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\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Hubert Proton
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement C1},
pdftitle = {mai 2026},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
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%%%% packages ajoutés
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%%%%% fin packages ajoutés

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Groupement C1}}
\rfoot{\footnotesize{ mai 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur -- Groupement C2~\decofourright\\[5pt]18 mai 2026}
\end{center}

\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og   type collège \fg{} est autorisé.}

\section*{Exercice 1 \hfill 10 points}

Une entreprise produit de l'aluminium selon le procédé Hall-Héroult.

L'aluminium se forme par électrolyse à une température de $960~\degres$ C. Il est ensuite transféré dans un four d'affinage où il refroidit à $750~\degres$ C avant d'être coulé dans des moules parallélépipédiques de dimensions \mbox{10 cm $\times$ 10 cm $\times$ 100 cm} pour fabriquer des lingots d'aluminium.

\vspace{2mm}

\begin{center}
	\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
		\draw[teal!30,fill=teal!30](-1.5,3)--(0,2)--(6,4)--(4.5,5)--cycle;
				\draw[teal!40,fill=teal!40](0,0)--(6,2)--(6,4)--(0,2)--cycle;
		\draw[teal!50,fill=teal!50](0,0)--(0,2)--(-1.5,3)--(-1.5,1)--cycle;
	\end{tikzpicture}
\end{adjustbox}

\end{center}

\vspace{2mm}

%%% version pstricks
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-1.5,0)(6,5.5)
%\pspolygon[linecolor=teal!30,fillstyle=solid,fillcolor=teal!30](-1.5,3)(0,2)(6,4)(4.5,5)
%\pspolygon[linecolor=teal!40,fillstyle=solid,fillcolor=teal!40](0,0)(6,2)(6,4)(0,2)
%\pspolygon[linecolor=teal!50,fillstyle=solid,fillcolor=teal!50](0,0)(0,2)(-1.5,3)(-1.5,1)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

Les lingots d'aluminium refroidissent alors dans une pièce ventilée à température ambiante de $25~\degres$ C). Ils peuvent être démoulés quand leur température atteint $250~\degres$ C.

On s'intéresse à la température, exprimée en degré Celsius ($\degres C$), de l'aluminium à l'instant $t$, exprimé en minute, à partir du moment où l'aluminium est coulé dans les moules.

\subsection*{Partie A}
Le graphique ci-dessous représente le nuage de points correspondant aux données de température de l'aluminium exprimées en degré Celsius ($\degres$ C), relevées à différents instants $t$ exprimés en minutes.\par\vspace{2mm}
	%%%%%%%%%%% REPERE RAPIDE
%adapter les valeurs au problème posé
\tikzset{axerep/.style={blue, line width=0.3mm,->, >=triangle 45}}
\newcommand{\carcasserepere}{
	\newcommand{\xmin}{-0.9}
	\newcommand{\xmax}{12.5}
	\newcommand{\ymin}{-0.8}
	\newcommand{\ymax}{8.5}
	\newcommand{\pasx}{2}
	\newcommand{\pasy}{1}
	\pgfmathsetmacro{\debutcptx}{int(\xmin)}
	\pgfmathsetmacro{\nbbouclex}{int((\xmax-\xmin)/\pasx)}%modif pour compter le bon nombre de graduations si le pas est décimal
	\pgfmathsetmacro{\debutcpty}{int(\ymin)}
	\pgfmathsetmacro{\nbboucley}{int((\ymax-\ymin)/\pasy)}
	\pgfkeys{/pgf/number format/showpos=false}
	\pgfkeys{/pgf/number format/int detect}
	\pgfkeys{/pgf/number format/set thousands separator={~}}
	\pgfkeys{/pgf/number format/set decimal separator={,}}
	\pgfkeys{/pgf/number format/.cd,fixed,fixed zerofill=false,precision=1}
	\clip(\xmin,\ymin)rectangle(\xmax,\ymax);

	\draw[blue!40,thick](0,0)grid[xstep=2,ystep=1](12,8);
	\multido{\ind=\debutcptx+2}{\nbbouclex}%changer \ind en \ndec pour nombres décimaux
	{
		%\draw(\i,-0.3)node{$\i$};
		\ifthenelse{\fpeval{\ind=0}=1}{}{
			\pgfmathsetmacro{\xleg}{int(5*\ind)}
			\draw[line width=0.3mm](\ind,0.1)--(\ind,-0.1)node[below,fill=white]{{\scriptsize $\pgfmathprintnumber{\xleg}$}};}
	}
	\multido{\ind=\debutcpty+1}{\nbboucley}
	{
		\pgfmathsetmacro{\legy}{int(100*\ind)}
		\ifthenelse{\fpeval{\ind=0}=1}{}{\draw[line width=0.3mm](0.1,\ind)--(-0.1,\ind)node[left,fill=white]{{\scriptsize $\pgfmathprintnumber{\legy}$}};}
	}
}
% FIN REPERE RAPIDE
\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
		\carcasserepere
		\foreach \x in {0,1,...,10}
		{\pgfmathsetmacro{\y}{7.25*exp(-0.25*\x)+0.25}\draw[red,fill=red](\x,\y)circle(0.06);}
		\draw(0.5,8)node[ right, fill=white]{\textbf{Température en degrés Celsius}};
		\draw(11,-0.7)node[fill=white, left]{\textbf{Temps en minutes}};
	\end{tikzpicture}
\end{adjustbox} 
\par\vspace{2mm}

%%% version pstricks
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.01cm}
%\begin{pspicture*}(-5,-100)(58,860)
%%\psgrid[yunit=0.1cm,xunit=20cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-0.9,-9)(12,90)
%\psgrid[yunit=1cm,xunit=2cm,subgriddiv=10,  gridlabels=0, subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray](-0.9,-0.9)(6,9)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,arrowsize=3pt 3, labels=none, ticksize=-2pt 2pt, Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(-4.9,-99)(58,860)
%\multido{\i=0+100}{9}{\uput*[l](0,\i){\small \i}}
%\multido{\i=0+10}{6}{\uput*[d](\i,0){\small \i}}
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt,plotpoints=11,plotstyle=dots]{0}{50}{725 2.7183 -0.05 x mul exp mul 25 add}
%\uput*[r](3,800){\bf Températures en degrés Celsius}
%\uput*[r](40,-80){\bf Temps en minutes}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
	\item On désigne par \mbox{$T_\text{obs}(t)$} la température de l'aluminium relevée à l'instant $t$. Peut-on penser qu'un ajustement affine de \mbox{$T_\text{obs}(t)$} est approprié ? Expliquer.
\end{enumerate}
Pour chaque instant $t$, on pose \mbox{$Z(t)=\ln(T_\text{obs}(t)-25)$}. On obtient le tableau suivant :\par
\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm}

		\begin{tabular}{|p{45mm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}p{12mm}|}}\hline
Temps $t$ (min)&	$0$&	$5$&	$10$&	$15$&	$20$&	$25$&	$30$&	$40$&	$50$\\\hline	
Température \mbox{$T_\text{obs}(t)$} (~$\degres$ C)&	$750$&	$590$&	$465$&	$368$&	$292$&	$233$&	$187$&	$123$&	$85$\\\hline	
$Z(t)$&	$6,59$&	$6,34$&	$6,09$&	$5,84$&&	$5,34$&	$5,09$&	$4,58$&	$4,09$\\\hline	
\end{tabular}


\end{adjustbox}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
	\item Calculer la valeur manquante de $Z$ correspondant au temps $t = 20$. On arrondira au centième.
	\item Sans justifier, donner une équation de la droite d'ajustement de $Z$ en $t$, par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au millième.
	\item On admet que \mbox{$Z(t)=-\np{0.05}~t+\np{6.59}$}. Montrer que \mbox{$T_\text{obs}(t)\approx \np{727.8}\,\text{e}^{-\np{0.05}t}+25$}
	\item Selon ce modèle, quel serait, au degré Celsius près, la température au bout d'une heure ?
\end{enumerate}


\subsection*{Partie B}
Dans cette partie, on admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle \mbox{$\bigl[0~;~+\infty\bigr[$},
$$T(t)=725\, \text{e}^{-\np{0.05}t}+25$$
La courbe représentative de la fonction $T$, dans un repère orthogonal, est tracée ci-dessous.\par\vspace{2mm}

%%%%%%%%%%% REPERE RAPIDE
%
%%adapter les valeurs au problème posé
%\tikzset{axerep/.style={blue, line width=0.3mm,->, >=triangle 45}}
%\renewcommand{\carcasserepere}{
%	\renewcommand{\xmin}{-0.9}
%	\renewcommand{\xmax}{11.5}
%	\renewcommand{\ymin}{-0.8}
%	\renewcommand{\ymax}{8.5}
%	\renewcommand{\pasx}{1}
%	\renewcommand{\pasy}{1}
%	\pgfmathsetmacro{\debutcptx}{int(\xmin)}
%	\pgfmathsetmacro{\nbbouclex}{int((\xmax-\xmin)/\pasx)}%modif pour compter le bon nombre de graduations si le pas est décimal
%	\pgfmathsetmacro{\debutcpty}{int(\ymin)}
%	\pgfmathsetmacro{\nbboucley}{int((\ymax-\ymin)/\pasy)}
%	\pgfkeys{/pgf/number format/showpos=false}
%	\pgfkeys{/pgf/number format/int detect}
%	\pgfkeys{/pgf/number format/set thousands separator={~}}
%	\pgfkeys{/pgf/number format/set decimal separator={,}}
%	\pgfkeys{/pgf/number format/.cd,fixed,fixed zerofill=false,precision=1}
%	\clip(\xmin,\ymin)rectangle(\xmax,\ymax);
%	\draw[blue!20, very thin](\xmin,\ymin)grid[ystep=0.1](\xmax,\ymax);
%	\draw[blue!40,thick](\xmin,\ymin)grid[xstep=\pasx,ystep=\pasy](\xmax,\ymax);
%	\draw[axerep](\xmin,0)--(\xmax,0);
%	\draw[axerep](0,\ymin)--(0,\ymax);
%	\multido{\ind=\debutcptx+1}{\nbbouclex}%changer \ind en \ndec pour nombres décimaux
%	{
%		%\draw(\i,-0.3)node{$\i$};
%		\ifthenelse{\fpeval{\ind=0}=1}{}{
%			\pgfmathsetmacro{\xleg}{int(5*\ind)}
%			\draw[line width=0.3mm](\ind,0.1)--(\ind,-0.1)node[below,fill=white]{{\scriptsize $\pgfmathprintnumber{\xleg}$}};}
%	}
%	\multido{\ind=\debutcpty+1}{\nbboucley}
%	{
%		\pgfmathsetmacro{\legy}{int(100*\ind)}
%		\ifthenelse{\fpeval{\ind=0}=1}{}{\draw[line width=0.3mm](0.1,\ind)--(-0.1,\ind)node[left,fill=white]{{\scriptsize $\pgfmathprintnumber{\legy}$}};}
%	}
%}
%% FIN REPERE RAPIDE
\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
		\carcasserepere
		\draw[red, line width=0.4mm]plot[domain=0:12,smooth](\x,{7.25*exp(-0.25*\x)+0.25});
		\draw(0.5,8)node[ right, fill=white]{\textbf{Température en degrés Celsius}};
		\draw(11,-0.7)node[fill=white, left]{\textbf{Temps en minutes}};
	\end{tikzpicture}
\end{adjustbox} 
\par\vspace{2mm}

%%% version pstricks
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.01cm}
%\begin{pspicture*}(-5,-100)(58,860)
%\psgrid[yunit=0.1cm,xunit=20cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray!50](-0.9,-9)(12,90)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray](-0.8,-0.9)(12,9)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,arrowsize=3pt 3, labels=none, ticksize=-2pt 2pt, Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(-4.9,-99)(58,860)
%\multido{\i=0+100}{9}{\uput*[l](0,\i){\small \i}}
%\multido{\i=0+5}{12}{\uput*[d](\i,0){\small \i}}
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{0}{55}{725 2.7183 -0.05 x mul exp mul 25 add}
%\uput*[r](3,800){\bf Températures en degrés Celsius}
%\uput*[r](40,-80){\bf Temps en minutes}
%\end{pspicture*}
%\end{center}



\begin{enumerate}
	\item Avec la précision permise par le graphique :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la température de l’aluminium au bout de 10 minutes.
	\item Au bout de combien de temps la température de l’aluminium atteint-elle 

$200~\degres$ C ?
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de $T$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
\item On admet que la fonction $T$ est dérivable sur \mbox{$\bigl[0;+\infty\bigr[$}.\par
Montrer que pour tout $t$ appartenant à \mbox{$\bigl[0~;~+\infty\bigr[$}, \mbox{$T~'(t) = -\np{36.25}\,\text{e}^{-\np{0.05}t}$}.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $T$.
\item En quoi ce résultat est-il cohérent avec le contexte de l'exercice ?
\item Par le calcul, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Pourra-t-on démouler le lingot d'aluminium dans les 15 premières minutes ? Justifier.
		\item Au bout de combien de minutes le lingot d'aluminium peut-il être démoulé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}

On s'intéresse à la température moyenne de l’aluminium durant le refroidissement.\par
\textit{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est :}

\[\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^b f(t){\rm d}t\]

Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir les résultats suivants :
\begin{center}
	\fcolorbox{black}{white}{%
		\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}\vspace{0cm}
		\mbox{$T(t): = 725 \text{* exp}(-\np{0.05}t)+ 25$}\par
		\mbox{$\approx T(t): = 725\,\text{e}^{-\np{0.05}t}+25$}\par\vspace{2mm}
		\hrule\par\vspace{2mm}
		$T(t)$\par
		Intégrale : \mbox{$\np{14500}\,\text{e}^{-\frac{1}{20}t}+25t$}
			
		\end{minipage}
	}\par \vspace{0.2cm}
	
\end{center}
Calculer la valeur moyenne de la température de l'aluminium durant la première heure de refroidissement. On donnera un arrondi au dixième de degré près.

\section*{Exercice 2 \hfill 10 points)}

Un sous-traitant automobile fabrique des supports de tableau de bord à partir de lingots d'aluminium. Pour cela, l'aluminium est fondu et moulé sous pression pour prendre la forme d'un tableau de bord comme représenté ci-dessous.

\vspace{2mm}

\begin{center}
	\begin{adjustbox}{width=0.5\linewidth,max totalheight=255mm}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
		\draw [line width=0.3mm, gray!50, fill=gray!30] (0.,0.)-- (2.3705055072020773,0.3288451124068402)-- (2.6719230125077327,-0.14421291675343487)-- (2.4207417580863533,-1.069397203872203)-- (2.307710193596732,-1.220105956525034)-- (1.1983263199023053,-1.5047780448692705)-- (0.9722631909230635,-1.4922189821482013)-- (0.06801067500609632,-0.5461029238276509)--cycle;
		\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white] (0.7462000619438217,-0.03955406074452446)-- (0.9262132942791438,-0.7135570934419077)-- (2.0942061273385595,-0.5209847983855124)-- (1.8639566441189617,0.13208646311008865)--cycle;
		\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white] (0.6206094347331318,-0.9521792851422234)-- (0.762945478905247,-1.1154471005161237)-- (1.2276307995847995,-1.0149745987475696)-- (1.1732081944601673,-0.8265886579315309)--cycle;
		\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white] (1.2778670504690754,-0.8014705324893924)-- (1.3448487183147768,-0.9814837648247183)-- (1.8262794559557547,-0.8893839715368771)-- (1.8137203932346857,-0.7177434476822641)--cycle;
				\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white] (1.9267519577243064,-0.6800662595190563)-- (1.9728018543682262,-0.8642658460947387)-- (2.4,-0.8)-- (2.4374871750477785,-0.6005255289522844)--cycle;
								\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white] (1.018313087566983,-1.2284786650057469) -- (1.081108401172328,-1.391746480379647) -- (2.198864983347468,-1.1573106429196878) -- (2.123510607021054,-0.998229181786144) -- cycle;
								\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white,rotate around={-63.4349488229209:(0.36733500319157386,-0.2781762524448402)},line width=2.pt] (0.36733500319157386,-0.2781762524448402) ellipse (0.25518733844070873cm and 0.24246539648143706cm);
																\draw [line width=0.5mm, gray!50,fill=white,rotate around={-58.27639704231653:(2.311896547837088,-0.033274529383989324)},line width=2.pt] (2.311896547837088,-0.033274529383989324) ellipse (0.2195839244057734cm and 0.1729118456297178cm);
																
			\end{tikzpicture}
\end{adjustbox} 

\end{center}

\subsubsection*{Partie A}

Le sous-traitant automobile utilise deux chaînes de production.

La première chaîne produit 30\,\% du stock et on sait que, sur cette chaîne, \np{1.8}\% des supports présentent un défaut.

Sur la deuxième chaîne, 1,6\,\% des supports de tableau de bord présentent un défaut.\par
On choisit au hasard un support de tableau de bord dans le stock. On note :

\begin{itemize}
\item \mbox{$\text{C}_1$} l’évènement \og{}le support de tableau de bord provient de la première chaîne\fg{} ;
\item \mbox{$\text{C}_2$} l’évènement \og{}le support de tableau de bord provient de la deuxième chaîne\fg{}  ;
\item D l’évènement \og{}le support de tableau de bord présente un défaut\fg{}.

\end{itemize}

Pour tout évènement $\text{A}$, on note $\overline{\text{A}}$ son évènement contraire.\par

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\vspace{2mm}

%\begin{center}
\newcommand{\larbre}{
	\newcommand{\nivA}{C}
	\newcommand{\nivB}{D}
	\node(n0)at(0,0){$\Omega$};
	\node(n1_1)at(3,1){$\text{\nivA}_1$};
	\node(n1_2)at(3,-1){$\text{\nivA}_2$};
	\node(n2_1)at(6,1.5){$\text{\nivB}$};
	\node(n2_2)at(6,0.5){$\overline{\text{\nivB}}$};
	\node(n2_3)at(6,-0.5){$\text{\nivB}$};
	\node(n2_4)at(6,-1.5){$\overline{\text{\nivB}}$};
	\draw[blue](n0)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{?};
	\draw[blue](n0)--(n1_2)node[pos=0.4,fill=white]{?};
	\draw[blue](n2_1)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{?};
	\draw[blue](n2_2)--(n1_1)node[pos=0.4,fill=white]{?};
	\draw[blue](n2_3)--(n1_2)node[pos=0.6,fill=white]{?};
	\draw[blue](n2_4)--(n1_2)node[pos=0.4,fill=white]{?};
}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
	\larbre
	\end{tikzpicture}
\end{adjustbox} 
\end{center}

%%% arbre en version pstricks
%\begin{center}
%\bigskip
%  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
% {
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{C$_1$}\ncput*{?}}
% 	  { 
% 		  \TR{D}\ncput*{?}
% 		  \TR{$\overline{\text{D}}$}\ncput*{?}	   
% 	  }
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{C$_2$}\ncput*{?}}
% 	  {
% 		  \TR{D}\ncput*{?}
%          \TR{$\overline{\text{D}}$}\ncput*{?} 
%     }
%}
%\bigskip
%\end{center}

\item Déterminer la probabilité que le support de tableau de bord choisi provienne de la première chaîne et présente un défaut.
\item Montrer que la probabilité que le support de tableau de bord présente un défaut est égale à \np{0.0166}.
\item On choisit au hasard un support de tableau de bord du stock et on constate qu'il présente un défaut.\par
Calculer la probabilité qu'il provienne de la première chaîne de production.
On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

On admet, dans cette partie, que la probabilité de choisir au hasard dans le stock de l'entreprise un support de tableau de bord défectueux est de \np{0.0166}.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $50$~supports de tableau de bord choisis au hasard dans le stock de l'entreprise, associe le nombre de supports de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement.

On admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à $50$~tirages successifs avec remise d'un support de tableau de bord du stock.

On choisit au hasard un prélèvement de 50 supports de tableau de bord.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
	\item Calculer la probabilité de n'avoir aucun support de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat au millième.
	\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un support de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C}

Ce sous-traitant automobile reçoit de son fournisseur des lingots d'aluminium de forme parallélépipédique de dimensions  \mbox{10 cm $\times$ 10 cm $\times$ 100 cm.}
\begin{enumerate}
	\item Sachant que la masse volumique de l'aluminium est \np[~kg/m^3]{2700} justifier que la masse d’un lingot devrait être de 27 kg.

\end{enumerate}
La personne responsable de la qualité veut contrôler si les lingots d'aluminium reçus ont bien une masse de $27$~kg.

Afin de vérifier la conformité d’une livraison, elle construit un test d'hypothèse unilatéral au seuil d'erreur de 5\,\%.
On désigne par \mbox{$\overline{\text{M}}$} la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 40 lingots d'aluminium prélevés au hasard dans la commande, associe la masse moyenne, en kilogramme, des lingots d'aluminium.

On suppose que le nombre de lingots d'aluminium est suffisamment élevé pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On admet que la variable aléatoire \mbox{$\overline{\text{M}}$} suit une loi normale de moyenne $m$ et d’écart-type \mbox{$\sigma=\np{0.2}$}.

L’hypothèse nulle \mbox{$H_0$} est donc \og{}\mbox{$m= 27$}\fg{}.

On admet que l'hypothèse alternative \mbox{$\text{H}_1$} est \og{}\mbox{$m<27$}\fg{}.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
	\item Expliquer pourquoi la personne responsable de la qualité choisit de faire un test unilatéral et non un test bilatéral.
	\item Déterminer sous l'hypothèse \mbox{$H_0$}, une valeur arrondie au millième du réel $h$ tel que \mbox{$p(\overline{\text{M}}\geqslant 27-h) = \np{0.95}$}.
	\item Énoncer la règle de décision du test.
	\item On prélève un échantillon de 40 lingots et on obtient une masse moyenne de 26,7 kg. Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme ?
\end{enumerate}
\end{document}