donc $0,80 \leqslant \alpha \leqslant 0,81$.

		\item La valeur $\alpha$ représente la probabilité de réussite minimale qu'un joueur doit avoir sur un lancer franc pour que sa probabilité de réussir au moins 2 lancers sur 3 soit égale à $90\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ont pour coordonnées :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			\overrightarrow{\text{AB}} && \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 3 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \\
			\overrightarrow{\text{AC}} && \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 1 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
		\end{array}
		\]
		Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent donc un plan.

		\item Calculons les produits scalaires :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} &=& 1 \times (-2) + 4 \times 1 + 1 \times (-2) = -2 + 4 - 2 = 0 \\
			\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} &=& 1 \times 1 + 4 \times (-1) + 1 \times 3 = 1 - 4 + 3 = 0
		\end{array}
		\]
		Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il est donc normal à ce plan.

		\item Une équation du plan (ABC) est de la forme $x + 4 y + z + d = 0$. Le point A$(1~;~2~;~3)$ appartient au plan, donc :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			1 + 4\times 2+ 3 + d &=& 0 \iff 12 + d = 0 \iff d = -12
		\end{array}
		\]
		Une équation cartésienne est : $x + 4y + z - 12 = 0$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item La droite $(d)$ est dirigée par le vecteur normal $\vect{n}(1~;~4~;~1)$ et passe par D$(3~;~-2~;~-1)$. Une représentation paramétrique est :
		\[
		\left\{
		\begin{array}{rcr}
			x &=& 3 + \phantom{4}t \\
			y &=& -2 + 4t \\
			z &=& -1 + \phantom{4}t
		\end{array}
		\right. , t \in \mathbb{R}
		\]

		\item Le point H appartient à $(d)$, il existe donc $t \in \mathbb{R}$ tel que $\begin{cases}
			x_{\text{H}}=3+\phantom{4}t \\y_{\text{H}}= -2+4t \\ z_{\text{H}}= -1+\phantom{4}t\end{cases}$

			De plus H appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan (ABC): $x_{\text{H}}+4y_{\text{H}}+z_{\text{H}}- 12 = 0$. On en déduit que $t$ est solution de :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			(3 + t) + 4(-2 + 4t) + (-1 + t) - 12 &=& 0 \\
			3 + t - 8 + 16t - 1 + t - 12 &=& 0 \\
			18t - 18 &=& 0 \\
			t &=& 1
		\end{array}
		\]
		Les coordonnées de H sont donc $x_{\text{H}} = 3 + 1 = 4$, $y_{\text{H}} = -2 + 4(1) = 2$, $z_{\text{H}} = -1 + 1 = 0$. Soit H$(4~;~2~;~0)$.

		\item La distance de D au plan (ABC) correspond à la longueur DH :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			\text{DH} &=& \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2} \\
			&=& \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} \\
			&=& \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
		\end{array}
		\]
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos(\widehat{\text{BAC}})$.

		\[
		\begin{array}{rcl}
			\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} &=& -2(1) + 1(-1) - 2(3) = -9 \\
			\text{AB} &=& \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \\
			\text{AC} &=& \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{11} \\
		\end{array}
		\]
		D'où :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			-9 &=& 3 \times \sqrt{11} \times \cos(\widehat{\text{BAC}}) \\
			\cos(\widehat{\text{BAC}}) &=& \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = \dfrac{-3}{\sqrt{11}} = \dfrac{-3\sqrt{11}}{11}
		\end{array}
		\]

		\item Sachant que $\cos^2(\widehat{\text{BAC}}) + \sin^2(\widehat{\text{BAC}}) = 1$ :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			\sin^2(\widehat{\text{BAC}}) &=& 1 - \left(-\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^2 \\
			&=& 1 - \frac{9}{11} = \dfrac{2}{11}
		\end{array}
		\]
		L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ étant dans $[0~;~\pi]$, son sinus est positif : $\sin(\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$.

		\item L'aire du triangle ABC est donnée par :
		\[
		\begin{array}{rcl}
			\mathcal{A} &=& \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{AC} \times \sin(\widehat{\text{BAC}}) \\
			&=& \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{11} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \\
			&=& \dfrac{3\sqrt{2}}{2}
		\end{array}
		\]
	\end{enumerate}

	\item Le volume du tétraèdre ABCD est :
	\[
	\begin{array}{rcl}
		\mathcal{V} &=& \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{ABC}} \times \text{DH} \\
		&=& \frac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times 3\sqrt{2} \\
		&=& \frac{1}{3} \times \dfrac{18}{2} \\
		&=& 3
	\end{array}
	\]
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}
\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation 1 : Fausse.}

	Calculons la dérivée seconde de $f(x) = (-0,5x + 3)^5$. (on rappelle que $(u^n)'=nu^{n-1}u'$)
	\[
	\begin{array}{rcl}
		f'(x) &=& 5 \times (-0,5) \times (-0,5x + 3)^4 = -2.5(-0,5x + 3)^4 \\
		f''(x) &=& -2,5 \times 4 \times (-0,5) \times (-0,5x + 3)^3 = 5(-0,5x + 3)^3
	\end{array}
	\]
	Pour $x = 10$, on a $f''(10) = 5(-5 + 3)^3 = 5(-8) = -40 < 0$. La dérivée seconde n'est pas positive sur tout $\mathbb{R}$, la fonction n'est donc pas convexe sur $\mathbb{R}$.

	\item \textbf{Affirmation 2 : Vraie.}

	Il y a 4 multiples de 8 parmi les 32 jetons $\{8, 16, 24, 32\}$.
	Le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est le nombre total de tirages moins le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de 8 (tirage parmi les 28 autres jetons).
	\[
	\begin{array}{rcl}
		\text{Nombre total} &=& \binom{32}{5} = 201376 \\
		\text{Sans multiple de 8} &=& \binom{28}{5} = \np{98280} \\
		\text{Au moins un} &=& \np{201376} - \np{98280} = \np{103096}
	\end{array}
	\]

	\item \textbf{Affirmation 3 : Fausse.} Complétons l'arbre fourni par l'énoncé.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[
			grow=right,
			level distance=4cm,
			level 1/.style={sibling distance=4cm},
			level 2/.style={sibling distance=1.5cm},
			every node/.style={ circle, inner sep=2pt}
			]
			\node[coordinate] {}
			child { node {$\overline{A}$}
				child { node {$\overline{B}$} edge from parent node[below] {$\frac7{10}$}}
				child { node {B} edge from parent node[above] {$\frac3{10}$ }}
				edge from parent node[below] {$\frac35$}
			}
			child { node {$A$}
				child { node {$\overline{B}$} edge from parent node[below] {$\frac34$}}
				child { node {B} edge from parent node[above] {$\frac14$ }}
				edge from parent node[above] {$\frac25$}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	On peut dans un premier temps calculer $p(B)$ par la formule de probabilités totales:\[
	p(B)= p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B\right) = \frac25 \times \frac14 + \frac35 \times \frac3{10} =\frac1{10}+\frac9{50}= \frac{14}{50}
	\]
	On en déduit que: \[
	p_B\left(\overline{A}\right)=\frac{p\left(\overline{A} \cap B\right)}{p(B)} =\frac{\frac9{50}}{\frac{14}{50}} = \frac9{14}
	\]


	\item \textbf{Affirmation 4 : Vraie.} \\
	Vérifions si $h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$ vérifie $h'(x) + h(x) = \mathrm{e}^{-x} \cos(x)$.
	\[
	\begin{array}{rcl}
		h'(x) &=& -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \\
		h'(x) + h(x) &=& \left( -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \right) + \mathrm{e}^{-x}\sin(x) \\
		h'(x) + h(x) &=& \mathrm{e}^{-x}\cos(x)
	\end{array}
	\]
	La fonction $h$ est bien une solution particulière.

	\item \textbf{Affirmation 5 : Fausse.}

	Les solutions de $(E)$ sont la somme de la solution particulière $h(x)$ et des solutions de l'équation homogène associée $y' + y = 0$.
	Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $C\mathrm{e}^{-x}$.
	L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc constitué des fonctions de la forme $y(x) = C\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$, ce qui est différent de l'expression proposée.
\end{enumerate}
\label{LastPage}
% Fin du document
\end{document}
