% !TeX TXS-program:compile = txs:///arara % ===================================================================== % BTS Groupement B3 — Session 2026 — Épreuve de mathématiques % Sujet 26MATGRB3 — 6 pages — Durée 2 heures — Spécialité Électrotechnique % ===================================================================== % % Ce fichier contient le sujet. Un scaffolding \ifcorrige / \debsol / % \finsol est laissé dormant pour permettre l'ajout futur d'un corrigé % sans modifier le préambule. % \corrigefalse -> version sujet (énoncé seul) % \corrigetrue -> version corrigé (énoncé + corrections en fond gris) \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows.meta,positioning,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \setlist[itemize]{label=\textbullet} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\headheight}{23pt} \addtolength{\topmargin}{-11pt} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {BTS Groupement B3 Session 2026 Epreuve de mathematiques}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{array} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} % ----- Tolérance césure (évite les overfull mineurs) \emergencystretch=3em % ===================================================================== % Booléen de bascule sujet / corrigé % ===================================================================== \usepackage{xcolor} \usepackage{colortbl} \usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed} \definecolor{grisclair}{gray}{0.92} \definecolor{grisfonce}{gray}{0.75} \newif\ifcorrige \corrigefalse % <-- mettre \corrigetrue pour générer le corrigé \ifcorrige \newenvironment{fondcouleur}{% \par\noindent \begin{mdframed}[ backgroundcolor=grisclair, linecolor=gray!60, linewidth=0.4pt, roundcorner=2pt, innerleftmargin=8pt, innerrightmargin=8pt, innertopmargin=6pt, innerbottommargin=6pt, skipabove=4pt, skipbelow=4pt ]% }{% \end{mdframed}\par } \newcommand{\debsol}{\begin{fondcouleur}} \newcommand{\finsol}{\end{fondcouleur}} \else \let\debsol\iffalse \let\finsol\fi \fi \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B3} \lfoot{\small Électrotechnique\\Épreuve de mathématiques} \rfoot{\small Session 2026} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement B3 -- Session 2026~\decofourright\\[7pt] Électrotechnique}}\\ [7pt] \textbf{Épreuve de mathématiques}\ifcorrige\\[4pt]\textbf{-- Corrigé --}\fi \medskip \textbf{Durée : 2 heures \hspace{1cm} Coefficient : 2} \medskip \textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.} \textbf{L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.} \end{center} \bigskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{minipage}[t]{0.58\linewidth} \vspace{0pt} Le mouvement vertical d'une plateforme mobile est modélisé par une fonction $f$. \medskip $f(t)$ désigne la distance, en centimètres, entre la plateforme mobile et la poutre fixe. \medskip $t$ désigne le temps, en secondes, écoulé depuis le début de l'expérience. \medskip On admet que la fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[t]{0.38\linewidth} \vspace{0pt} \centering %Version Tikz \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=Latex] % Sol : ligne horizontale tres epaisse \draw[line width=1.6pt] (-2.1,-0.2) -- (2.6,-0.2); % Poteau vertical epais a gauche (du sol jusque sous la poutre) \draw[line width=1.6pt] (-1.4,-0.2) -- (-1.4,3); % Poutre fixe (rectangle) -- trait epais \draw[line width=1.0pt] (-1.4,3) rectangle (1.6,3.4); \node at (0.1,3.2) {\small Poutre fixe}; % Petit pilier vertical sous la poutre, point d'accroche du ressort \draw[line width=1.6pt] (-0.4,3) -- (-0.4,2.4); % Ressort zigzag \draw[thick,decorate,decoration={zigzag,segment length=5pt,amplitude=5pt}] (-0.4,2.4) -- (-0.4,1.2); % Plateforme mobile (rectangle), suspendue, sans pieds -- trait epais \draw[line width=1.0pt] (-1.3,0.8) rectangle (1.3,1.2); \node at (0,1) {\small Plateforme mobile}; % Fleche f(t) -- trait epais \draw[->,line width=1.2pt] (0.7,3) -- (0.7,1.2); \node[right] at (0.7,2.1) {$\boldsymbol{f(t)}$}; % Etiquette Sol avec fleche externe vers la ligne du sol \node[right] at (1.9,0.2) {\small Sol}; \draw[->] (2.05,0.05) -- (1.6,-0.15); \end{tikzpicture} %fin version Tikz %Version PStricks %\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture}(7.2,6.8) %\psgrid %\psframe*(6.5,0.3) %\psframe*(2,0.3)(2.3,5.8) %\psframe(1.5,5.8)(6,6.4) %\rput(3.75,6.1){Poutre fixe} %\psframe(2.4,2.7)(6,3.2) %\rput(4.2,2.95){\small Plateforme mobile} %\psline[linewidth=2.5pt](4,5.8)(4,4.7) %\def\res{\psline(0.5,0)(-0.5,0)(0.5,0.2)} %\multido{\n=3.2+0.2}{8}{\rput(4,\n){\res}} %\psline[linewidth=2pt]{->}(4.8,5.8)(4.8,3.2) %\uput[r](4.8,4.5){$f(t)$} %\end{pspicture} %fin version PStricks \end{minipage} \bigskip \textbf{Partie A -- Résolution d'une équation différentielle} \medskip On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle \[(E)\ : \enskip \ y'' + 6y' + 9y = 18\,,\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip On considère l'équation différentielle homogène associée \[(E_0)\ :\ y'' + 6y' + 9y = 0\,.\] \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 + 6r + 9 = 0$. \debsol Le discriminant vaut $\Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$. L'équation admet donc une unique solution réelle (racine double) : \[ r_0 = \dfrac{-6}{2} = -3\,. \] \finsol \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$. \debsol L'équation caractéristique $r^2 + 6r + 9 = 0$ admet une unique solution réelle $r_0 = -3$ ($\Delta = 0$). D'après le tableau fourni, les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$ sont les fonctions : \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)\e^{-3t}\,,\ \text{où } C_1\ \text{et}\ C_2 \text{ sont des réels.} \] \finsol \end{enumerate} \medskip On fournit les formules suivantes : \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.15} \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|>{\centering\arraybackslash}m{6.7cm}|>{\centering\arraybackslash}m{5.4cm}|} \hline & Équation caractéristique & Équation différentielle \\ & $ar^2 + br + c = 0$ & $ay'' + by' + c = 0$ \\ \hline $\Delta > 0$ & Deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ & $y(t) = C_1 \e^{r_1 t} + C_2 \e^{r_2 t}$ \\ \hline $\Delta = 0$ & Une solution réelle $r_0$ & $y(t) = (C_1 + C_2 t)\e^{r_0 t}$ \\ \hline $\Delta < 0$ & Deux solutions complexes conjuguées $r_1 = \alpha + \i\beta$\ \ et\ \ $r_2 = \alpha - \i\beta$ & $y(t) = [C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)]\e^{\alpha t}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \ifcorrige\else\newpage\fi \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Vérifier que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $g(t) = 2$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \debsol La fonction constante $g(t) = 2$ est deux fois dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$ et l'on a $g'(t) = 0$ et $g''(t) = 0$. Donc : \[g''(t) + 6g'(t) + 9g(t) = 0 + 0 + 9 \times 2 = 18\,.\] La fonction $g$ est bien solution de l'équation différentielle $(E)$. \finsol \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \debsol Les solutions de $(E)$ s'obtiennent en ajoutant aux solutions de l'équation homogène $(E_0)$ une solution particulière de $(E)$. La fonction $g(t) = 2$ étant une solution particulière de $(E)$, les solutions de $(E)$ sont les fonctions : \[f(t) = (C_1 + C_2 t)\e^{-3t} + 2\,,\ C_1, C_2 \in \R\,.\] \finsol \item On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions initiales $f(0) = 20$ et $f'(0) = -10$. Montrer que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, par \[f(t) = 2 + (18 + 44t)\e^{-3t}\,.\] \debsol D'après la question précédente, il existe deux réels $C_1$ et $C_2$ tels que, pour tout $t \in [0\,;\,+\infty[$ : \[f(t) = (C_1 + C_2 t)\e^{-3t} + 2\,.\] La condition $f(0) = 20$ donne : \[f(0) = (C_1 + 0)\e^{0} + 2 = C_1 + 2 = 20 \quad\Longleftrightarrow\quad C_1 = 18\,.\] La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et, en posant $u(t) = C_1 + C_2 t$ et $v(t) = \e^{-3t}$, on obtient $u'(t) = C_2$ et $v'(t) = -3\e^{-3t}$, d'où : \[f'(t) = C_2\e^{-3t} + (C_1 + C_2 t)\times(-3)\e^{-3t} = \e^{-3t}\bigl[C_2 - 3C_1 - 3C_2 t\bigr]\,.\] La condition $f'(0) = -10$ donne : \[f'(0) = C_2 - 3C_1 = -10\,.\] Avec $C_1 = 18$ : $C_2 - 54 = -10$, soit $C_2 = 44$. Donc, pour tout $t \in [0\,;\,+\infty[$ : \[f(t) = (18 + 44t)\e^{-3t} + 2 = 2 + (18 + 44t)\e^{-3t}\,.\] \finsol \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Étude d'une fonction} \medskip On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, par \[f(t) = 2 + (18 + 44t)\e^{-3t}\,.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la distance entre la plateforme mobile et la poutre fixe $1$ seconde après le début de l'expérience. On arrondira au millimètre. \debsol On calcule $f(1) = 2 + (18 + 44 \times 1)\e^{-3 \times 1} = 2 + 62\e^{-3}$. À la calculatrice, $f(1) \approx 5{,}087$. La distance est exprimée en centimètres ; arrondie au millimètre, elle vaut donc environ $5{,}1$ cm, soit $51$ mm. \finsol \item On admet que $\ds\lim_{t \to +\infty} f(t) = 2$. La courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle une asymptote ? Si oui, donner son équation. \debsol Comme $\ds\lim_{t \to +\infty} f(t) = 2$, la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y = 2$ pour asymptote horizontale en $+\infty$. \finsol \item On admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, on a \[f'(t) = (-10 - 132t)\e^{-3t}\,.\] Expliquer pourquoi on peut en déduire que la plateforme mobile se dirige vers la poutre et non pas vers le sol. \debsol Pour tout $t \in [0\,;\,+\infty[$, on a : \begin{itemize} \item $-10 - 132 t \leq -10 < 0$ ; \item $\e^{-3t} > 0$. \end{itemize} Donc $f'(t) < 0$ pour tout $t \geq 0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Comme $f(t)$ représente la distance entre la plateforme mobile et la poutre fixe, cette distance diminue au cours du temps. La plateforme mobile se rapproche donc de la poutre fixe et ne se dirige pas vers le sol. \finsol \item Réaliser un schéma donnant sommairement l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ et sur lesquels les résultats obtenus aux questions \textbf{2} et \textbf{3} apparaîtront. \debsol $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$, avec $f(0) = 20$ et la droite d'équation $y = 2$ pour asymptote horizontale en $+\infty$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=1.2cm,y=0.25cm,>=Latex] % Axes \draw[->] (-0.3,0) -- (6,0) node[right] {$t$}; \draw[->] (0,-1) -- (0,24) node[above] {$f(t)$}; % Graduations Y \foreach \y in {2,5,10,15,20} {% \draw (-0.1,\y) -- (0.1,\y); \node[left] at (-0.1,\y) {\footnotesize $\y$}; } \foreach \x in {1,2,3,4,5} {% \draw (\x,-0.3) -- (\x,0.3); \node[below] at (\x,-0.3) {\footnotesize $\x$}; } % Asymptote y = 2 \draw[dashed,blue] (0,2) -- (5.8,2) node[right,black] {\footnotesize $y = 2$}; % Courbe approximative de f \draw[thick,red,domain=0:5.5,samples=120,smooth] plot (\x, {2 + (18 + 44*\x)*exp(-3*\x)}); % Étiquette de la courbe \node[above right,red] at (0.5,16) {$\mathcal{C}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \finsol \end{enumerate} \ifcorrige\else\newpage\fi \textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.} \end{center} \medskip On considère une fonction $E$. On dispose des informations suivantes : \begin{itemize} \item[--] la fonction $E$ est paire ; \item[--] la fonction $E$ est périodique de période $T = 0{,}020$ ; \item[--] on a $E(t) = \begin{cases} 4 & \text{si } 0 \leqslant t < 0{,}005\ ; \\ 0 & \text{si } 0{,}005 \leqslant t < 0{,}010\,.\end{cases}$ \end{itemize} \begin{enumerate} \item Justifier que $E(-0{,}002) = 4$. Justifier que $E(0{,}006 + 10 \times 0{,}020) = 0$. \debsol $\bullet$\ La fonction $E$ est paire, donc $E(-0{,}002) = E(0{,}002)$. Comme $0 \leqslant 0{,}002 < 0{,}005$, on a $E(0{,}002) = 4$. Conclusion : $E(-0{,}002) = 4$. $\bullet$\ La fonction $E$ est périodique de période $T = 0{,}020$, donc, pour tout réel $t$, $E(t + 10\, T) = E(t)$. On a ainsi : \[E(0{,}006 + 10 \times 0{,}020) = E(0{,}006)\,.\] Comme $0{,}005 \leq 0{,}006 < 0{,}010$, on en déduit $E(0{,}006) = 0$. Conclusion : $E(0{,}006 + 10 \times 0{,}020) = 0$. \finsol \item Représenter, sur la copie, un schéma donnant l'allure de la courbe de la fonction $E$ sur un intervalle dont la longueur est au moins égale à trois périodes. \debsol En combinant la parité (axe des ordonnées comme axe de symétrie) et la périodicité de $E$, on obtient l'allure suivante sur l'intervalle $[-0{,}030\,;\,0{,}030]$ (trois périodes) ; sur l'axe des abscisses, l'unité représente $0{,}005$ seconde. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.18cm,y=0.5cm,>=Latex] % Axes : on travaille avec t' = 1000 t (en ms) \draw[->] (-34,0) -- (34,0) node[right] {$t$}; \draw[->] (0,-0.6) -- (0,5.2) node[above] {$E(t)$}; % Graduations Y \foreach \y in {2,4} {% \draw (-0.9,\y) -- (0.9,\y); \node[left] at (-0.9,\y) {\footnotesize $\y$}; } % Graduations X (valeurs réelles affichées sous forme 0,0xx) \foreach \x/\xt in {-30/-0{,}030,-20/-0{,}020,-10/-0{,}010,10/0{,}010,20/0{,}020,30/0{,}030} {% \draw (\x,-0.15) -- (\x,0.15); \node[below=1pt] at (\x,-0.15) {\tiny $\xt$}; } % Signal carré : valeur 4 sur [-25;-15], [-5;5], [15;25] (en ms) % valeur 0 ailleurs entre -30 et 30 \draw[thick,blue] (-30,0) -- (-25,0) -- (-25,4) -- (-15,4) -- (-15,0) -- (-5,0) -- (-5,4) -- (5,4) -- (5,0) -- (15,0) -- (15,4) -- (25,4) -- (25,0) -- (30,0); \end{tikzpicture} \end{center} \finsol \item On note $\omega$ la pulsation de la fonction $E$. Montrer que $\omega = 100\pi$. \debsol La pulsation d'une fonction périodique de période $T$ est $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$. Avec $T = 0{,}020$ : \[\omega = \dfrac{2\pi}{0{,}020} = \dfrac{2\pi}{0{,}02} = 100\pi\,.\] \finsol \item Déterminer la moyenne $a_0$ de la fonction $E$. \debsol Par définition, $a_0 = \ds\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} E(t)\d t$. On découpe l'intégrale sur les morceaux où $E$ est constante, sur une période $[0~;~T] = [0~;~,0{,}020]$. En utilisant la parité et la périodicité de $E$, on obtient : \begin{itemize} \item sur $[0\,;\,0{,}005]$ : $E(t) = 4$ ; \item sur $[0{,}005\,;\,0{,}010]$ : $E(t) = 0$ ; \item sur $[0{,}010\,;\,0{,}015]$ : $E(t) = E(t - 0{,}020) = E(0{,}020 - t) = 0$ (parité puis valeur sur $[0{,}005\,;\,0{,}010]$) ; \end{itemize} Donc : \[\int_{0}^{0{,}020} E(t)\d t = 4 \times 0{,}005 + 0 + 0 + 4 \times 0{,}005 = 0{,}040\,,\] d'où : \[a_0 = \dfrac{0{,}040}{0{,}020} = 2\,.\] \finsol \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $b_n = 0$. \debsol La fonction $E$ est paire ; donc, pour tout entier $n \geq 1$, la fonction $t \mapsto E(t)\sin(n\omega t)$ est impaire (produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire). Son intégrale sur un intervalle symétrique $[-T/2\,;\,T/2]$ est donc nulle, ce qui donne $b_n = 0$. \finsol \item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a \[a_n = \dfrac{8}{n\pi}\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right).\] \begin{enumerate} \item On considère un entier naturel $n$ non nul. Montrer que, si $n$ est pair, on a $a_n = 0$. \debsol Soit $n$ un entier naturel pair non nul. Il existe alors un entier $k \geq 1$ tel que $n = 2k$. On a : \[\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) = \sin\left(\dfrac{2k\pi}{2}\right) = \sin(k\pi) = 0\,.\] Donc $a_n = \dfrac{8}{n\pi} \times 0 = 0$. \finsol \item Montrer que $a_1 = \dfrac{8}{\pi}$. \debsol On applique la formule avec $n = 1$ : \[ \,. \] \finsol \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs exactes. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}m{1.55cm}|}} \hline $n$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\ \hline $a_n$ & & $\dfrac{8}{\pi}$ & & & & \\ \hline $b_n$ & \cellcolor{grisfonce} & & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \debsol On utilise $a_0 = 2$ (question \textbf{4}) et la formule $a_n = \dfrac{8}{n\pi}\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ pour $n \geq 1$ : \begin{itemize} \item $a_2 = \dfrac{8}{2\pi}\sin(\pi) = 0$, $a_4 = \dfrac{8}{4\pi}\sin(2\pi) = 0$ (questions \textbf{6.a}) ; \item $a_3 = \dfrac{8}{3\pi}\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -\,\dfrac{8}{3\pi}$ ; \item $a_5 = \dfrac{8}{5\pi}\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = \dfrac{8}{5\pi}$. \end{itemize} Et $b_n = 0$ pour tout $n \geq 1$ (question \textbf{5}). \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}m{1.55cm}|}} \hline $n$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\ \hline $a_n$ & $2$ & $\dfrac{8}{\pi}$ & $0$ & $-\dfrac{8}{3\pi}$ & $0$ & $\dfrac{8}{5\pi}$ \\ \hline $b_n$ & \cellcolor{grisfonce} & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \finsol \item Écrire l'expression de la série de Fourier partielle $s_5(t)$. \debsol Par définition $s_5(t) = a_0 + \ds\sum_{k=1}^{5}\bigl(a_k\cos(k\omega t) + b_k\sin(k\omega t)\bigr)$. Comme tous les $b_k$ sont nuls et que $a_2 = a_4 = 0$, il reste : \[ s_5(t) = 2 + \dfrac{8}{\pi}\cos(\omega t) - \dfrac{8}{3\pi}\cos(3\omega t) + \dfrac{8}{5\pi}\cos(5\omega t)\,, \] soit, avec $\omega = 100\pi$ : \[s_5(t) = 2 + \dfrac{8}{\pi}\cos(100\pi t) - \dfrac{8}{3\pi}\cos(300\pi t) + \dfrac{8}{5\pi}\cos(500\pi t)\,.\] \finsol \end{enumerate} \ifcorrige\else\newpage\fi \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{8} \item La fonction $E$ correspond à un signal de tension $E(t)$. Le temps $t$ est exprimé en secondes. \begin{enumerate} \item Justifier que la fréquence $f$ du signal $E(t)$ est égale à $50$ Hz. \debsol La fréquence est l'inverse de la période : \[ f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}020} = 50 \text{ Hz}\,. \] \finsol \item Le signal $E(t)$ est traité par un filtre passe-bas qui supprime toutes les harmoniques dont la fréquence est supérieure à $80$ Hz. Ainsi, le signal de sortie $F(t)$ est identique au signal d'entrée $E(t)$, privé des harmoniques dont la fréquence est supérieure à $80$ Hz. Choisir, en justifiant, la représentation graphique correspondant au signal de sortie $F(t)$. \debsol Le rang $n$ d'une harmonique correspond à la fréquence $n \times f = 50n$ Hz. La condition « fréquence $\leq 80$ Hz » donne $50n \leq 80$, soit $n \leq 1{,}6$ : seules la composante continue ($n = 0$) et l'harmonique de rang $1$ sont conservées. Toutes les harmoniques de rang $n \geq 2$ (fréquences $100$ Hz, $150$ Hz, etc.) sont supprimées. Le signal de sortie s'écrit donc : \[F(t) = a_0 + a_1\cos(\omega t) = 2 + \dfrac{8}{\pi}\cos(100\pi t)\,.\] C'est une sinusoïde de période $T = 0{,}020$, de moyenne $2$ et d'amplitude $\dfrac{8}{\pi} \approx 2{,}55$, oscillant entre $2 - \dfrac{8}{\pi} \approx -0{,}55$ et $2 + \dfrac{8}{\pi} \approx 4{,}55$. Les courbes n\textsuperscript{o}\,1 et n\textsuperscript{o}\,2 présentent des ondulations supplémentaires (harmoniques de rangs supérieurs encore présentes), ce qui ne correspond pas. Seule la \textbf{courbe n\textsuperscript{o}\,3} est une cosinusoïde simple, centrée sur $2$, d'amplitude voisine de $2{,}5$ et de période $0{,}020$. \medskip Le signal de sortie $F(t)$ correspond donc à la \textbf{courbe n\textsuperscript{o}\,3}. \finsol \end{enumerate} \end{enumerate} % ===================================================================== % Version TikZ alignee sur le PDF source APMEP (mapping confirme par utilisateur) : % Courbe n^o 1 (bleu) : S_3 = a_0 + a_1 cos + a_3 cos(3w) (2 bosses sommitales) % Courbe n^o 2 (orange) : S_5 = S_3 + a_5 cos(5w) (3 bosses sommitales) % Courbe n^o 3 (noir) : F(t) = 2 + (8/pi) cos(omega t) (bonne reponse) % Caracteristiques de l'original respectees : % - grille de fond gris clair (step = 0,4 unite = sous-divisions 5 par case) % - trait des courbes "ultra thick" % - legendes a gauche, en noir gras % - trace asymetrique : de -0,026 (gauche) a +0,030 (droite) % Largeur 0.95\linewidth : x = 0.24cm * ~63 unites = 15.12 cm % Coordonnees : t' = 1000 t (ms) ; cos(omega t) = cos(18 t' deg). % ===================================================================== \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.24cm,y=0.42cm,>=Latex] \draw[lightgray,very thin,step=0.4] (-26,-1.6) grid (30,6); \draw[gray!60,thin,step=2] (-26,0) grid (30,6); \draw[->] (-27,0) -- (32,0) node[right,font=\tiny] {$t$}; \draw[->] (0,-1.7) -- (0,6.5); \foreach \y in {2,4,6}{\draw (-0.4,\y) -- (0.4,\y); \node[left,font=\tiny] at (-0.4,\y) {$\y$};} \foreach \x/\xt in {-24/-0{,}024,-20/-0{,}020,-16/-0{,}016,-12/-0{,}012,-8/-0{,}008,-4/-0{,}004,4/0{,}004,8/0{,}008,12/0{,}012,16/0{,}016,20/0{,}020,24/0{,}024}{% \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1); \node[below,font=\tiny] at (\x,-0.1) {$\xt$}; } \draw[ultra thick,blue,domain=-26:30,samples=500,smooth] plot (\x,{2 + 2.546*cos(18*\x) - 0.849*cos(54*\x)}); \node[font=\footnotesize,anchor=west] at (-25,5.4) {\textbf{Courbe n\textsuperscript{o}\,1}}; \end{tikzpicture} \smallskip \begin{tikzpicture}[x=0.24cm,y=0.42cm,>=Latex] \draw[lightgray,very thin,step=0.4] (-26,-1.6) grid (30,6); \draw[gray!60,thin,step=2] (-26,0) grid (30,6); \draw[->] (-27,0) -- (32,0) node[right,font=\tiny] {$t$}; \draw[->] (0,-1.7) -- (0,6.5); \foreach \y in {2,4,6}{\draw (-0.4,\y) -- (0.4,\y); \node[left,font=\tiny] at (-0.4,\y) {$\y$};} \foreach \x/\xt in {-24/-0{,}024,-20/-0{,}020,-16/-0{,}016,-12/-0{,}012,-8/-0{,}008,-4/-0{,}004,4/0{,}004,8/0{,}008,12/0{,}012,16/0{,}016,20/0{,}020,24/0{,}024}{% \node[below,font=\tiny] at (\x,-0.1) {$\xt$}; } \draw[ultra thick,orange,domain=-26:30,samples=600,smooth] plot (\x,{2 + 2.546*cos(18*\x) - 0.849*cos(54*\x) + 0.509*cos(90*\x)}); \node[font=\footnotesize,anchor=west] at (-25,5.4) {\textbf{Courbe n\textsuperscript{o}\,2}}; \end{tikzpicture} \smallskip \begin{tikzpicture}[x=0.24cm,y=0.42cm,>=Latex] \draw[lightgray,very thin,step=0.4] (-26,-1.6) grid (30,6); \draw[gray!60,thin,step=2] (-26,0) grid (30,6); \draw[->] (-27,0) -- (32,0) node[right,font=\tiny] {$t$}; \draw[->] (0,-1.7) -- (0,6.5); \foreach \y in {2,4,6}{\draw (-0.4,\y) -- (0.4,\y); \node[left,font=\tiny] at (-0.4,\y) {$\y$};} \foreach \x/\xt in {-24/-0{,}024,-20/-0{,}020,-16/-0{,}016,-12/-0{,}012,-8/-0{,}008,-4/-0{,}004,4/0{,}004,8/0{,}008,12/0{,}012,16/0{,}016,20/0{,}020,24/0{,}024}{% \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1); \node[below,font=\tiny] at (\x,-0.1) {$\xt$}; } \draw[ultra thick,black,domain=-26:30,samples=400,smooth] plot (\x,{2 + 2.546*cos(18*\x)}); \node[font=\footnotesize,anchor=west] at (-25,5.4) {\textbf{Courbe n\textsuperscript{o}\,3}}; \end{tikzpicture} \end{center} \ifcorrige\else\newpage\fi \begin{center} $\star\star\star$ \medskip \emph{\textbf{FORMULAIRE sur les séries de Fourier.}} \end{center} \medskip $f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$. \medskip Développement en série de Fourier de la fonction $f$ : \[s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)\bigr).\] \[s_n(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{n}\bigl(a_k \cos(k\omega t) + b_k \sin(k\omega t)\bigr).\] \medskip \[a_0 = \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\d t\ ;\quad a_n = \dfrac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\cos(n\omega t)\d t,\ n \geqslant 1\ ;\quad b_n = \dfrac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega t)\d t,\ n \geqslant 1.\] \end{document}