\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{slashbox} \usepackage[body={15cm,23.5cm}]{geometry} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeatletter %\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% %\ifx#1\@empty0\else#1\fi %\ifx#2\@empty\else,#2\fi} %\makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \lhead{\small BEP Secteur 5 : Métiers des industries de proc\'ed\'es} \lfoot{\small{Métropole--La R\'eunion--Mayotte}} \rfoot{\small{juin 2009}} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BEP Secteur 5 Métropole juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 2 points} \medskip Le biogaz est un gaz combustible produit par la fermentation de matières organiques animales ou végétales en l'absence d'oxygène au sein d'un appareil appelé digesteur. La production de biogaz des pays européens les plus gros producteurs en 2006 est présentée dans le tableau ci-dessous (Source EurObserv'ER 2007). \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Pays &Production en ktep (kilotonne \'equivalent p\'etrole) \\ \hline Allemagne &\nombre{1923} \\ \hline Espagne &334\\ \hline Italie &354\\ \hline Royaume-Uni&\nombre{1696}\\ \hline France &227\\ \hline Autriche &118\\ \hline Pays-Bas &119\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de l'annexe 1 à rendre avec la copie. Arrondir les fréquences à 0,1\:\%. Arrondir la mesure des angles, en degré, à l'unité. \item Compléter le diagramme à secteurs circulaires de l'annexe 1. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 3,5 points} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{Un digesteur est une cuve constituée d'une partie cylindrique surmontée d'un cône.}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,6.5) \psframe(0,1.5)(4,4.6)%DCAB \psline(4,4.6)(2,5.6)(0,4.6)%BEA \psline[linestyle=dashed](2,1.3)(2,6.5) \psline[linestyle=dashed](0,0.4)(0,1.5) \psline[linestyle=dashed](4,0.4)(4,1.5) \psline[arrowsize=3pt 3]{<->}(0,0.6)(4,0.6) \psline[linestyle=dashed](4,1.5)(5.7,1.5) \psline[linestyle=dashed](2,5.6)(5.7,5.6) \psline[arrowsize=3pt 3]{<->}(5.4,1.5)(5.4,5.6) \psarc(4,4.6){0.7}{152}{180} \psarc(0,4.6){0.7}{0}{28} \uput[l](0,4.6){A} \uput[r](4,4.6){B} \uput[dr](4,1.5){C} \uput[dl](0,1.5){D} \uput[ul](2,5.6){E} \uput[dl](2,4.6){H} \rput(2.7,4.8){30\degres} \uput[d](2,0.6){10 m}\uput[r](5.4,3.55){10 m} \rput(5,6){Axe de sym\'etrie}\psline{->}(3.8,6)(2,6) \rput(2,6.4){\textbf{Schéma en coupe du digesteur}} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer, en m$^2$, l'aire $A_{\text{base}}$ de la base du cylindre. Arrondir le résultat au centième de m$^2$. \item Le cône est représenté sur le schéma en coupe du digesteur par le triangle ABE. \begin{enumerate} \item Donner la nature du triangle ABE. Justifier la réponse. \item Calculer, en m, la hauteur EH du triangle. Arrondir le résultat au centième de m. \item La hauteur du cône est égale à 2,89~m. Calculer, en m$^3$, le volume $V_{\text{cône}}$ du cône. Arrondir le résultat au centième de m$^3$. \end{enumerate} \item Le cylindre a une hauteur égale à 7,11~m. Calculer, en m$^3$, le volume du cylindre $V_{\text{cylindre}}$. Arrondir le résultat au centième de m$^3$. \item Calculer, en m$^3$, le volume total $V$ du digesteur. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4,5 points} \medskip On admet que le volume total $V$, en m$^3$, et le rayon $R$, en m, du digesteur sont liés par la relation : $V = 5,07R^3$. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de l'annexe 2 à rendre avec la copie. Arrondir les résultats à 1 m$^3$. \item Placer à l'aide du repère de l'annexe 2 les trois points A, B, C dont les abscisses et les ordonnées sont respectivement les valeurs de $R$ et $V$ du tableau de l'annexe 2. \item La courbe, notée $\mathcal{C}_{f}$, de l'annexe 2 est la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x) = 5,07x^3$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~10]. On admet que si $x$ représente le rayon du digesteur en m, alors $f(x)$ représente le volume du digesteur en m$^3$ et réciproquement. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement l'abscisse du point de $\mathcal{C}_{f}$ qui a pour ordonnée \nombre{1600}. Laisser apparents les traits utiles à la lecture. En déduire le rayon $R_{\nombre{1600}}$ du digesteur qui a pour volume \nombre{1600}~m$^3$. \item Déterminer graphiquement l'ordonnée du point $\mathcal{C}_{f}$ qui a pour abscisse 5. Laisser apparents les traits utiles à la lecture. En déduire le volume $V_{5}$ du digesteur qui a un rayon de 5~m. \end{enumerate} \item Pour dimensionner le système de sécurité du digesteur qui a un rayon de 5~m il est nécessaire de connaître le volume avec une précision de $10^{-3}$ m$^3$. \begin{enumerate} \item La valeur déterminée en 3. b. répond-elle à cette nécessité ? \item Calculer, en m$^3$, le volume $V$ du digesteur sachant que \[V = 2\pi R^3 \left(1 - \dfrac{\tan 30}{3}\right)\] Arrondir le résultat à $10^{-3}$~m$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie} \bigskip \begin{flushleft}Tableau de l'exercice 1 \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Pays& Production en ktep& Fréquence&Mesure de l'angle en degré \\ \hline Allemagne& 1 923& 40,3\:\%& 145\\ \hline Espagne& 334&\dotfill&25\\ \hline Italie& 354& 7,4\:\%& 27\\ \hline Royaume-Uni& 1 696& 35,5\:\%&\dotfill \\ \hline France& 227& 4,8\:\%& 17 \\ \hline Autriche& 118&\dotfill&9 \\ \hline Pays Bas& 119& 2,5\:\%&\dotfill \\ \hline Total& 4 771& 100,0\:\%& 360 \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Diagramme à secteurs circulaires de l'exercice 1} \end{flushleft} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5) \pscircle(0,0){4.5} \SpecialCoor \psline(4.5;0)(0;0)(4.5;145) \psline(0;0)(4.5;170) \multido{\n=0+1}{361}{\psline(4.3;\n)(4.5;\n)} \multido{\n=0+10}{37}{\psline(4.1;\n)(4.5;\n)} \rput(2.25;80){Allemagne}\rput(2.25;157.5){Italie} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie} \bigskip \begin{flushleft} Tableau de l'exercice 3 \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $R$& 0& 1,8 &2,4& 5,6 \\ \hline $V$& 0&\ldots & \ldots & \ldots \\ \hline Point& O& A& B& C \\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} Repère de l'exercice 33 \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=1.8cm,yunit=0.004cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-50)(7.5,2400) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=200](0,0)(7.5,2400) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=200]{->}(0,0)(7.5,2400) \multido{\n=0.0+0.1}{76}{\psline[linecolor=blue,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2400)} \multido{\n=0+40}{61}{\psline[linecolor=blue,linewidth=0.2pt](0,\n)(7.5,\n)} \psplot{0}{7.5}{5.07 x 3 exp mul} \uput[u](7.25,2000){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[u](7.4,0){$x$}\uput[r](0,2430){$f(x)$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}