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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small BEP juin 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{A. P. M. E. P.}  
\lhead{\small BEP Secteur 6 Métiers de la comptabilit\'e}
\lfoot{\small{Outremer}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~BEP  Secteur 5  Outremer  juin 2009~\decofourright}} 

\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1   \hfill 3,5 points}

\medskip

On utilise la méthode suivante pour évaluer la hauteur d'un cocotier. Deux bâtonnets OM et
EF de même longueur sont positionnés en angle droit. L'oeil vise en O le sommet C et la base
A du cocotier et la personne recule ou avance vers le cocotier jusqu'à ce que les 3 points O, E, C et les 3 points O, F, A soient alignés. Le schéma ci-dessous résume cette situation.

\medskip

\begin{pspicture}(12,5.5)
%\psgrid
\rput(10.2,2.6){\includegraphics{images-1.eps}}
\pspolygon(10,0)(10,5.23)(2,2.6)(2,0)
\psline(2,2.6)(10,2.6)
\psline(2,2.6)(10,0)
\psline[linewidth=2pt](2,2.6)(3.2,2.6)
\psline[linewidth=2pt](3.2,2.2)(3.2,3)
\psframe(3.2,2.6)(3,2.8)
\uput[r](0,5){OM = 15 cm}
\uput[r](0,4.5){EF = 15 cm.}
\uput[r](0,4){EM = 14 cm.}
\uput[r](0,3.5){AD = 27 m.}
\uput[r](0,3){OD = 1,8 m.}
\uput[l](2,2.6){O} \uput[dl](2,0){D} \uput[dr](10,0){A}
 \uput[r](10,2.6){B} \uput[r](10,5.23){C} \uput[u](3.2,3){E}
  \uput[d](3.2,2.2){F} \uput[ur](3.2,2.6){M}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la nature (carré, rectangle, losange) du quadrilatère ABOD. Justifier la réponse.
En déduire la longueur de [OB] et la longueur de [AB].
\item On considère le triangle OME.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la nature de ce triangle. Justifier la réponse.
		\item  Calculer $\tan \widehat{\text{O}}$. Arrondir à $10^{-3}$.
 	\end{enumerate}
\item On considère le triangle OBC rectangle en O.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $\tan \widehat{\text{O}}$ en fonction de BC et OB.
		\item En déduire que BC $= 27 \times \tan \widehat{\text{O}}$.
 	\end{enumerate}
\item Calculer la longueur de [BC]. Arrondir à $10^{-1}$.
\item Calculer la hauteur du cocotier.
\item Comparer AC et AD.
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2   \hfill 4 points}

\medskip

Le nombre de noix de coco produites annuellement par un cocotier dépend de l'âge du cocotier.

On admet les conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  un cocotier âgé de 8 ans produit 10 noix,
\item[$\bullet~$]  entre 8 ans et 88 ans la production annuelle augmente de 50\:\% tous les 16~ans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  On note $u_{1}{};{} u_{2}{} ;{} u_{3} {};{} u_{4} {};{} u_{5}$, la production annuelle d'un cocotier âgé respectivement de
8~ans ; 24~ans ; 40~ans ; 56~ans ; 72~ans et 88~ans.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de l'annexe 1  à rendre avec la copie.
		
Ne pas arrondir les nombres.
		\item Donner la nature (arithmétique ou géométrique) de la suite $u_{1},{} u_{2},{} u_{3},{} u_{4},{} u_{5}$.
		
Déterminer la raison. Justifier les réponses.
 	\end{enumerate}
\item Placer, à l'aide du repère de l'annexe 1, les points A, B, C dont les coordonnées sont
respectivement l'âge et la production annuelle correspondante.
\item Les points A, B, C, D, E et F appartiennent à la courbe Cf. Elle représente la fonction f
définie sur [8 ; 88].
	\begin{enumerate}
		\item  La fonction $f$ n'est pas affine. Justifier cette affirmation.
		\item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur [8~;~88].
		\item Déterminer l'abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 62. Laisser apparents les traits utiles à la détermination.
		\item Déterminer l'ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 32. Laisser
apparent les traits utiles à la détermination.
 	\end{enumerate}
\item On admet que $\mathcal{C}_{f}$ est la représentation graphique de la production en fonction de l'âge.
	
Donner la production d'un cocotier âgé de 80 ans.
\end{enumerate}
 
\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3   \hfill 2,5 points}

\medskip

La répartition de l'âge des cocotiers d'une cocoteraie est donnée dans le tableau ci-dessous.

\bigskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabularx}
{\linewidth}{|p{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge des cocotiers& [0~;~20[& [20~;~40[& [40~;~60[& [60~;~80[& [80~;~100[
\\ \hline
Nombre de cocotiers& 40& 90& 70& 30& 10\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre total de cocotiers dans la cocoteraie.
\item  Compléter la troisième ligne du tableau de l'annexe 2  à rendre avec la copie.
\item  Calculer l'âge moyen $\overline{a}$ des cocotiers. On admet que l'âge des cocotiers comptés dans une même classe est égal au centre de la classe. Le candidat peut utiliser les fonctions statistiques de la calculatrice et écrire directement la valeur de $\overline{a}$.
\item  Calculer la production annuelle de la cocoteraie sachant qu'un cocotier produit 22,5
noix de coco.
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}

Tableau de l'exercice 2

\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge du cocotier& 8& 24& 40& 56& 72& 88\\ \hline
Production annuelle& 10& \ldots & \ldots & \ldots & 50,625& 75,9375\\ \hline
Point& A& B& C& D& E& F\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{flushleft}

Repère de l'exercice 2

\end{flushleft}

\psset{xunit=0.125cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(8,0)(88,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=8,Dx=16,Dy=5](8,0)(88,80)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(8,0)(88,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(8,0)(8,80)
\multido{\n=8.0+1.6}{51}{\psline[linecolor=Lavender](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=8+}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+1}{81}{\psline[linecolor=Lavender](8,\n)(88,\n)}
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](8,\n)(88,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.75](56,34)(72,50.625)(88,75.9375)
\uput[r](56,34){D} \uput[r](72,50.625){E} \uput[r](88,75.9375){F}\uput[l](84,68){$\mathcal{C}_{f}$}  
\psplot{8}{88}{1.5  x  8 sub 16 div exp 10 mul}
\end{pspicture}


\newpage

\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}

Tableau de l'exercice 3

\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge des cocotiers& [0 ; 20[& [20 ; 40[& [40 ; 60[& [60 ; 80[& [80 ; 100[\\ \hline
Nombre de cocotiers& 40 &90& 70 &30& 10\\ \hline
Centre de classe& 10&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline 
&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{document}