% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Stéphan Grignon (CoopMaths)
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 1 : 2026-07-01
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Terminale, Série STI2D},
    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,\mathrm{d}}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]Corrigé\\[10pt]
		\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
		Voie technologique -- Série STI2D -- Métropole -- 16 juin 2026 }}
\end{center}


\section*{Exercice PCM \hfill 4 points}

\begin{enumerate}[start=4]
	\item Pour tout $t \in [0~;~+\infty[$ :
	\quad $y = T_1(t) = 11,5\e^{-0,006t}+11,5$.

	Donc :\quad
	$y' = T_1'(t) = 11,5 \times (-0,006)\e^{-0,006t} = -0,069\e^{-0,006t}$.

	Ainsi :
	\begin{align*}
		y' + 0,006y &= -0,069\e^{-0,006t}+0,006\left(11,5\e^{-0,006t}+11,5\right)\\
		&= -0,069\e^{-0,006t}+0,069\e^{-0,006t}+0,069\\
		&= 0,069.
	\end{align*}
	La fonction $T_1$ est donc bien solution de $(E)$.

	De plus :\quad
	$T_1(0) = 11,5\e^{-0,006\times0}+11,5 = 11,5+11,5 = 23$.

	La fonction $T_1$ est bien la solution de $(E)$ vérifiant $T_1(0) = 23$.

	\textbf{Correction alternative :}

	Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre de la forme :\quad
	\[y' + ay = b \text{ avec } a = 0,006 \text{ et } b = 0,069.\]

	Les solutions de $(E)$ sont les fonctions de la forme :
	\begin{align*}
		T_1(t) &= k\e^{-at} + \dfrac{b}{a} \\
		&= k\e^{-0,006t} + \dfrac{0,069}{0,006} \\
		&= k\e^{-0,006t} + 11,5\quad \text{ où } k \in \R.
	\end{align*}

	Avec la condition initiale :
	\begin{align*}
		T_1(0) &= 23 \\
		k\e^{-0,006\times0} + 11,5 &= 23 \\
		k\e^0 &= 23 - 11,5 \\
		k &= 11,5.
	\end{align*}

	La solution de $(E)$ est donc bien : $T_1(t) = 11,5\e^{-0,006t}+11,5$.

	\item Comme \quad$-0,006<0$,\quad on a :\quad
	$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \e^{-0,006t}=0$.

	Par conséquent :\quad
	$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} T_1(t)=11,5\times 0+11,5=11,5$.

	La température de la boisson tend donc vers $11,5^\circ\text{C}$.

	\item Trois heures correspondent à $3\times 60\times 60=\np{10800}$ secondes.

	Le modèle donne :\quad
	$T_1(\np{10800})=11,5\e^{-0,006\times \np{10800}}+11,5=11,5\e^{-64,8}+11,5$.

	Comme $\e^{-64,8}$ est très proche de $0$, on obtient :\quad
	$T_1(\np{10800})\approx 11,5$.

	Le modèle prévoit donc une température d'environ $11,5^\circ\text{C}$ au bout de 3 h.

	Cependant, si la température extérieure reste égale à $23,0^\circ\text{C}$, la boisson ne peut pas durablement tendre vers $11,5^\circ\text{C}$ : elle finirait par se réchauffer vers la température ambiante.

	Le modèle ne peut donc pas être appliqué sur une durée aussi longue.
\end{enumerate}


\section*{Exercice Maths \hfill 4 points}

\subsection*{Question 1}

\begin{enumerate}
	\item Sur $[0~;~2]$, la fonction $f$ est positive. L'aire $A$ du domaine hachuré est donc l'intégrale de $f$ entre $0$ et $2$ :
	\[A=\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^2 (8x+1)\e^{-x}\,\mathrm{d}x.\]

	\item On a admis qu'une primitive de $f$ sur $\R$ est définie par :\quad
	$F(x)=-(8x+9)\e^{-x}$.

	On calcule alors :
	\begin{align*}
		A &= \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x \\
		&= \Big[-(8x + 9)\e^{-x}\Big]_0^2 \\
		&= \left[-(8\times 2+9)\e^{-2}\right]-\left[-(8\times 0+9)\e^0\right]\\
		&= -25\e^{-2}+9 \\
		&\approx 5,62.
	\end{align*}
	L'aire du domaine hachuré est donc $9-25\e^{-2}$ unité d'aire, soit environ $5,62$ unités d'aire.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 2}
\begin{enumerate}
	\item Pour tout $x>0$, la fonction $g$ est dérivable et :
	\begin{align*}
		g'(x) &= 2+4\times \dfrac1x \\
		&= 2+\dfrac4x \\
		&= \dfrac{2x}{x}+\dfrac4x \\
		&= \dfrac{2x+4}{x}.
	\end{align*}

	\item Pour tout $x>0$, on a : \quad $x>0$ \quad et \quad $2x+4>0$.

	Donc \quad $g'(x)>0$,\quad en tant que quotient de réels strictement positifs.

	La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Question 3}

\medskip

On a : $z=-2\sqrt3+2\i$.

Son module vaut :\quad $|z|=\sqrt{\left(-2\sqrt3\right)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$.

En factorisant le module, on a :\quad $z=4\dfrac{-2\sqrt3+2\i}{4} = 4\left(\dfrac{-2\sqrt{3}}{4} + \i \dfrac{2}{4}\right)= 4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2}\right) $.

On cherche un argument $\theta$ de $z$.

On a :\quad $\cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ \quad et \quad $\sin(\theta)=\dfrac12$,\quad on peut donc prendre \quad $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$.

Ainsi, la forme exponentielle de $z$ est :\quad $z=4\e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
\end{document}