% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : Jean-Claude Souque % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 0 : 2026-07-19 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale, Série STL}, pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) -- Voie technologique -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %--------------------------------------------------------- % Réglage entête, pied de page %--------------------------------------------------------- \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{16 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %--------------------------------------------------------- % Titre %--------------------------------------------------------- \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]Corrigé\\[10pt]Voie technologique -- Série STL -- Polynésie -- 16 juin 2026 }} \end{center} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} %--------------------------------------------------------- % code LaTeX de l'épreuve %--------------------------------------------------------- \section*{Exercice 1} \begin{enumerate}[start=3] \item Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sur \R {} sont les fonctions $y$ définies par $y(x)=C\e^{ax}$,\quad où $C$ est une constante quelconque. Nous avons donc $y(t)=C\e^{-2,77\times 10^{-3}t}$. En utilisant la valeur initiale, déterminons $C$. $y(0)=C \e^0=C=0,20$. Il en résulte $y(t)=0,20\e^{-2,77\times 10^{-3}t}$, c'est bien la fonction cherchée. \item Déterminons la limite de la fonction $y$ en $+\infty$. $\lim\limits_{t \to +\infty} -2,77\times 10^{-3}t =-\infty$.\quad Or $\ds \lim_{x\to -\infty }\e^x=0$. Par composition, on en déduit :\quad $ \ds \lim_{t\to+\infty} \e^{-2,77\times 10^{-3}t} =0$. Par produit, on en déduit :\quad $ \ds \lim_{t\to+\infty} y(t) = \lim\limits_{t \to +\infty} 0,20\e^{-2,77\times10^{-3}t} =0$. \item Résolvons l’équation $y(t) = 0,10$. \begin{center} $\begin{aligned} 0,20 \e^{-2,77\times10^{-3}t}&=0,10\\ \e^{-2,77\times10^{-3}t}&=\frac{1}{2}\\ \ln( \e^{-2,77\times10^{-3}t})&=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\\ -2,77\times10^{-3}t &=-\ln(2)\\ t&=\frac{\ln(2)}{2,77\times10^{-3}}\\ t&=\frac{10^5 \ln(2)}{277}\\ t&\approx 250,23 \end{aligned}$ \end{center} La solution de l'équation est $\dfrac{10^5 \ln(2)}{277}$, soit, arrondie à l'unité, $250$. \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 3 (Mathématiques) 4 points} \begin{enumerate} \item L'affirmation : \og $f$ admet un maximum en 0,5 sur $\R$ \fg{} est fausse. La courbe coupe l'axe des abscisses en B, d'abscisse 0,5. Elle est située en dessous de l'axe pour les valeurs inférieures strictement à 0,5 et au dessus de l'axe pour les valeurs strictement supérieures. On peut donc établir un tableau de signe pour $f'$, et un tableau de variations pour $f$ : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3]{$x$/0.7,signe de $f'(x)$/0.7,variations de $f$/1.5}{$-\infty$,\np{0.5},$+\infty$} \tkzTabLine{,-,z,+,} \tkzTabVar{+/~,-/~,+/~} \end{tikzpicture} \end{center} d'après ces variations, on a un \textbf{minimum} pour la fonction $f$ en 0,5. \item Calculons $f(\ln(4))$. Remarquons que :\quad $\ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2)$ \quad et \quad $\e^{\ln(4)}=4$. $f(\ln(4))=\left(2\times 2\ln(2)-3\right)\e^{\ln (4)}=(4\ln (2)-3) \times 4=16\ln(2)-12$ \item Déterminons la limite de $f$ en $+\infty$. $\ds \lim_{x\to +\infty}(2x-3)=+\infty, \quad \lim_{x\to +\infty} \e^x =+\infty$ \quad d'où, par limite du produit :\quad $ \ds \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. \item Nous voulons le plus petit entier $i$ pour lequel $f(i)\geqslant 25$. Nous ferons tourner la boucle tant que le contraire est vrai, donc le test de la boucle doit être \texttt{f(i) < 25}. La boucle s'arrête dès que la valeur stockée dans la variable \texttt{i} contient une valeur dont l'image par $f$ n'est pas strictement inférieure à 25, donc dont l'image est supérieure ou égale à 25. L'affichage sera la valeur de \texttt{i} donc nous utiliserons le programme \no 1 \item \begin{enumerate} \item Montrons que la fonction $F$, définie sur \R{} par :\quad $F(x) = (2x − 5)\e^{x}$ , est une primitive de la fonction~$f$. $F$ est une primitive de $f$ si $F'= f$ Dérivons $F$. Nous pouvons considérer \quad $F =uv$ \quad où \quad $u(x)=2x-5$\quad et\quad $v(x)=\e^x $. $F'=u'v+v'u ,\quad u'(x)=2$\quad et\quad $v'(x)=\e^x$. $F'(x)=2\e^x+(2x-5)\e^x=(2x-5+2)\e^x=(2x-3)\e^x= f(x)$. $F$ est bien une primitive de $f$ sur \R. \item Calculons la valeur exacte de $\displaystyle\int_0^2 f(x)\d x$. $\ds \int_0^2f(x)\d x= \Bigl[F(x)\Bigr]_0^2=F(2)-F(0)$,\quad où F est une primitive de $f$. $F(2)=(2\times 2-5)\e^2=-\e^2\qquad F(0)=-5\times 1=-5$ \quad d'où \[\ds \int_0^2 f(x)\d x=-\e^2-(-5)=5-\e^2. \] \end{enumerate} \end{enumerate} %--------------------------------------------------------- % Fin du document %--------------------------------------------------------- \end{document}