\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{arydshln}%pour les pointillés dans les tableaux \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{slashbox} \usepackage[body={15cm,23.5cm}]{geometry} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[dvipsnames]{pstricks} \usepackage{pst-plot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeatletter %\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% %\ifx#1\@empty0\else#1\fi %\ifx#2\@empty\else,#2\fi} %\makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small BEP juin 2010} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small BEP Secteur 2} \lfoot{\small{Antilles--Guyane, Polynésie, St Pierre et Miquelon}} \rfoot{\small{juin 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BEP Secteur 2 Antilles--Guyane, Polynésie, St Pierre et Miquelon~\decofourright\\ juin 2010}} \end{center} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 2 points} \textbf{Emplacement d'une cuve de récupération d'eau de pluie} \medskip La figure ci-dessous représente un plan sommaire d'une propriété. Le quadrilatère (RSTU) donne les limites du terrain et la droite $\Delta$ représente la canalisation du collecteur d'eau pluviale. \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Pour enterrer la cuve et effectuer le raccordement au collecteur d'eau pluviale, on cherche à repérer sur le plan un point O.\\ Sur la feuille \textbf{annexe 1} :\\ \begin{enumerate} \item \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Tracer la droite (SU), \item Tracer la médiatrice du segment [RS], \item Repérer le point d'intersection O de la droite (SU) et de cette médiatrice. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Tracer d'une autre couleur le segment représentant le chemin le plus?court pour aller du point O à la droite $\Delta$. Justifier le choix effectué. \end{enumerate} }\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5.5,5) %\psgrid \pspolygon(0.2,1.8)(4,0.6)(4.8,4.1)(1,4.9)%UTSR \uput[l](0.2,1.8){U} \uput[d](4,0.6){T} \uput[ur](4.8,4.1){S} \uput[ul](1,4.9){R} \pspolygon(0.6,2.2)(1.5,1.95)(1.7,2.32)(1.69,2.75)(0.8,3)%maison \psline(0.7,2.6)(1.7,2.32) \psline[linestyle=dashed](4.4,0)(5.4,4.5) \rput{77}(5,2){collecteur}\uput[r](5.3,4){$\Delta$} \rput{344}(1.2,2.3){maison} \end{pspicture}} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 2 points} Détermination du volume d'eau récupérable. \medskip \parbox{0.65\linewidth}{\begin{enumerate} \item La surface de récupération de la pluie est formée de deux trapèzes rectangles identiques correspondant à la projection de la toiture sur un plan horizontal.\\ \begin{center}AD = 14,60~m BC = 13~m AB = 8~m.\end{center} \begin{enumerate} \item Calculer, en m$^2$, l'aire du trapèze ABCD. \item Calculer, en m$^2$, l'aire totale de la surface de récupération. \end{enumerate} \item Recherche du volume $V$ d'eau récupérable sur le toit de la maison en un an. La surface de récupération retenue a une aire $S$ égale à 220~m$^2$. Pluviométrie $P$ est égale à 0,615 m/m$^2$ par an. Le volume $V$, en m$^3$, est donné par la formule : $V = 0,9 \times S \times P$. Calculer, en m$^3$, le volume $V$ d'eau récupérable en un an. Arrondir le résultat à l'unité. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(3.2,0)(3.8,1.5)(3.2,3)(0,3) \psline(3.8,1.5)(0,1.5) \uput[l](0,1.5){A} \uput[l](0,0){B} \uput[dr](3.2,0){C} \uput[r](3.8,1.5){D} \psframe(0,1.5)(0.2,1.3) \end{pspicture}} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 1 points} Choix de la cuve \medskip La capacité de la cuve doit répondre à des contraintes d'utilisation (jardin et lavage) et d'encombrement. Dans le cas étudié, la capacité doit être d'au moins \np{5000}~L et sa hauteur doit être inférieure à 2~m. À partir des informations fournit par un fabricant figurant sur l'\textbf{annexe 1}, indiquer la référence de la cuve adaptée. \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 1 points} Réalisation de la fosse \medskip La cuve doit être enterrée. On creuse une fosse dont la forme est assimilée à un tronc de pyramide. \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,4) \psline(5.7,3.7)(2,3.7)(0,1.8)(1.2,0)(3.4,0)(4.5,1.1)(5.7,3.7)(3.7,1.8)(3.4,0) \psline(3.7,1.8)(0,1.8) \psline[linestyle=dashed](1.2,0)(2.3,1.1)(4.5,1.1) \psline[linestyle=dashed](2.3,1.1)(2,3.7) \uput[dl](1.2,0){A} \uput[dr](3.4,0){E} \uput[r](4.5,1.1){C} \uput[l](2.3,1.1){D} \uput[l](0,1.8){F} \uput[r](3.7,1.8){G} \uput[ur](5.7,3.7){H} \uput[ul](2,3.7){I} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.5\linewidth}{AECD et FGHI sont des carrés. AECD : petite base d'aire $b$ et de côté 3,15~m, FGHI : grande base d'aire $B$ et de côté 6,75~m, Profondeur de la fosse $h = 2,80$~m. Le volume d'un tronc de pyramide est donné par : \begin{center}$V_{f} = \dfrac{h}{3}\left(B + b + \sqrt{B \times b}\right)$.\end{center}} \medskip Calculer, en m$^3$, le volume $V_{f}$ de la fosse. Arrondir le résultat à l'unité. \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 2 points} Remplissage d'une cuve pendant 100~min (ou \np{6000}~s) \medskip Une courbe de remplissage de la cuve d'environ \np{5000}~L, un jour pluvieux, est représentée sur la feuille annexe 2. Cette courbe est composée de quatre parties (OA), [AB], (BC) et [CD]. Sur toute la période considérée, on ne prélève pas d'eau dans cette cuve. Par exemple, au point A de la courbe, on déduit que pour une durée de \np{2000} ~secondes de pluie, le volume d'eau vaut \np{1750}~litres. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les coordonnées du point B de la courbe. \item Indiquer au moyen d'une phrase le volume d'eau obtenu après une durée de \np{3500}~s de pluie. \item Préciser s'il a plu durant la phase représentée par le segment [AB]. \item Alors que la pluie continue de tomber après \np{5000}~s, indiquer pourquoi la portion [CD] de la courbe est un segment parallèle à l'axe des abscisses. \item Placer sur le graphique le point J correspondant à l'indication (en pourcentage) de la jauge 50\:\%.  \end{enumerate} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 2 points} Vidange d'une cuve après le remplissage \medskip Lors de la vidange de la cuve, le volume restant en fonction de la durée $t$ en seconde, est modélisé par la fonction $f$. Pour $t$ appartenant à l'intervalle $[\np{6000}~;~\np{10000}]$ : \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs sur l'annexe 2. \item Sur la feuille annexe 2, placer à l'aide du repère les points du tableau puis tracer le graphique correspondant. \item Déterminer graphiquement le volume d'eau pour une durée de \np{9250}~s. Laisser apparents les traits utiles à la lecture. \item La cuve ne se vide pas complètement, il y reste toujours un volume minimum d'eau de 320~L. Compléter le graphique dans l'intervalle entre \np{10000} et \np{11500}~secondes, sachant qu'il ne pleut pas durant cette période. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{Annexe 1, à rendre avec la copie.} \vspace{1cm} Emplacement de la cuve. \psset{unit=2.75cm} \begin{pspicture}(5.5,5) %\psgrid \pspolygon(0.2,1.8)(4,0.6)(4.8,4.1)(1,4.9)%UTSR \uput[l](0.2,1.8){U} \uput[d](4,0.6){T} \uput[ur](4.8,4.1){S} \uput[ul](1,4.9){R} \pspolygon(0.6,2.2)(1.5,1.95)(1.7,2.32)(1.69,2.75)(0.8,3)%maison \psline(0.7,2.6)(1.7,2.32) \psline[linestyle=dashed](4.4,0)(5.4,4.5) \rput{77}(5,2){collecteur}\uput[r](5.3,4){$\Delta$} %\rput{344}(1.2,2.3){maison} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} Un fabricant fournit les caractéristiques de cuves dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Référence& Capacité en litre& Dimensions en cm& Hauteur en cm& Masse en kg\\ \hline CB 101& \np{2000}& Diam 150& 158& \np{1600}\\ \hline CB 102& \np{3000}& Diam 170& 177& \np{2150}\\ \hline CB 103& \np{5200}& Diam 215& 187& \np{3500}\\ \hline CB 104& \np{7350}& Diam 234& 216& \np{4600}\\ \hline CB 105& \np{10000}& Diam 250& 240& \np{6550}\\ \hline CB 201& \np{15000}& $355 \times 240$& 242&\np{9000}\\ \hline CB 202& \np{20000}& $430 \times 250$& 253&\np{11000}\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{landscape} \begin{center}\textbf{Annexe 2, à rendre avec la copie} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ (valeur de la durée en seconde)&\np{6000}&\np{7000}&\np{8000}&\np{10000}\\ \hline $f(t) = -1,22t + \np{12250}$ (valeur du volume d'eau $V$ en litre)&&\np{3980}&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \psset{unit=0.0015cm} \begin{pspicture}(12000,7500) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=15000,Dy=15000]{->}(0,0)(12050,7500) \psline(6000,0)(6000,6500) \psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(6000,6500)(11000,6500) \psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(0,6500)(6000,6500) \uput[u](3000,6500){Remplissage de la cuve \`a l'eau de pluie} \uput[u](8500,6500){Vidange de la cuve \`a la pompe} \pscurve(0,0)(500,800)(1000,1400)(1500,1650)(2000,1750) \psline(2000,1750)(3500,1750) \pscurve(3500,1750)(4000,2800)(4500,4600)(5000,5200) \psline(5000,5200)(6000,5200) \uput[u](2000,1750){A} \uput[u](3500,1750){B} \uput[u](5000,5200){C} \uput[ul](6000,5200){D} \rput{90}(-150,6200){Volume d'eau $V$ (litres)} \uput[d](11500,0){durée $t$ (secondes)} \uput[d](1000,0){\np{1000}} \uput[d](2000,0){\np{2000}} \uput[d](6000,0){\np{6000}} \uput[d](10000,0){\np{10000}} \uput[l](0,1000){\np{1000}} \uput[l](0,2000){\np{2000}} \uput[l](0,5000){\np{5000}} \multido{\n=0+500}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6000)} \multido{\n=0+500}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12000,\n)} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} \end{document}