\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx,colortbl,xcolor} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage {boxedminipage} \usepackage{tikz} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Hubert Proton \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.6pt}. \addtolength{\topmargin}{-1.6pt}. \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement C1}, pdftitle = {mai 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %\usepackage{tikz} \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage{multicol} %%%% packages ajoutés \usepackage[none]{hyphenat} \usepackage{adjustbox} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots,pgfmath,tkz-tab} \usetikzlibrary{arrows,decorations.pathmorphing,decorations.text,tikzmark,shapes,patterns,calc,3d,backgrounds,spy} \usepackage[french]{babel} \usepackage{pas-tableur, tablvar} %%%%% fin packages ajoutés \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize BTS - corrigé } \lfoot{\footnotesize{Groupement C1}} \rfoot{\footnotesize{ mai 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS -- Groupement C2~\decofourright\\[5pt]18 mai 2026} \end{center} %\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\ %L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.} \section*{Exercice 1 \hfill 10 points} Une entreprise produit de l'aluminium selon le procédé Hall-Héroult. L'aluminium se forme par électrolyse à une température de $960~\degres$ C. Il est ensuite transféré dans un four d'affinage où il refroidit à $750~\degres$ C avant d'être coulé dans des moules parallélépipédiques de dimensions \mbox{10 cm $\times$ 10 cm $\times$ 100 cm} pour fabriquer des lingots d'aluminium. %\vspace{2mm} % %\begin{center} % \begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm} % \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}] % \draw[teal!30,fill=teal!30](-1.5,3)--(0,2)--(6,4)--(4.5,5)--cycle; % \draw[teal!40,fill=teal!40](0,0)--(6,2)--(6,4)--(0,2)--cycle; % \draw[teal!50,fill=teal!50](0,0)--(0,2)--(-1.5,3)--(-1.5,1)--cycle; % \end{tikzpicture} %\end{adjustbox} % %\end{center} % %\vspace{2mm} %%% version pstricks %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture*}(-1.5,0)(6,5.5) %\pspolygon[linecolor=teal!30,fillstyle=solid,fillcolor=teal!30](-1.5,3)(0,2)(6,4)(4.5,5) %\pspolygon[linecolor=teal!40,fillstyle=solid,fillcolor=teal!40](0,0)(6,2)(6,4)(0,2) %\pspolygon[linecolor=teal!50,fillstyle=solid,fillcolor=teal!50](0,0)(0,2)(-1.5,3)(-1.5,1) %\end{pspicture*} %\end{center} Les lingots d'aluminium refroidissent alors dans une pièce ventilée à température ambiante de $25~\degres$ C). Ils peuvent être démoulés quand leur température atteint $250~\degres$ C. On s'intéresse à la température, exprimée en degré Celsius ($\degres C$), de l'aluminium à l'instant $t$, exprimé en minute, à partir du moment où l'aluminium est coulé dans les moules. \subsection*{Partie A} Le graphique ci-dessous représente le nuage de points correspondant aux données de température de l'aluminium exprimées en degré Celsius ($\degres$ C), relevées à différents instants $t$ exprimés en minutes. %%% version pstricks \begin{center} \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture*}(-5,-100)(58,860) %\psgrid[yunit=0.1cm,xunit=20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-0.9,-9)(12,90) \psgrid[yunit=1cm,xunit=2cm,subgriddiv=10, gridlabels=0, subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray](-0.9,-0.9)(6,9) \psaxes[labelFontSize=\footnotesize,arrowsize=3pt 3, labels=none, ticksize=-2pt 2pt, Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(-4.9,-99)(58,860) \multido{\i=0+100}{9}{\uput*[l](0,\i){\small \i}} \multido{\i=0+10}{6}{\uput*[d](\i,0){\small \i}} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt,plotpoints=11,plotstyle=dots]{0}{50}{725 2.7183 -0.05 x mul exp mul 25 add} \uput*[r](3,800){\bf Températures en degrés Celsius} \uput*[r](40,-80){\bf Temps en minutes} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item On désigne par \mbox{$T_\text{obs}(t)$} la température de l'aluminium relevée à l'instant $t$.% Peut-on penser qu'un ajustement affine de \mbox{$T_\text{obs}(t)$} est approprié ? Expliquer. Les points de ce nuage ne sont pas vraiment alignés donc un ajustement affine de cette série n'est pas approprié. \end{enumerate} Pour chaque instant $t$, on pose \mbox{$Z(t)=\ln(T_\text{obs}(t)-25)$}. On obtient le tableau suivant :\par \begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm} \begin{tabular}{|p{45mm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}p{12mm}|}}\hline Temps $t$ (min)& $0$& $5$& $10$& $15$& $20$& $25$& $30$& $40$& $50$\\\hline Température \mbox{$T_\text{obs}(t)$} (~$\degres$ C)& $750$& $590$& $465$& $368$& $292$& $233$& $187$& $123$& $85$\\\hline $Z(t)$& $6,59$& $6,34$& $6,09$& $5,84$&& $5,34$& $5,09$& $4,58$& $4,09$\\\hline \end{tabular} \end{adjustbox} \smallskip \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1} \item La valeur manquante de $Z$ correspondant au temps $t = 20$ est: \\ $Z(20) = \ln\left ( T_{\text{obs}}(20) - 25\right ) = \ln \left (292-25\right ) = \ln\left (267\right ) \approx 5,59$. \item L'équation de la droite d'ajustement de $Z$ en $t$, par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice, avec les coefficients arrondis au millième est:\\ $Z(t)=-0,050t + 6,588$. \item On admet que \mbox{$Z(t)=-\np{0.05}~t+\np{6.59}$}. % Montrer que \mbox{$T_\text{obs}(t)\approx \np{727.8}\,\text{e}^{-\np{0.05}t}+25$} $\aligned Z(t) =-0,05t+ 6,59 & \iff \ln(T_\text{obs}(t)-25) = 0,05t+6,59 \iff T_\text{obs}(t)-25 = \e^{0,05t+6,59}\\ & \iff T_\text{obs}(t) = \e^{6,59}\times\e^{0,05t}+25 \endaligned$ $\e^{6,59} \approx 727,8$ donc $T_\text{obs}(t) = 727,8\,\e^{0,05t}+25$ \item $T_\text{obs}(60) = 727,8\,\e^{0,05\times 60}+25 \approx 61,2$ donc Selon ce modèle la température au bout d'une heure est de 61~\degres. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} On admet que pour tout $t \in \bigl[0~;~+\infty\bigr[$, , $T(t)=725\, \text{e}^{-\np{0.05}t}+25$\\ La courbe représentative de la fonction $T$, dans un repère orthogonal, est tracée ci-dessous. %%% version pstricks \begin{center} \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture*}(-5,-90)(58,840) \psgrid[yunit=0.1cm,xunit=20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray!50](-0.9,-9)(12,90) \psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray](-0.8,-0.9)(12,9) \psaxes[labelFontSize=\footnotesize,arrowsize=3pt 3, labels=none, ticksize=-2pt 2pt, Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(-4.9,-99)(58,840) \multido{\i=0+100}{9}{\uput*[l](0,\i){\small \i}} \multido{\i=0+5}{12}{\uput*[d](\i,0){\small \i}} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{0}{60}{725 2.7183 -0.05 x mul exp mul 25 add} \uput*[r](3,800){\bf Températures en degrés Celsius} \uput*[r](40,-75){\bf Temps en minutes} %%%%%% corrigé \psset{ArrowInside=->,ArrowInsideNo =2, linecolor=blue, linestyle=dashed, linewidth=1.5pt} \psline(10,0)(10,465)(0,465) \uput*[l](0,465){\blue $470$} \psline(0,200)(28.5,200)(28.5,0) \uput*[d](28.5,0){\blue $28$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Avec la précision permise par le graphique : \begin{enumerate} \item Au bout de 10 minutes, la température de l'aluminium est d'environ 470~\degres C. \item La température atteint 200~\degres C au bout de 28 minutes environ. \end{enumerate} \item % Calculer la limite de $T$ quand $t$ tend vers $+\infty$ On sait que $\ds\lim_{t\to +\infty} \text{e}^{-\np{0.05}t}=0$, donc $\ds\lim_{t\to +\infty} T(t)=25$ . \item On admet que la fonction $T$ est dérivable sur \mbox{$\bigl[0~;~+\infty\bigr[$}. %Montrer que pour tout $t$ appartenant à \mbox{$\bigl[0~;~+\infty\bigr[$}, \mbox{$T~'(t)=-\np{36.25}\,\text{e}^{-\np{0.05}t}$}. La dérivée d'une fonction du type \mbox{$\text{e}^{kx}$} est \mbox{$k~\text{e}^{kx}$}, donc la dérivée de $T$ est \mbox{$T'(t)=-\np{0.05}\times725\text{e}^{-\np{0.05}t}=-\np{36.25}\,\text{e}^{-\np{0.05}t}$}. \item L'exponentielle est toujours positive, donc la fonction $T$ est donc strictement décroissante sur \mbox{$\bigl[0;+\infty\bigr[$}. On déduit le tableau des variations de la fonction $T$. \[\begin{tablvar}[intervalwidth=8em,stretch=1.2]{1} \hline t & 0 && +\infty\\ \hline T'(t) & & - & \\ \hline \variations{\mil{T} & \haut{725} && \bas{0}} \hline \end{tablvar}\] \item% En quoi ce résultat est-il cohérent avec le contexte de l'exercice ? Il y a une certain logique à ce que la température du lingot d'aluminium, à l'instar d'un plat de lasagnes, diminue continûment après sa sortie du four, jusqu'à atteindre de façon asymptotique la température ambiante. \item %Par le calcul, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Au bout de 15 minutes, la température est \mbox{$T(15)\approx367$~\degres C}, il est donc trop tôt pour le démouler. \item Le lingot peut être démoulé dès que sa température atteint 250~\degres C. Cette température est atteinte si \mbox{$725\text{e}^{-\np{0.05}t}=225$}, donc si \mbox{$-\np{0.05}t=\ln\bigl(\dfrac{225}{725}\bigr)$}, c'est à dire \mbox{$t\approx\np{23.4}$} : c'est au bout de 24 minutes de refroidissement que les lingots peuvent être démoulés. \end{enumerate} NB : ces deux résultats sont évidemment confortés par la lecture graphique\dots \end{enumerate} \subsection*{Partie C} On s'intéresse à la température moyenne de l'aluminium durant le refroidissement. %\textit{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est :} % %\[\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^b f(t)\,{\rm d}t\] Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants : \begin{center} \fcolorbox{black}{white}{% \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}\vspace{0cm} \mbox{$T(t): = 725 \text{* exp}(-\np{0.05}t)+ 25$}\par \mbox{$\approx T(t): = 725\,\text{e}^{-\np{0.05}t}+25$}\par\vspace{2mm} \hrule\par\vspace{2mm} $T(t)$\par Intégrale : \mbox{$\np{14500}\,\text{e}^{-\frac{1}{20}t}+25t$} \end{minipage} } \end{center} %Calculer la valeur moyenne de la température de l'aluminium durant la première heure de refroidissement. On donnera un arrondi au dixième de degré près. On admet qu'une primitive de $T$ est donc \mbox{$F(t)=-\np{14500}\,\text{e}^{-\np{0.05}t}+25t$}, donc la température moyenne de l'aluminium sur la première heure de refroidissement est \mbox{$\dfrac{1}{60}(F(60)-F(0))\approx \np{96.3}$~\degres C.} \section*{Exercice 2 \hfill 10 points} Un sous-traitant automobile fabrique des supports de tableau de bord à partir de lingots d'aluminium. Pour cela, l'aluminium est fondu et moulé sous pression pour prendre la forme d'un tableau de bord. \subsubsection*{Partie A} Le sous-traitant automobile utilise deux chaînes de production. La première chaîne produit 30\,\% du stock et on sait que, sur cette chaîne, $1,8$\,\% des supports présentent un défaut. Sur la deuxième chaîne, $1,6$\,\% des supports de tableau de bord présentent un défaut. On choisit au hasard un support de tableau de bord dans le stock. \begin{list}{\textbullet}{On note:} \item $C_1$ l'évènement \og{}le support de tableau de bord provient de la première chaîne\fg{} ; \item $C_2$ l'évènement \og{}le support de tableau de bord provient de la deuxième chaîne\fg{} ; \item $D$ l'évènement \og{}le support de tableau de bord présente un défaut\fg{}. \end{list} %Pour tout évènement $\text{A}$, on note $\overline{\text{A}}$ son évènement contraire.\par \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré suivant. %\begin{center} %\newcommand{\larbre}{ % \newcommand{\nivA}{C} % \newcommand{\nivB}{D} % \node(n0)at(0,0){$\Omega$}; % \node(n1_1)at(3,1){$\text{\nivA}_1$}; % \node(n1_2)at(3,-1){$\text{\nivA}_2$}; % \node(n2_1)at(6,1.5){$\text{\nivB}$}; % \node(n2_2)at(6,0.5){$\overline{\text{\nivB}}$}; % \node(n2_3)at(6,-0.5){$\text{\nivB}$}; % \node(n2_4)at(6,-1.5){$\overline{\text{\nivB}}$}; % \draw[blue](n0)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{?}; % \draw[blue](n0)--(n1_2)node[pos=0.6,fill=white]{?}; % \draw[blue](n2_1)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{?}; % \draw[blue](n2_2)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{?}; % \draw[blue](n2_3)--(n1_2)node[pos=0.6,fill=white]{?}; % \draw[blue](n2_4)--(n1_2)node[pos=0.6,fill=white]{?}; %} % %\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm} % \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}] % \larbre % \end{tikzpicture} %\end{adjustbox} %\end{center} %%% version pstricks \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=4cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C_1$}\naput{\blue $0,30$}} { \TR{$D$}\naput{\blue $0,018$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,018=0,982$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C_2$}\nbput{\blue $1-0,30=0,70$}} { \TR{$D$}\naput{\blue $0,016$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,016=0,984$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que le support de tableau de bord choisi provienne de la première chaîne et présente un défaut est, d'après la loi de probabilités conditionnelles : \mbox{$P(C_1\cap\text{D})= P(C_1)\times P_{C_1}(D) = \np{0.0054}$}. \item La probabilité que le support de tableau de bord présente un défaut est $P(D)$.%égale à \np{0.0166}. D'après la loi des probabilités totales : \mbox{$P(D)=P(C_1\cap D)+P(C_2\cap D)$}, donc \mbox{$P(D)=\np{0.0054}+\np{0.7}\times\np{0.016}=\np{0.0166}$} \item On choisit au hasard un support de tableau de bord du stock et on constate qu'il présente un défaut. La probabilité qu'il provienne de la première chaîne de production est: \mbox{$P_D(C_1)$}. Selon la loi de probabilités conditionnelles \mbox{$P_{D}(C_1)= \dfrac{P(D\cap C_1)}{P(D)} = \dfrac{\np{0,0054}}{\np{0,0166}}$},\\ donc la probabilité qu'un tableau de bord défectueux provienne de la chaîne 1 est d'environ $0,325$. %On arrondira le résultat au millième. \end{enumerate} \subsubsection*{Partie B} On admet, dans cette partie, que la probabilité de choisir au hasard dans le stock de l'entreprise un support de tableau de bord défectueux est de \np{0.0166}.\par On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 supports de tableau de bord choisis au hasard dans le stock de l'entreprise, associe le nombre de supports de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à 50 tirages successifs avec remise d'un support de tableau de bord du stock. On choisit au hasard un prélèvement de 50 supports de tableau de bord. \medskip \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Un tableau de bord pris au hasard est soit conforme, avec une probabilité \mbox{$p=\np{0.9834}$}, soit non conforme, avec une probabilité de \mbox{$1-p=\np{0.0166}$}. 50 prélèvements pouvant être assimilés à un tirage avec remise sont effectués, donc la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres 50 et \np{0.9834}. \item %Calculer la probabilité de n'avoir aucun support de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat au millième. La probabilité de n'avoir aucun support de tableau de bord défectueux est égale à \mbox{$P(X=0)=\ds\binom{50}{0}\times 0,0166^{0}\times (1-0,0166)^{50-0} = \np{0.9834}^{50}\approx\np{0.433}.$} \item La probabilité qu'il y ait au moins un support de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement est $P\left (X\geqslant 1\right )$. Il s'agit de l'événement contraire du précédent. Donc la probabilité d'avoir au moins un support défectueux est $P\left (X\geqslant 1\right ) = 1-P\left (X=0\right )$ soit environ \np{0.567}. \end{enumerate} \subsubsection*{Partie C} Ce sous-traitant automobile reçoit de son fournisseur des lingots d'aluminium de forme parallélépipédique de dimensions \mbox{10 cm $\times$ 10 cm $\times$ 100 cm.} \begin{enumerate} \item La masse volumique de l'aluminium est \np[~kg/m^3]{2700}. Le volume d'un lingot est égal \mbox{$\np{0.1}\times\np{0.1}\times1=\np[~m^3]{0.01}$}, donc sa masse doit être de\\ \mbox{$\np{2700}\times\np{0.01}=\np[~kg]{27}$.} \end{enumerate} La personne responsable de la qualité veut contrôler si les lingots d'aluminium reçus ont bien une masse de $27$~kg. Afin de vérifier la conformité d'une livraison, elle construit un test d'hypothèse unilatéral au seuil d'erreur de 5\,\%. On désigne par \mbox{$\overline{M}$} la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 40 lingots d'aluminium prélevés au hasard dans la commande, associe la masse moyenne, en kilogramme, des lingots d'aluminium. On suppose que le nombre de lingots d'aluminium est suffisamment élevé pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On admet que la variable aléatoire \mbox{$\overline{M}$} suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type \mbox{$\sigma=\np{0.2}$}. L'hypothèse nulle \mbox{$H_0$} est donc \og{}\mbox{$m=27$}\fg{}. L'hypothèse alternative \mbox{$\text{H}_1$} est \og{}\mbox{$m<27$}\fg{}. \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1} \item % Expliquer pourquoi la personne responsable de la qualité choisit de faire un test unilatéral et non un test bilatéral. Le sous-traitant n'est pas lésé si les lingots ont une masse supérieure à \np[~kg]{27}, d'où le choix d'un test unilatéral. \item On cherche sous l'hypothèse \mbox{$H_0$}, une valeur arrondie au millième du réel $h$ tel que \mbox{$P\left (\overline{M}\geqslant 27-h\right ) =\np{0.95}$}, c'est-à-dire tel que $P\left (\overline{M}\leqslant 27-h\right ) =1-\np{0.95}=0,05$. À la calculatrice, le nombre $a$ tel que $P\left (\overline{M}\leqslant a\right ) = 0,05$ est environ $26,672$. Donc $27-h\approx 26,672$ donc $h\approx 0,328$. \item La règle de décision du test est: le lot de lingots sera accepté si la masse moyenne de l'échantillon est supérieure ou égale à \np[~kg]{26.672}. \item On prélève un échantillon de 40 lingots et on obtient une masse moyenne de 26,7 kg. %Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme ? On peut conclure que la livraison est conforme, puisque la masse moyenne de l'échantillon est supérieure à \np[~kg]{26.672}. \end{enumerate} \end{document}