% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture : François Hache
% figures TikZ :
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% version 0 : 2026-07-06
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% Packages
%%% codage et police utilisée
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	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
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\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
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%
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% pour le symbole €
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
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% Enumérations réglage par défaut
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% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
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% Taille de la zone d'écriture
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% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Terminale, épreuve de spécialité J2},
    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie générale -- Session 2026},
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  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
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%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
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\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%
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%
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%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{17 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center} \Large \bfseries
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- spécialité J2 -- Polynésie -- 17 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{Exercice 1 (5 points)}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item D'après l'énoncé voici l'arbre pondéré des évènements $F$ et $I$ :

	\begin{center}
	%%Début tikz
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
		% Styles (MODIFIABLES)
		\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
		% Dimensions (MODIFIABLES)
		\def\DistanceInterNiveaux{4}
		\def\DistanceInterFeuilles{0.9}
		% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
		\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
		% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
		\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
		\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$F$};
		\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$I$};
		\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$};
		\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{F}$};
		\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$I$};
		\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,4$};
		\draw (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\np{0,3375}$};
		\draw (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\np{0,6625}$};
		\draw (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\np{0,6}$};
		\draw (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\np{0,5425}$};
		\draw (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\np{0,4547}$};
	\end{tikzpicture}
	%%Fin tikz
	%%Début pstricks
%	\medskip
%		\pstree[levelsep=3cm,treesep=.8,treemode=R,nodesepB=3pt, nodesepA=0pt]{\TR{}}
%		{
%			\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$F$}\taput{0,4}}
%			{
%				\TR{$I$}\taput{\np{0,3375}}
%				\TR{$\overline{I}$}\tbput{\np{0,6625}}
%			}
%			\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{F}$}\tbput{0,6}}
%			{
%				\TR{$I$}\taput{\np{0,5425}}
%				\TR{$\overline{I}$}\tbput{\np{0,4575}}
%			}
%		}
	\end{center}

	\item Il faut trouver $P(F \cap I)=  P(F) \times P_F(I) = 0,4 \times \np{0,3375} = 0,135$.

	\item On a de même $P\left(\overline{F} \cap I\right)=  P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(I) = 0,6 \times \np{0,5425} = \np{0,3225}$.

	D'après la loi des probabilités totale la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à :

	$P(I) = P(F \cap I) + P\left(\overline{F} \cap I\right) = 0,135 + \np{0,3225} = \np{0,4605}$.

	\item On calcule $P_I(F) = \dfrac{P(F \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0,135}{\np{0,4605}} \approx \np{0,2932}$ soit $0,293$ au millième près.

	Parmi les élèves envisageant des études d'ingénieur un peu moins de 30\,\% sont des filles.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate} \item
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre $n$ est assez grand pour que l'on puisse considérer que chaque fille choisie ait une probabilité de vouloir devenir ingénieure est égale à 0,15 : la variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,15$.

		\item On sait que $E  = n \times p = n \times 0,15 = 0,15n$.
	\end{enumerate}
	\item On a : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) =\ds 1 - \binom{n}{0} \times 0,15^0 \times (1 - 0,15)^n = 1 - 0,85^n$.

	Il faut donc que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99 \iff 1 - 0,85^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,85^n$,

	d'où par croissance de la fonction logarithme népérien :

	$\ln 0,01 \geqslant n\ln 0,85 \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \leqslant n$ car $\ln 0,85 < 0$.

	Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \approx 28,3$.

	Il faut donc interroger au moins 29 lycéennes.

	\item On a $\dfrac{29}{4} = 7,25$. Il faut donc choisir sur les 29 filles 8 qui souhaitent devenir ingénieure, d'où :

	$P(X\geqslant 8) = 1 - P(X < 8) = 1 - P(X \leqslant 7)
	$ : la calculatrice donne environ $0,059$ : sur 29 filles interrogées la probabilité qu'au moins le quart souhaite devenir ingénieure est légèrement inférieure à 6\,\%.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}
\begin{enumerate}
	\item $S$ représente le nombre de lycéennes souhaitant devenir ingénieure parmi les \np{15000} lycéennes interrogées.

	\item $\mathrm{E}(S) = \mathrm{E}(X_1 + \ldots + X_{10}) = \mathrm{E}(X_1) + \ldots \mathrm{E}(X_{10})$ par linéarité ;

	$\mathrm{E}(S) = 10\mathrm{E}(X) $ car toutes les variables aléatoires ont la même espérance, donc :

	$\mathrm{E}(S) = 10 \times 225 = \np{2250}$.

	Il en est de même pour la variance de $S$ :

	$\mathrm{V}(S) = \mathrm{V}(X_1 + \ldots + X_{10}) = \mathrm{V}(X_1) + \ldots + \mathrm{V}(X_{10})$ car les lois sont indépendantes.

	$\mathrm{V}(S) = 10\mathrm{V}(X)$ car elles suivent la, même loi de probabilité.

	$\mathrm{V}(S) = 10 \times 191,25 = \np{1912,5}$.

	\item On sait que $S$ a une espérance. Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité  d'avoir un nombre de lycéennes désirant devenir ingénieure compris entre \np{2000} et \np{2500} :

	$P(\np{2000} < S < \np{2500})  = P(- 250 <S - \mathrm{E}(S) < 250) = P(|S - \mathrm{E}(S)| < 250)$ ou

	$P(\np{2000} < S < \np{2500})  = 1 - P(|S - \mathrm{E}(S)| \geqslant 250$ ;
	d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

	$P(\np{2000} < S < \np{2500}) \geqslant 1 - \dfrac{\mathrm{V}(S)}{250^2}$ soit

	$P(\np{2000} < S < \np{2500}) \geqslant 1 - \dfrac{\np{1912,5}}{\np{62500}}$

	$P(\np{2000} < S < \np{2500}) \geqslant 1 - \np{0,0306}$ et finalement,

	$P(\np{2000} < S <\np{2500}) \geqslant \np{0,9694} > 0,95$.

	Conclusion : à 5\,\% près l'affirmation est vraie.

\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points)}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item On pourrait justifier que la fonction polynôme \quad $u : x \longmapsto 8x^3 -1$ \quad est dérivable,

	avec \quad $u' : x \longmapsto 24 x ^2 > 0$ \quad sur l'intervalle $[4 ; 10]$ donc croissante sur cet intervalle.

	$u(4) = \ln(511) > 0$,\quad ce qui montre l'existence de la fonction $f$ sur l'intervalle $[4 ; 10]$ et par suite la dérivabilité de cette fonction en tant que fonction composée :
	\quad
	$f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{24x^2}{8x^3 - 1}$.

	Comme \quad $(2x-1)(4x^2+2x+1) = 8x^3 + 4x^2 + 2x - 4x^2 - 2x - 1 = 8x^3 - 1$,

	on a bien : \quad
	$f'(x) = \dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}$.

	\needspace{3\baselineskip}
	\item \begin{enumerate}
		\item D'après la question précédente \quad $f'(x) =  \dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}$.

		Or pour $x \geqslant 4$ :

		\begin{itemize}
			\item $24x^2 > 0$ ;

			\item $2x - 1 > 0$ ;

			\item $4x^2+2x+1 > 0$ comme somme de termes supérieurs à zéro sur [4 ; 10],\,
		\end{itemize}

		$f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $[4 ; 10]$ de $f(4) = \ln 511 \approx 6,236$ à $f(10) = \ln \np{7999} \approx 8,99 < 10$.

		\item En résumé si $4 \leqslant x \leqslant 10$, alors $f(4) \leqslant f(x) \leqslant f(10)$ donc d'après ce qui précède: $4 \leqslant f(x) \leqslant 10$.
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Sur l'intervalle $[4 ; 10]$ :

		\begin{itemize}
			\item la fonction $g$ est continue car dérivable sur cet intervalle;
			\item $g$ est strictement décroissante;
			\item 0 est une valeur comprise entre \quad $g(4) = f(4) - 4 \approx 2,236$ \quad et \quad $g(10) = f(10) - 10 \approx -1,013$.
		\end{itemize}

		D'après le corollaire du théorème sur les valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in [4 ; 10]$ tel que $g(\alpha) = 0$.

		\item La calculatrice donne successivement : $8 < \alpha < 9 \:; \quad  8,4 < \alpha < 8,5$ ;

		$8,49 < \alpha < 8,50 \: ;\quad 8,499 < \alpha < 8,500$ encadrement de $\alpha$ au millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
	\item $u_1 = f(u_0) = f(5) = \ln \left(8 \times 5^3 - 5\right) = \ln 999 \approx 6,91$.
	\item \begin{enumerate}
		\item \emph{Initialisation} :

		On a calculé que si $u_0 = 5$, alors $u_1 \approx 6,91$.

		On a bien  $4 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 10$.

		L'encadrement est vrai au rang $n = 0$

		\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$ ; la fonction $f$ étant croissante sur l'intervalle [4 ; 10], on a donc

		$f(4) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1} \leqslant f(10)$.

		Comme $f(4) > 4, \: f(10) < 10$, que $f(u_n) = u_{n+1}$ et $f(u_{n+1} = u_{n+2}$, l'encadrement devient :

		$4 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 10$ : l'encadrement est donc vrai au rang $n + 1$.

		\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $n = 0$ et s'il est vrai au rang $n \geqslant 0$, il l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :

		quel que soit $n \in \N$ :\quad $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.

		\item L'inégalité centrale montre que la suite $(u_n)$ est croissante et la borne de droite montre que la suite $(u_n)$ est majorée par 10 : croissante et majorée la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leqslant 10$.
	\end{enumerate}

	\item Comme $u_{n+1} = f(u_n)$, que $f$ est continue sur [4 ; 10], la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell = f(\ell) \iff f(\ell) - \ell = 0 \iff g(\ell)  = 0$.

	Conclusion le nombre $\ell$ est solution sur [4 ; 10] de l'équation $g(x) = 0$ résolue à la question \textbf{3.} partie B, donc finalement $\ell = \alpha$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}
\begin{enumerate}
	\item \texttt{alpha(8.499)} renvoie  11 signifie que c'est à partir du rang $n = 11$, que $u_n \geqslant 8,499$.

	\item On a vu que quel que soit $n \in \N$, \: $u_n < 8,6$ : donc l'algorithme ne trouvera jamais un rang tel que $u_n > 8,6$ : il ne donnera donc aucun rang.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (5 points)}
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-7\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-4\\1\\2\end{pmatrix}$. On voit que les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles : les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils déterminent donc un plan (ABC).

		\item On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 12 + 14 - 26 = 0$ ; de même

		$\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = - 24 - 2 + 26 = 0$.

		Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est donc un vecteur normal à ce plan (ABC).

		\item On sait que les coordonnées du vecteur $\vect{n}$ sont les coefficients respectifs de $x, \: y$ et $z$ dans l'équation du plan (ABC), soit

		$M(x ; y ; z) \in (\text{ABC}) \iff 6x - 2y + 13z + d = 0$,

		avec $d \in \R$.

		En particulier on a $A(-1 ; 1 ; 1) \in \text{ABC}) \iff 6\times (-1) - 2\times 1 + 13\times 1 + d = 0 \iff - 6 - 2 + 13 + d = 0 \iff 5 + d = 0 \iff d = - 5$.

		Conclusion : \quad $\mathrm{M}(x ; y ; z) \in (\text{ABC}) \iff 6x - 2y + 13z - 5 = 0$.
	\end{enumerate}

	\item Comme on l'a vu à la question précédente les coefficients respectifs de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan $(P)$ sont les coordonnées d'un vecteur $\vect{p}$ normal à ce plan.

	On a donc $\vect{p}\begin{pmatrix}8\\- 2\\-4\end{pmatrix}$.

	Or $\vect{n} \cdot \vect{p} = 6 \times 8 - 2 \times (- 2) + 13 \times (- 4) = 48 + 4 - 52 = 0$ : d'après la propriété admise les deux vecteurs normaux aux deux plans sont orthogonaux donc les deux plans sont orthogonaux.

	\item La droite $(d)$ est sécante au plan (ABC) s'il existe un point dont les coordonnées vérifient les équations paramétriques de $(d)$ et l'équation cartésienne du plan (ABC), autrement dit si les coordonnées $(x ; y ; z)$ vérifient le système d'équations :
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
			x&=&- 4 + t\\
			y&=&- 11 + 6t\\
			z&=&2 - t\\
			6x - 2y + 13z - 5 &=& 0
		\end{array}\right.\]

		En remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient :

		$6(- 4 + t)- 2(- 11 + 6t) + 13(2 - t) - 5 = 0 \iff - 24 + 6t + 22 - 12t + 26 - 13t - 5 = 0$,

		soit enfin \quad $19 - 19t = 0 \iff 19 = 19t \iff 1 = t$.

		En reportant cette valeur $t = 1$ dans les équations paramétriques de $(d)$, on obtient \quad $x = - 4 + 1 = - 3$, \: $y = - 11 + 6 = - 5$, \:$z = 2 - 1 = 1$.

		La droite $(d)$ et le plan (ABC) ont bien un point commun E$(- 3 ; -5 ; 1)$.

		\item \begin{enumerate}
			\item H est le projeté orthogonal de A sur $(d)$ si :

			\begin{itemize}
				\item  H $\in (d)$, ce qui est aisé à voir en prenant la valeur $t = 2$ dans les équations paramétriques de $(d)$ qui conduit bien aux coordonnées $(- 2 ; 1 ; 0)$ qui sont bien celles de H;
				\item la droite (AH) est perpendiculaire à $(d)$ ;
			\end{itemize}

			Or $\vect{\text{AH}}\begin{pmatrix}-1\\0\\- 1\end{pmatrix}$ et $\vect{\delta}\begin{pmatrix}1\\6\\- 1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$ (d'après ses équations paramétriques)

			et $\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\delta} = - 1 + 0 + 1 = 0$, ce qui montre que les vecteurs $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\delta}$ sont orthogonaux donc que les droites (AH) et ($d$) sont perpendiculaires.

			Le point H est le projeté orthogonal de A sur $(d)$.

			\item La distance du point A à la droite $(d)$ est la distance de A à son projeté orthogonal sur la droite $(d)$, soit la distance AH.

			Des coordonnées du vecteur $\vect{\text{AH}}$, on calcule AH$^2 = (- 1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Conclusion AH $ = \sqrt 2$.

			\item H et E sont deux points de $(d)$ et la droite (AH) est perpendiculaire à $(d)$ : le triangle AHE est donc rectangle en H et son aire est égale au demi-produit des longueurs de ses côtés perpendiculaires :

			$\mathcal{A}(\text{AHE}) = \dfrac{\text{AH} \times \text{HE}}{2}$

			On a HE$^2 = (- 3 + 2)^2 + (- 5 - 1)^2 + (1 - 0)^2 = 1 + 36 + 1 = 38$, d'où HE $ = \sqrt{38}$ et

			$\mathcal{A}(\text{AHE}) = \dfrac{\sqrt 2 \times \sqrt{38}}{2} = \dfrac{\sqrt{76}}{2} = \dfrac{\sqrt{76}}{\sqrt4} = \sqrt{\dfrac{76}{4}} = \sqrt{19}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 (5 points)}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g(x) = \e^{\left(x^2\right)}$

		Avec $u(x) = x^2$ puis $u'(x) = 2x$, on a

		$\left(\e^{\left(x^2\right)}\right)' = \left(\e^{u(x))}\right)' = \e^{u(x)} \times u'(x) = \e^{\left(x^2\right)} \times 2x$.

		Donc $f'(x) = \e^{\left(x^2\right)} + x \times \e^{\left(x^2\right)} \times 2x$ ;

		$f'(x) = \e^{\left(x^2\right)}\left(1 + 2x^2\right)$.

		Puis de même $f''(x) = 4x\e^{\left(x^2\right)} + \left(1 + 2x^2\right) \times 2x \e^{\left(x^2\right)} = 2x \left(2 + 1 + 2x^2 \right)\e^{\left(x^2\right)}$.

		Finalement $f''(x) = 2x\left(3 + 2x^2 \right)\e^{\left(x^2\right)}$

		Dans ce produit pour $x \in ]- \infty ; 0[$, on a :

		\begin{itemize}
			\item $3 + 2x^2 > 0$ ;
			\item $\e^{\left(x^2\right)} > 0$
			\item $2x < 0$
		\end{itemize}

		Conclusion sur $]-\infty ; 0]$, \: $f''(x) < 0$ : la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.

		\hfill\textbf{Affirmation 1 vraie}

		\item \begin{itemize}
			\item Dans le groupe 1 on peut former $\ds\binom{24}{8}$ ensembles de 8 rapaces ;

			\item Dans le groupe 2 on peut former $\ds\binom{16}{8}$ ensembles de 8 rapaces ;

			\item Dans le groupe 3 on peut former $\ds\binom{8}{8}$ ensemble de 8 rapaces ;
		\end{itemize}

		Il y a donc $\ds\binom{24}{8} \times \binom{16}{8} \times \binom{8}{8}$ façons différentes de répartir 8 rapaces dans ces 3 groupes.

		Or\quad $\ds \binom{24}{8} \times \binom{16}{8} \times \binom{8}{8} = \dfrac{24!}{8! \times (24- 8)!} \times \dfrac{16!}{8!\times (16-8)!} \times 1
		= \dfrac{24!}{8! \times 16!} \times \dfrac{16!}{8! \times 8!  }
		= \dfrac{24!}{\left (8!\right )^3}$.

		\hfill\textbf{Affirmation 2 vraie}

		\item $f$ est solution de l'équation différentielle donc quel que soit $x \in \R$,

		$f'(x) = - f(x) + 1$ \quad (1) .

		D'autre part $g(x) = f(x) - 1$ montre que puisque $f$ est dérivable sur \, $g$ l'est aussi avec : $g'(x) = f'(x)$.

		L'égalité (1) devient alors

		$g'(x) 	= - f(x) - 1 = - (f(x) - 1) = - g(x)$

		Conclusion : quel que soit $x \in \R, \: g'(x)= - g(x)$.

		\hfill\textbf{Affirmation 3 vraie}

		\item Quel que soit $n \in \N^*, \: - 1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1$.

		En multipliant par $\dfrac1n > 0$, on a
		$- \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}$ .

		Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} -\dfrac{1}{n} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, on a donc d'après le théorème des gendarmes:
		\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{\sin(n)}{n} = 0.\]

		La suite converge vers zéro.

		\hfill\textbf{Affirmation 4 fausse}

		\item ~
		\begin{center}
			%Début Tikz
			%\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			%\begin{axis}[
			%xmin=-1, xmax=5.5, ymin=-1.5, ymax=5.5,
			%axis lines=middle,
			%grid=both,
			%xlabel={}, ylabel={},
			%width=10cm, height=8cm,
			%xtick={0,1,2,3,4,5}, ytick={-1,0,1,2,3,4,5}
			%]
			%\addplot[domain=-1:5.5, samples=100, thick] {-x^2+4*x+1};
			%\addplot[domain=-1:5.5, samples=2, thick] {x+1};
			%\addplot[domain=0:3, samples=100, fill=gray, fill opacity=0.4, draw=none] {-x^2+4*x+1} \closedcycle;
			%\addplot[domain=0:3, samples=2, fill=white, fill opacity=1, draw=none] {x+1} \closedcycle;
			%\end{axis}
			%\end{tikzpicture}
			%Fin Tikz
			%Début PSTricks
			\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
			\begin{pspicture*}(-1.1,-1.5)(5.5,5.5)
				\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-1.5)(5.5,5.5)
				\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.5}{4.5}{4 x mul 1 add x dup mul sub}
				\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5}{x 1 add}
				\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{4 x mul 1 add x dup mul sub}\psline(3,4)(0,1)}
				%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{0}{3}{x 3 x sub mul}
				\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt]
				\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(0,1)(3,4)(3,0)
				\uput[ul](0,0){O}\uput[ul](0,1){I}\uput[r](3,4){A}\uput[dr](3,0){B}
			\end{pspicture*}
			%Fin PSTricks
		\end{center}

		L'aire du domaine grisé est égale à la différence de deux aires :

		\begin{itemize}
		\item l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$ et la représentation graphique de la fonction définie sur $\R$ par \quad $f : x \longmapsto - x^2 + 4x + 1$.

		La fonction $f$ étant manifestement positive sur l'intervalle $[0 ; 3]$, cette aire est l'intégrale (en  u. a.) $\displaystyle\int_0^3 f(x) \:\text{d}x = \displaystyle\int_0^3 - x^2 + 4x + 1)\:\text{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2 + x \right]_0^3 = -\dfrac{3^3}{3} + 2\times 3^2 + 3 - \left(-\dfrac{0^3}{3} + 2\times 0^2 + 0 \right) = - \dfrac{27}{3} + 18 + 3 = 22 - 9 = 12$ \: (u.a.) \:\textbf{et}

		\item l'aire du trapèze rectangle OIAB soit $\dfrac{\text{OI} + \text{AB}}{2}\times \text{OB}$;
		\end{itemize}

		On a de façon évidente : OI $ = 1$, \: AB $ = 4$ et OB $ =  3$, donc

		$\mathcal{A}(\text{OIAB}) = \dfrac{1 + 4} {2} \times 3 = \dfrac{15}{2}$\: (u.a)

		Si $\mathcal{A}(G)$ est l'aire de la surface grisée alors

		$\mathcal{A}(G) = 12 - \dfrac{15}{2} = \dfrac{24 - 15}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5$\:(u.a.).

		\hfill\textbf{Affirmation 5 fausse}

		\medskip

		\emph{Remarque} : on peut aussi dire que $\mathcal{A}(G)$  est la différence de l'intégrale de la fonction $f(x) = - x^2 + 4x + 1$ et de l'intégrale de la fonction $g(x) = x + 1$ sur l'intervalle [0 ; 3].

		$\mathcal{A}(G) = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 4x + 1\right)\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^3 (x + 1)\:\text{d}x$, soit par linéarité de l'intégrale :

		$\mathcal{A}(G) = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 4x + 1 - (x + 1) \right)\:\text{d}x =
		\displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 4x + 1 - x - 1) \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 3x  \right)\:\text{d}x =
		\displaystyle\int_0^3 x(3 - x) :\text{d}x$.

		Il faut alors considérer cette fonction trinôme $x \longmapsto x(x - 3)$ qui est négative sauf entre ses racines 0 et 3 sui est justement l'intervalle d'intégration.

		Il faut alors rappeler que cette fonction polynôme trinôme est continue sur $\R$ donc en particulier sur [0 ; 3], donc intégrale sur cet intervalle et affirmer que

		$\mathcal{A}(G) = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 3x \right)\:\text{d}x = \left[- \dfrac{x^3}{3} + 3\frac{x^2}{2} \right]_0^3 = -\dfrac{3^3}{3} + 3\times \dfrac{3^2}{2} - \dfrac{0^3}{3} - 3\times \dfrac{0^2}{2}  = -9 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{-18 + 27}{2} = \dfrac92 \ne \dfrac{13}{2}$.
\end{enumerate}
\end{document}