% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : François Kriegk % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 0 : 2026-07-14 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale, Série STI2D}, pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) -- Voie technologique -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %--------------------------------------------------------- % Réglage entête, pied de page %--------------------------------------------------------- \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{16 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %--------------------------------------------------------- % Titre %--------------------------------------------------------- \begin{center}\Large \bfseries \decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt] Voie technologique -- Série STI2D -- Polynésie -- 16 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Corrigé \end{center} \section*{Exercice PCM (2 points)} \begin{enumerate}[start=3] \item \emph{Première approche :} On vérifie que la fonction donnée est bien solution de l'équation différentielle, avec la condition initiale. Avec $\omega(t) = -660\e^{-0,028t} + 660$, on a : \begin{itemize} \item $\omega(0) = -660\e^{-0,028\times 0}+660 = -660\times 1 + 660 = 0$, la condition initiale est bien vérifiée; \item pour tout $t$ réel positif, on a : d'une part :\quad $\omega'(t) = -660 \times \big(-0,028\e^{-0,028t}\big) + 0 = 660\times 0,028 \e^{-0,028t}$, c'est-à-dire : \quad $\omega'(t) = 18,48\e^{-0,028t}$; d'autre part :\quad $\begin{aligned}[t] -0,028\omega(t) + 18,48 &= -0,028\big(-660\e^{-0,028t}+ 660\big) + 18,48\\ &=0,028\times 660 \e^{-0,028t} - 0,028\times 660 + 18,48\\ &=18,48\e^{-0,028t} - 18,48 + 18,48\\ &=18,48\e^{-0,028t}. \end{aligned}$ On constate que, pour tout réel positif, on a : \quad $\omega'(t) = -0,028\omega(t) + 18,48$; $\omega$ vérifie l'équation différentielle. \end{itemize} En conclusion, la fonction $\omega$ est bien la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale $\omega(0) = 0$. \emph{Seconde approche :} On utilise la propriété du cours. \begin{itemize} \item L'équation différentielle est de la forme $\quad y' = ay + b$\quad donc on sait que les solutions sont les fonctions de la forme : \quad $t\longmapsto C\e^{at} - \dfrac{b}{a}$,\quad où $C$ est un réel quelconque. Avec $a = -0,028$ et $b = 18,48$, on a :\quad $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{18,48}{-0,028} = +660$. On en déduit que les solutions à l'équation différentielle sont les fonctions de la forme : $\omega : t \longmapsto C \e^{-0,028t} + 660$, \quad où $C$ est un réel quelconque. \item Pour vérifier que l'image de 0 est 0, on a : $\begin{aligned} \omega(0) = 0 &\iff C \e^{-0,028\times 0} + 660 = 0\\ &\iff C\e^{0} = -660\\ &\iff C = -660 \end{aligned}$ \end{itemize} Ainsi, la fonction $\omega$, solution de l'équation différentielle et qui vérifie $\omega(0) = 0$ est la fonction définie par : $\omega : t \longmapsto -660 \e^{-0,028t} + 660$. \item On a : \begin{itemize} \item $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,028t = -\infty$,\quad par limite du produit; \item par composition, on en déduit :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-0,028t} = \lim\limits_{X \to -\infty} \e^{X} = 0$; \item puis, par limite du produit:\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} -660\e^{-0,028t} = 0$; \item et enfin, par limite de la somme :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} -660\e^{-0,028t} +660 = 660$. \end{itemize} Ainsi, on a :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} \omega(t)=660$. Cela signifie que la vitesse maximale de rotation du moteur est de \np[rad\cdot s^{-1}]{660}. \item $\dfrac{1}{20}\times 660 = 33.$ Puisque la vitesse du rotor est un vingtième de la vitesse du moteur, on en déduit que la vitesse maximale du rotor est de \np[rad \cdot s^{-1}]{33}. \item $\dfrac{2\pi}{33}\approx0,19$ est le temps (exprimé en secondes) que met le rotor à faire un tour complet (c'est-à-dire une rotation de $2\pi$\,rad). Ce temps est proche de $0,2 = \dfrac{1}{5}$, cela signifie que le rotor fait environ 5 tours par seconde. L'extrémité de la pale décrit un cercle de rayon 5 mètres. $2\pi \times R = 2\pi\times 5 = 10\pi\approx31,4$. La circonférence de ce cercle est de $10\pi$ mètres (soit environ 31,4 mètres). $\dfrac{10\pi}{~~\dfrac{2\pi}{33}~~} = 10\pi\times \dfrac{33}{2\pi} = 5 \times 33 = 165$. La vitesse à l'extrémité de la pale est donc de \np[m \cdot s^{-1}]{165}. \emph{Remarque :} ce résultat est cohérent avec l'ordre de grandeur d'environ 5 tours d'environ 31 mètres soit environ 155 mètres en une seconde. \item La vitesse à l'extrémité des pales est donc nettement inférieure à la vitesse du son dans l'air : les règles de sécurité sont bien respectées. \end{enumerate} \section*{Exercice maths (4 points)} \subsection*{Question 1} \begin{enumerate} \item Dérivons $F$. Pour tout $t$ réel, on a : $F'(t) = -2,5 \times \big(-2\e^{-2t}\big) + 3 = (-2,5)\times (-2)\e^{-2t} +3 = 5\e^{-2t} + 3$. On a bien \quad $F'(t) = f(t)$ \quad pour tout nombre $t$ réel : $F$ est bien une primitive de $f$ sur \R. \item On en déduit que : $I = \ds\int_{-2}^{0} \big(5\e^{-2t} + 3\big)\d t = \ds\int_{-2}^{0} f(t) \d t = \big[F(t)\big]_{-2}^{0} = F(0) - F(-2)$ $I = \Big(-2,5 \e^{-2\times 0} + 3\times 0\Big) - \Big(-2,5 \e^{-2\times (-2)} + 3\times (-2)\Big) = \Big(-2,5 \times 1 + 0\Big) - \Big(-2,5\e^{4} - 6\Big)$ $I = -2,5 + 2,5\e^{4} + 6 = 3,5 + 2,5\e^{4}$. On arrive bien à l'égalité annoncée :\quad $I = 3,5 + 2,5\e^{4}$. \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \subsection*{Question 2} \begin{enumerate} \item Dérivons $g$. Pour tout réel $x$, on a :\quad$g'(x) = 2\times \big(3\e^{3x}\big) - 0 = 6\e^{3x}$. La fonction exponentielle est à valeurs positives, donc, pour tout $x$ réel : \quad $\e^{3x} > 0$. Comme 6 est strictement positif aussi, pour tout $x$ réel :\quad $g'(x) = 6\e^{3x} > 0$. On a bien démontré que la fonction $g'$ est à valeurs strictement positives. \item Comme $g$ a une fonction dérivée à valeurs strictement positives, on en déduit que $g$ est strictement croissante sur $\R$. \item Résolvons :\quad $\begin{aligned}[t] g(x) = 0 &\iff 2\e^{3x} - 16 = 0\\ &\iff 2\e^{3x} = 16\\ &\iff \e^{3x} = 8\\ &\iff 3x = \ln(8)\quad \text{ car }8 > 0\\ &\iff x = \dfrac{1}{3}\ln(8)\\ &\iff x = \dfrac{1}{3}\ln(2^3) = \dfrac{1}{3}\times 3\ln(2)\\ &\iff x = \ln(2) \end{aligned}$ La solution de l'équation est donc $\ln(2)$, la réponse $\dfrac{1}{3}\ln(8)$ est correcte également. \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \subsection*{Question 3} \begin{enumerate} \item On calcule :\quad $-2 z_{\mathrm{B}} = 2\e^{\i \pi} \times 2\e^{\i\frac{2\pi}{3}} = 2\e^{\i \frac{3\pi}{3}} \times 2\e^{\i\frac{2\pi}{3}} = 2 \times 2 \times \e^{\i \left(\frac{3\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 4\e^{\i\frac{5\pi}{3}} = z_{\mathrm{A}}$. On arrive bien à :\quad $z_{\mathrm{A}} = -2z_{\mathrm{B}}$. \item La proposition correcte est la proposition 2. En effet, si on a $z_{\mathrm{A}} = -2z_{\mathrm{B}}$, cela veut dire que $\vectt{OA} = -2\vectt{OB}$, car O étant l'origine du repère, l'affixe d'un point M est aussi l'affixe du vecteur $\vectt{OM}$. L'égalité $\vectt{OA} = -2\vectt{OB}$ traduit bien le fait que A est l'image de B par l'homothétie de centre O (car les vecteurs ont comme origine O) et de rapport $-2$ (car le vecteur image est le produit du vecteur antécédent par le réel $-2$). \end{enumerate} \end{document}