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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright}}\\[4pt]
Besan\c con juin 1962\\[4pt]
ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item  Mettre sous forme d'un produit de facteurs du
premier degré l'expression E suivante:

\[E = (2x + 1) (x-3) + (2x + 1) (3x -4) -(2x + 1)^2.\]
\item Donner les solutions de l'équation

\[(2x + 1) (x - 3) + (2x + 1) (3x - 4) = (2x + 1)^2.\]
\item  Simplifier la fraction rationnelle suivante;

\[F = \dfrac{2 \left[\left( 2x -\dfrac{1}{3}\right)^2 -\dfrac{16}{9}\right] }{(2x + 1) (x-3) + (2x + 1) (3x-4)-(2x + 1)^2}\]

Pour quelle valeur de $x$ est-elle nulle?
\item  Construire dans un même système d'axes rectangulaires
les droites représentatives des fonctions

$y = 2x - \dfrac{5}{3}$ et $y = x - 4$.

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

 Soit un angle $x$O$y$ de 30°; sur le côté $Ox$ on prend le
point A tel que OA$ = a$. On mène par A la perpendiculaire
à $Ox$, qui coupe $Oy$ en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la mesure de l'angle OBA et quelle est
la nature du triangle OAB ?
 En déduire les mesures de $OB$ et $AB$ en fonction de $a$.
\item On prend sur $Ox$ le point $C$ tel que $OC = 3a$ et
l'on mène par $C$ la perpendiculaire à $Oy$ ; elle coupe $Oy$
en $D$. Démontrer que les triangles $OCD$ et $OAB$ sont semblables.
\end{enumerate}

Soit H la projection de D sur OC. Calculer OD, DC,
HC, DH, AD en fonction de $a$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que les quatre points A, B, C, D sont
sur un même cercle, dont on déterminera la position
du centre, I.   Calculer le rayon, $R$, de ce cercle en
fonction de $a$.
\item On mène de O une tangente OT au cercle de
centre I et de rayon R. 

Calculer la longueur de OT en
fonction de~ $a$.
\end{enumerate}
\end{document}