\documentclass[12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\ensuremath{\textbf{R}}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=2.5cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\e}{\text{\,e}} \newcommand{\im}{\text{i}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Métropole - corrigé} \lfoot{\small{Groupement B1}} \rfoot{\small{18 mai 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole 18 mai 2026~\decofourright\\[7pt]Groupement B1}} %\footnote{ %Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, %Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation, Environnement nucléaire, %Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), %Traitement des matériaux (2 options), %Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures}} %\medskip % %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{minipage}{0.53\linewidth} Le mouvement vertical d'une plateforme mobile est modélisé par une fonction $f$. $f(t)$ désigne la distance, en centimètres, entre la plateforme mobile et la poutre fixe. $t$ désigne le temps, en secondes, écoulé depuis le début de l'expérience. On admet que la fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.43\linewidth} \scalebox{0.9}{ \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7.2,6.8) %\psgrid \psframe*(6.5,0.3) \psframe*(2,0.3)(2.3,5.8) \psframe(1.5,5.8)(6,6.4) \rput(3.75,6.1){Poutre fixe} \psframe(2.4,2.7)(6,3.2) \rput(4.2,2.95){\small Plateforme mobile} \psline[linewidth=2.5pt](4,5.8)(4,4.7) \def\res{\psline(0.5,0)(-0.5,0)(0.5,0.2)} \multido{\n=3.2+0.2}{8}{\rput(4,\n){\res}} \psline[linewidth=2pt]{->}(4.8,5.8)(4.8,3.2) \uput[r](4.8,4.5){$f(t)$} \end{pspicture} } \end{minipage} \medskip \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle} \medskip On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E) :\quad y'' + 6y'+ 9y = 18$, où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$ , définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde. On considère l'équation différentielle homogène associée $(E_0) :\quad y''+ 6y' + 9y = 0$. \begin{enumerate} \item On résout dans \R{} l'équation $r^2 + 6r + 9 = 0$. $r^2 + 6r + 9 = 0 \iff (r+3)^2=0 \iff r+3=0 \iff r=-3$ \item %En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$. % %On fournit les formules suivantes : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} %\multicolumn{1}{c|}{~}&Équation caractéristique&Équation caractéristique\\ %\multicolumn{1}{c|}{~}&$ar^2 + br + c = 0$ & $ay'' + by' + c= 0$\\ \hline %$\Delta > 0$ &Deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$&$y(t) = C_1\e^{r_1 t} + C_2\e^{r_2 t}$\\ \hline %$\Delta = 0$ &Une solution réelle $r_0$ & $y(t) = (C_1 + C_2t)\e^{r_0 t}$\\ \hline %$\Delta < 0$ &\small Deux solutions complexes conjuguées $r_1 = \alpha + \im \beta$ et $r_2 = \alpha - \im \beta$ &$y(t) = \left[C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin(\beta t)\right]\e^{\alpha t}$ \\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} L'équation caractéristique admet une seule solution réelle $r_0=-3$, donc les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$ sont de la forme $y(t)=\left (C_1+C_2t\right )\e^{r_0t}$, c'est-à-dire \\ $y(t)=\left (C_1+C_2t\right )\e^{-3t}$. \item Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = 2$ $g''(t)+6g'(t)+9g(t)=0+0+9\times 2=18$ donc la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions $f$ définies par $f(t)=2+ \left (C_1+C_2t\right )\e^{-3t}$. \item On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions initiales $f(0) = 20$ et $f'(0)= - 10$. %Montrer que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par \begin{list}{\textbullet}{} \item $f(0)=20 \iff 2+ \left (C_1+C_2\times 0\right )\e^{0} =20 \iff 2+C_1=20 \iff C_1=18$ Donc $f(t)=2+ \left (18+C_2t\right )\e^{-3t}$. \item $f(t)=2+ \left (18+C_2t\right )\e^{-3t}$ donc\\ $f'(t)=0+ \left (0+C_2\right )\e^{-3t} + \left (18+C_2t\right )\times (-3)\e^{-3t} =\left (C_2-54-3C_2t\right )\e^{-3t}$ \item $f'(0)=-10 \iff \left (C_2-54-3C_2\times 0\right )\e^{0}=-10 \iff C_2-54=-10 \iff C_2=44$ \end{list} Donc $f(t) = 2 + (18 + 44t)\e^{-3t}$. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B - Étude d'une fonction} %\medskip % %On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par $f(t) = 2 + (18 + 44t)\e^{-t}$ % %On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. %\medskip \begin{enumerate} \item La distance entre la plateforme mobile et la poutre fixe 1 seconde après le début de l'expérience est, en centimètres, égale à: %. On arrondira au millimètre. $f(1)=2+\left (18+44\times 1\right )\e^{-3\times 1}= 2+62\e^{-3}\approx 5,1$. \item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 2$. %La courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle une asymptote ? Si oui, donner son équation. On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=2$ comme asymptote horizontale en $+\infty$. \item On admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $f'(t) = (- 10 - 132t)\e^{-3t}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $-132t\leqslant 0$ donc $-10-132t<0$. \item Pour tout réel $t$, on sait que $\e^{-3t}>0$. \end{list} Donc pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a $f'(t)<0$, donc la fonction $f$ est strictement décroissante, ce qui veut dire que la plateforme mobile va se diriger vers la poutre fixe et pas vers le sol. %Expliquer pourquoi on peut en déduire que la plateforme mobile se dirige vers la poutre et non pas vers le sol. \item %Réaliser un schéma donnant sommairement l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ et sur lequel les résultats obtenus aux questions 2 et 3 apparaîtront. Schéma \begin{center} \psset{xunit=2cm, yunit=0.5cm, arrowsize=3pt 3, linewidth=1.2pt} \def\xmin{-0.4} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-0.99} \def\ymax{21.9} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](0,0)(6,22) \psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psplot[linecolor=blue, plotpoints=3000]{0}{\xmax}{2 18 44 x mul add 2.7183 -3 x mul exp mul add} \rput(0.7,10.4){\blue $\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed, linecolor=blue](0,2)(\xmax,2) \uput[d](0.5,2){\blue $y=2$} \psdots[linecolor=red](0,20) \uput[r](0,20){\red $(0\;;\;20)$} \psline[linestyle=dashed, linecolor=red ](1,0)(1,5.09)(0,5.09) \uput*[l](0,5.09){\red $5,1$} \uput*[d](1,0){\red $1$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 10 points} \medskip Une collectivité équipe un immeuble avec des chauffe-eau. %\begin{center} %\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante} %\end{center} \medskip \textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On dispose des informations suivantes:} \item 70\,\% des chauffe-eau sont de la marque A. Parmi eux, 10\,\% sont défectueux. \item 30\,\% des chauffe-eau sont de la marque B. Parmi eux, 15\,\% sont défectueux. \end{list} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On choisit un chauffe-eau au hasard et on note les évènements: } \item $A$ : \og le chauffe-eau est de la marque A \fg. \item $D$ :\og le chauffe-eau est défectueux \fg. \end{list} \medskip \begin{enumerate} \item On réalise un arbre pondéré décrivant la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}} { \TR{$D$}\naput{$0,1$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,1=0,9$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,3$}} { \TR{$D$}\naput{$0,15$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,15=0,85$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que le chauffe-eau soit de la marque A et soit défectueux est: $P\left (A\cap D\right )= P\left (A\right )\times P_{A}\left (D\right )= 0,7\times 0,1=0,07$. \item %Montrer que la probabilité P(D) est égale à 0,115. D'après la formule des probabilités totales: $P\left (D\right ) = P\left (A\cap D\right ) + P\left (\overline{A}\cap D\right ) = 0,07+0,3\times 0,15 = 0,07+0,045=0,115$. \item On sait que le chauffe-eau est défectueux. Le réparateur déclare : \og Le plus probable est qu'il s'agisse d'un chauffe-eau de la marque B car ils sont moins fiables. \fg %Que penser de cette déclaration ? Justifier. Il s'agit donc de comparer $P_{D}\left (A\right )$ et $P_{D}\left (\overline{A}\right )$. $P_{D}\left (A\right )=\dfrac{P\left (A\cap D\right )}{P\left (D\right )} = \dfrac{0,07}{0,115}$ et $P_{D}\left (\overline{A}\right )=\dfrac{P\left (\overline{A}\cap D\right )}{P\left (D\right )} = \dfrac{0,045}{0,115}$ $0,07>0,045$ donc $P_{D}\left (A\right ) > P_{D}\left (\overline{A}\right )$ donc il est plus probable que le chauffe-eau défectueux soit de la marque A. Le réparateur a tort. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Loi binomiale} \medskip On s'intéresse à la température de l'eau d'un chauffe-eau. Chaque minute la température est contrôlée. Si la température n'est pas conforme, une alerte est déclenchée. La probabilité pour que, durant un intervalle d'une minute, une alerte soit déclenchée est égale à $0,013$. Cette probabilité est identique quelle que soit l'intervalle d'une minute considéré. On observe le chauffe-eau sur une journée, soit 24 heures, et on note $X$ le nombre d'alertes déclenchées durant ces 24 heures. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. %Justifier que ses paramètres sont: $n = \np{1440}$ et $p = 0,013$. \begin{list}{\textbullet}{} \item La probabilité pour que, durant un intervalle d'une minute, une alerte soit déclenchée est égale à $0,013$ donc $p=0,013$. \item On observe le chauffe-eau sur une journée, soit 24 heures. Il y a 60 minutes dans une heure et $24 \times 60=\np{1440}$. Il y a donc \np{1440} observations donc $n=\np{1440}$. \end{list} La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres: $n = \np{1440}$ et $p = 0,013$. \item %Déterminer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. $E(X)=np= \np{1440} \times 0,013 = 18,72$. Cela veut dire que sur une journée il y aura en moyenne environ 19 alertes. \item La probabilité, arrondie au millième, qu'il y ait exactement $20$ alertes déclenchées durant la journée est: $P\left (X=20\right ) = \ds\binom{\np{1440}}{20} \times 0,013^{20} \times \left (1-0,013\right )^{\np{1440}-20} \approx 0,086$ \item On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda =18,72$. \begin{enumerate} \item %Expliquer la valeur choisie pour le paramètre $\lambda$. On sait qu'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ peut être approchée, sous certaines conditions, par une loi de Poisson de paramètre $n\times p$. Ici $n\times p=18,72$ donc c'est cohérent d'approcher la loi binomiale $X$ par la loi de Poisson $Y$ de paramètre $\lambda =18.72$. \item À la calculatrice, on trouve: $P \left (Y < 15\right ) = P\left (Y\leqslant 14\right ) \approx 0,165$, valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Test d'hypothèse} \medskip Afin de pouvoir être aisément installé, un chauffe-eau ne doit pas être trop lourd. Le constructeur assure que la masse moyenne des chauffe-eau est égale à 55 kg. \smallskip Un technicien a l'intuition que la masse moyenne est en réalité supérieure à 55 kg. Il souhaite donc mettre en place un test unilatéral à partir d'un échantillon aléatoire de $36$ chauffe-eau. \smallskip On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque chauffe-eau choisi au hasard dans la production, associe sa masse exprimée en kilogramme. La variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma = 2,4$ kg. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 36 chauffe-eau prélevé dans la production, associe la moyenne des masses des chauffe-eau de cet échantillon. La production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. L'hypothèse nulle est $H_0 : \mu = 55$. L'hypothèse alternative est $H_1 : \mu > 55$. Sous l'hypothèse nulle $H_0$ , on admet que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit une loi normale de moyenne $55$ et d'écart-type $\dfrac{2,4}{\sqrt{36}}$ \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer le réel $h$ tel que, sous l'hypothèse nulle, on a $P(Z < 55 + h) = 0,95$. Certaines calculatrice donnent directement la valeur du réel $a$ tel que $P\left (\overline{Z}