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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[4pt]
Dijon juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}
\vspace{1cm}
Deux villes, A et B, sont distantes de \np[km]{300}. Sur
l'axe AB, d'origine A et dont le sens positif est celui de
A vers B, le point M, d'abscisse $\overline{AM} = x$, est l'image
d'un mobile parvenu en M à un instant désigné par $t$
($t$ est exprimé en heures et fraction d'heures).

Cela posé, une voiture, animée d une vitesse
constante de \np[km]{90}  à l'heure, part de A à 8 heures et se
dirige vers B. Une autre voiture, animée d'une vitesse
constante de \np[km]{60}  à l'heure, part de B à 9 heures et se
dirige vers A. Les positions des voitures à l'instant $t$
sont M et N.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $x = \overline{AM}$ et $x' =\overline{AN}$ en fonction de $t$.
Exprimer ensuite $\overline{MN}$ et la distance des deux voitures
en fonction de $t$.
\item À quel instant $t$ la distance des deux mobiles
a-t-elle une valeur donnée $d$? ($d$ est exprimé en
kilomètres.)
\item Application: 
\begin{enumerate}
\item $d = 0$ ;
\item $d = \np[km]{100}$. 
\end{enumerate}

Vérification à l'aide d'un graphique ($t$ en abscisses,
la \emph{distance} MN en ordonnées).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}
\vspace{1cm}

Soit un triangle ABC, rectangle en A (AB = \np[cm]{8}  ;
. AC = \np[cm]{6} ). Sur le côté AB, entre B et A, on marque
un point M. Sur le prolongement de AC, on marque un
point M' tel que CM' = BM. Le cercle de diamètre BC
rencontre la bissectrice de l'angle BAC en O.
\begin{enumerate}
\item  Comparer les triangles OBM et OCM'.
\item Montrer que le triangle MOM' est rectangle
et isocèle. Déterminer son aire, lorsque les points
B, C, M, M' sont sur un même cercle.
\item Montrer que, si M varie sur BA, le milieu, I, de MM'
décrit un segment de droite. Construire le point I pour
que la droite MM' passe par H, projection de A sur
BC. Justifier.
\end{enumerate}


\end{document}