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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai  2016}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Polynésie  mai 2016~\decofourright\\[7pt]Comptabilité et gestion des organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\emph{On arrondira les résultats des calculs de probabilité à} $10^{-3}$.

\medskip

Une entreprise fabrique des dragées de deux sortes : aux amandes ou au chocolat.

\bigskip

\textbf{Partie A – Probabilités conditionnelles}

\medskip

On sait que 60\,\% des dragées produites sont des dragées aux amandes ; les autres sont des dragées au chocolat.

Une étude statistique a montré que 5\,\% des dragées aux amandes et que 4\,\% des dragées au chocolat présentent un défaut d’ordre esthétique.

On choisit au hasard une dragée dans la production. Toutes les dragées ont la même probabilité d’être choisies.

On note :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l’évènement : « la dragée est aux amandes »,
\item[$\bullet~~$] $C$ l’évènement : « la dragée est au chocolat »,
\item[$\bullet~~$] $D$ l’évènement : « la dragée présente un défaut ».
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\smallskip

On rappelle que pour un évènement $E$, $P(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $\overline{E}$ désigne l’évènement contraire de $E$.0

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des informations contenues dans l’énoncé les probabilités $P(A),\, P(C),\, P_A(D)$ et $P_C(D)$.
\item Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}^{\ldots}}
	{\TR{$D$}^{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}_{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}_{\ldots}}
	{\TR{$D$}^{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}_{\ldots}
	}}
\end{center}

\item Décrire par une phrase l’évènement $A \cap D$ et calculer sa probabilité.
\item Montrer que $P(D) = 0,046$.
\item Montrer que la probabilité que la dragée soit aux amandes sachant qu’elle présente un défaut est environ $0,652$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B – Loi binomiale}

\medskip

On s’intéresse dans cette partie à la production de dragées au chocolat.

On note $E$ l’évènement : « la dragée au chocolat présente un défaut ».

On suppose que la probabilité de l’évènement $E$ est $0,04$.

On prélève au hasard $100$ dragées de la production. La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $100$ dragées.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ dragées, associe le nombre de dragées de ce prélèvement présentant un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Justifier que l’espérance de la variable aléatoire $X$ est $4$ et interpréter par une phrase ce résultat.
\item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, exactement $5$ dragées présentent un défaut.
\item On se propose de calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins $6$ dragées présentent un défaut.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les quatre expressions suivantes, donner celle qui permet de calculer cette probabilité : 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$P(X < 6)$ &$P(X >  6)$ &$P(X\leqslant 6)$ &$P(X \geqslant 6)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Calculer cette probabilité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C – Loi normale}

\medskip

On s’intéresse dans cette partie à la production de dragées aux amandes.

On prélève au hasard \np{1000} dragées de la production. La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de \np{1000} dragées.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de \np{1000} dragées, associe le nombre de dragées de ce prélèvement présentant un défaut.

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p  = 0,05$ et on décide d’approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale d’espérance $50$ et d’écart-type $6,89$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les valeurs des paramètres de cette loi normale.
\item On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $50$ et d’écart type $6,89$.

À l’aide de la loi de probabilité de $Z$, estimer la probabilité qu’il y ait au plus $40$ dragées présentant un défaut dans le prélèvement, c’est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 40,5)$ en raison de la correction de continuité due à l’approximation de la loi de $Y$ par celle de $Z$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur arrondie à $0,1$ d’un nombre réel $a$ tel que : 
		
		\[P(50 - a  \leqslant Z  \leqslant 50 + a) = 0,95.\]
		
		\item Sans utiliser la calculatrice, expliquer pourquoi $P(Z  \leqslant 36) \leqslant 0,025$.
		
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, en particulier graphique, sera prise en compte dans la notation}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Un formulaire est disponible en fin d’exercice

\bigskip

\textbf{Partie A – Étude d’une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle [0~;~5] par

\[f(x) =  x + 0,5 + \text{e}^{- x + 1}.\]

On a tracé en annexe, dans un plan muni d’un repère orthonormé, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d’équation $y = 1,3x$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement dans l’intervalle [0~;~5] l’inéquation $f(x) \leqslant 1,3$.

On fera apparaître les constructions utiles sur le graphique de l’annexe à rendre avec la copie.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle [0~;~5] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ sur l’intervalle [0~;~5].
		\item Justifier que l’inéquation $1 - \text{e}^{- x + 1} \geqslant 0$ a pour solution l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \geqslant 1$.
		\item Déduire de la question b. le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans l’intervalle [0~;~5].
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0~;~5].

On fera figurer dans ce tableau les valeurs particulières (extremums et valeurs aux bornes) en donnant éventuellement un arrondi à $10^{-2}$ de ces valeurs.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la méthode de votre choix, indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 4$  dans l’intervalle [0~;~5].
		\item Donner, à l’aide de votre calculatrice, un encadrement à $10^{-2}$ près des solutions éventuelles de l’équation $f(x) = 4$  dans l’intervalle [0~;~5].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B – Calcul intégral}

\medskip

Un logiciel de calcul formel a permis de déterminer une fonction primitive $F$ de $f$ sur [0~;~5].

On a obtenu

\[F(x) = 0,5x^2 + 0,5x - \text{e}^{- x + 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_1^5 f(x)\:\text{d}x$. 

Démontrer que $I = 15 - \text{e}^{-4}$.
\item En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ de la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~5].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C – Application}

\medskip

Une entreprise fabrique, chaque jour, entre $100$ et $500$ pièces destinées à l’équipement informatique. 

\smallskip

Lorsqu’elle produit $x$ centaines de pièces, avec $1 \leqslant x \leqslant 5$, le coût total de production, en centaines d’euros, est modélisé par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A de l’exercice 2.

Chaque pièce est vendue $1,30$ euros. La recette perçue par la vente de $x$ centaines de pièces vaut donc $1,3x$ centaines d’euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût total de fabrication de $300$ pièces.

En déduire le bénéfice engendré par la fabrication et la vente de ces $300$ pièces. 

On arrondira les résultats à l’euro près.
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats obtenus dans les parties précédentes.
	\begin{enumerate}
		\item Combien l’entreprise doit-elle fabriquer de pièces au minimum pour que le coût total de production dépasse 400~\euro{} ?
		\item Déterminer le nombre minimal de pièces qu’il faut fabriquer et vendre pour que l’entreprise réalise un bénéfice journalier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{Formulaire}

\medskip

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $\text{e}^u$  est dérivable sur $I$, et on a 

\[\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u\]

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$. La valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur $[a~;~b]$ est :

\[m = \dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t.\]

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE – À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.3)(5.2,5.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=9,gridwidth=1.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(5.2,5.6)
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\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{0}{4.2}{1.3 x mul}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{5}{x 0.5 add 2.71828 1 x sub exp add}
\uput[u](4.8,5.3){\red $\mathcal{C}$}\uput[ul](4,5.3){$\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
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