%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Métropole juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\Comptabilité et gestion des organisations session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\textbf{A. Ajustement affine}

\medskip

Un institut de recherche démographique a étudié l'évolution de la population d'une grande ville. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant où $t_{i}$ désigne le rang de l'armée et où $p_{i}$ désigne l'effectif de la population, en millions d'habitants au cours de la même année.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $t_{i}$	&0&	5	&10	&15	&20	&25\\ \hline
Effectif : $p_{i}$			&5&	5,6	&6,1&6,8&7,6	& 8,4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable $y_{i} = \ln p_{i} (\ln$ désigne le logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.\\

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $t_{i}$&	0&	5&	10&	15&	20 &	25\\ \hline
$y_{i} = \ln p_{i}$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$. Arrondir à $10^{-3}$.
\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ sous la forme $y = at + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-3}$.
\item En déduire une expression de $p$ en fonction de $t$ de la forme $p = \alpha \text{e}^{kt}$ où la constante $\alpha$ sera arrondie à $10^{-1}$ et la constante $k$ sera arrondie à $10^{-2}$.
\item À l'aide du résultat du 4., donner une estimation de l'effectif de la population l'année de rang 35.\\
Arrondir à $10^{-1}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ de $[- 25~;~ 35]$ par

\[ f(t) = 5\text{e}^{0,02t}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra comme unités 1~cm pour 5 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$ sur $[- 25~;~ 35]$.
\item  Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré,
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0 ; 25] est $V_{m} = 10\left(\text{e}^{0,5} - 1\right)$.

		\item  Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$, de $V_{m}$.
 	\end{enumerate}
\item On admet que, lorsque $0 \leqslant t  \leqslant  30$, l'effectif de la population de la ville étudiée dans la partie A est donné, en millions d'habitants, l'année de rang $t$, par : $f(t) = 5\text{e}^{0,02t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'effectif, en millions d'habitants, de la population l'année de rang 28. Arrondir à $10^{-1}$.
		\item	Interpréter, à l'aide d'une phrase, le résultat obtenu au 3. b..
		\item	Déterminer le rang de l'année au cours de laquelle l'effectif de la population dépassera 9 millions d'habitants.
		\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Une entreprise fabrique en grande quantité un certain type de pièces pour de l'équipement informatique.

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Les pièces sont fabriquées par deux machines notées : \og machine 1 \fg{} et \og machine~2 \fg.

40\,\% des pièces proviennent de la machine 1 et 60\,\% de la machine 2.

On admet que 5\,\% des pièces provenant de la machine 1 sont défectueuses et que 2\,\% des pièces provenant de la machine 2 sont défectueuses.

On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée des deux machines.
  
Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées.

On appelle $A$ l'évènement: \og la pièce provient de la machine 1 \fg.

On appelle $B$ l'évènement: \og la pièce provient de la machine 2 \fg.

On appelle $D$ l'évènement: \og la pièce est défectueuse \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide des informations contenues dans l'énoncé, donner les probabilités $P(A),~ P(B),~ P_{A}(D)$, et $P_{B}(D)$.

(On rappelle que $P_{A}(D) = P(D / A)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(A \cap D)$ et $P(B \cap D)$. 
		\item En déduire la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité qu'une pièce provienne de la machine 1 sachant qu'elle est défectueuse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

Dans un stock de ces pièces, on prélève au hasard 10~pièces pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~pièces.

On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans ce stock est défectueuse \fg. On suppose que $P(E) = 0,03$.

 On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~pièces, associe le nombre de pièces défectueuses parmi ces 10~ pièces.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune pièce ne soit défectueuse.

Arrondir à $10^{-3}$.
\item   Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux pièces soient défectueuses

Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

Dans un lot de ce type de pièces, on admet que 3,2\,\% des pièces sont défectueuses.

On prélève au hasard 500~pièces de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisa assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 500~pièces.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 500~pièces, associe le nombre de pièces défectueuses parmi ces 500~pièces.

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 500$ et $p = 0,032$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,9$. Justifier les paramètres de cette loi normale.
\item  On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,9$.

Déterminer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait entre $13$ et $19$ pièces défectueuses, c'est-à-dire calculer $P(12,5 \leqslant  Z \leqslant 19,5)$. Arrondir à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{document}