\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = { juin 1962},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BEPC}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[4pt]
Lyon juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item  Mettre sous forme de produits de facteurs les
expressions suivantes :
\begin{description}
\item[] $A = 9x^2- 6x + 1$,
\item[] $B = x^2-4x + 4$,
\item[] $C = 5 (x - 2) - x (x - 2)$.
\end{description}
\item Simplifier l'expression
  
\[E=\dfrac{A}{5-x}\times \dfrac{C}{B}\times\dfrac{1}{3x-1}.\]
(On appellera E' l'expression simplifiée.)

Calculer la valeur de E$'$ :
\begin{enumerate}
\item pour $x =\dfrac{1}{3}$;
\item pour $x = 2$.
\end{enumerate}

Faire une remarque, s'il y a lieu, au sujet de ces valeurs choisies.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que l'on ait
\[E' =-2.\]
\item Résoudre graphiquement le système
\[\begin{cases}y = 3x -1\\
 y = -2x + 4.\end{cases}\]
Expliquer pourquoi cette résolution permet de
retrouver la valeur de $x$ précédemment trouvée.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\vspace{1cm}

Soit un segment de droite AB. Des points A et B on
mène, perpendiculairement à AB et dans le même sens,
les demi-droites $Ax$ et $By$.

Soit D un point de $By$; du point B, on mène la
perpendiculaire à AD, qui coupe AD en I et $Ax$ en C.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, quelle que soit la position du point
D sur $By$, le point I appartient à une circonférence fixe,
dont on précisera le centre, O.
\item Démontrer que les triangles ABD et ABC sont
semblables. En déduire que $AB^2 = AC.BD$.
\item Démontrer la relation
\[AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2.\]
\item Montrer que la tangente en I au cercle O passe par les milieux de AC et de BD.
\end{enumerate}









\end{document}