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%Tapuscrit : Denis Vergès relecture François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{mai 2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur mai 2019\\[7pt] Conception de produits industriels}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 :\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Un formulaire est fourni en fin d'exercice}

\medskip

Un bloc autonome d'éclairage et de sécurité (BAES) doit signaler les issues de secours dans un bâtiment accueillant du public. Il doit être visible de nuit comme de jour même dans le cas d'une coupure de courant.

Un fabriquant de BAES décide d'utiliser un supercondensateur pour alimenter l'éclairage.

On note $t$ la durée d'éclairage en seconde après une coupure de courant.

On note $f(t)$ la différence de potentiel (ddp) aux bornes du supercondensateur définie sur l'intervalle 
$[0~;~ +\infty[$.

Le principe de fonctionnement est le suivant :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le BAES est alimenté par l'alimentation électrique du bâtiment, le supercondensateur est chargé à 6
voltsdonc $f(0) = 6$ ;
\item[$\bullet~~$]une panne électrique survient, le BAES est alimenté électriquement par le supercondensateur et la ddp
à ses bornes diminue;
\item[$\bullet~~$]lorsque la ddp aux bornes du supercondensateur atteint 3 volts, l'éclairage de secours s'éteint ;
\item[$\bullet~~$]enfin le supercondensateur continue de se décharger très lentement jusqu'à une valeur limite.
\end{itemize}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
L'objectif de cet exercice est de s'assurer que le supercondensateur a une capacité suffisante pour maintenir l'éclairage de secours durant $1$ heure au moins comme l'impose la législation.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On décide de modéliser la ddp aux bornes du supercondensateur par la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$, solution de l'équation différentielle d'inconnue $y$:

\[\left\{\begin{array}{l}(E) : y'(t) + 5 \times 10^{-4}y(t) = 14,5 \times  10^{-4} \\
f(0) = 6
\end{array}\right.\]


\begin{center}\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle:

\[\left(E_0\right) : \quad y'(t) + 5\times 10^{-4}y(t) = 0.\]

\item Déterminer une fonction constante solution de l'équation différentielle:

\[(E) :\quad  y'(t) + 5 \times 10^{-4}y(t) = 14,5 \times 10^{-4}.\]

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item On rappelle que $f(0) = 6$.

En déduire l'expression de $f(t)$ pour $t \in [0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}\end{center}

Dans cette partie, on admet que $f(t) = 3,1\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 2,9$ pour $t \in [0~;~ +\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de [$f'(t)$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ en indiquant les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}		
\item On cherche à estimer la durée d'éclairage après coupure de courant dans le bâtiment.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur $t_1$ mesurée en seconde correspondant à la durée d'éclairage. Arrondir à la
seconde.
		\item Ce dispositif est-il conforme à la législation ?
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{FORMULAIRE}\\
\emph{Équation différentielle d'ordre $1$}\\
Les solutions de l'équation différentielle homogène $\left(E_0\right) : ay'(t) + by(t) = 0$ sont les fonctions $y$ définies sur un intervalle $I$ par :\\
\[y(t)= k\text{e}^{-at}, \:\text{avec}\: k \:\text{constante réelle}.\]\\

\emph{Formule de dérivation}\\
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $\text{e}^{u}$ est dérivable sur $I$ et on a :

\[\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}.\]\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 :\hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Un formulaire est fourni en fin d'exercice.}\end{center}

\medskip

Une entreprise construit des bateaux d'amorçage. Ces bateaux destinés à la pêche, sont des maquettes radio commandées.

On représente un de ces bateaux par une vue de face et une vue de dessus. Les figures ne sont pas à l'échelle.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(15.6,8)
%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](0,5)(2.9,4.7)(5.5,5.6)(4.5,7.1)(1.9,6.2)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](0,5)(0,4)(2.9,3.7)(5.5,4.9)(5.5,5.6)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](2.9,3.7)(2.9,4.7)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](1.9,6.2)(1.9,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,5.)(2.9,4.8)(5.1,5.6)(4.5,6.5)(1.9,5.6)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](1.1,5.)(0.9,4.9))
\uput[u](0,5){B}\uput[u](2.9,4.7){A}\uput[u](5.5,5.6){E}
\uput[u](4.5,7.1){D}\uput[u](1.9,6.2){C}\uput[r](0,4.5){$h$}
\psline{<->}(0.1,5)(0.1,4)
\psline{->}(7.4,5.2)(7.4,7.7)\psline{->}(7.4,5.2)(15.5,5.2)
\psframe[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](7.4,5.2)(14.8,7)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](11.2,5.2)(11.2,7)
\psline{->}(7.4,0.2)(7.4,4.4)\psline{->}(7.4,0.2)(15.4,0.2)
\uput[l](7.4,7){B} \uput[u](11.2,7){A} \uput[ur](14.9,7){E} \uput[l](7.4,5.1){O}
\psline{<->}(8,5.2)(8,7) \uput[r](8,6.1){$h$}
\pspolygon[linewidth=1.6pt,linecolor=gray](11.2,0.2)(14.8,0.2)(14.8,3.8)(11.2,3.8)(7.4,2.1)
\uput[d](11.2,0.2){A} \uput[d](14.8,0.2){E} \uput[u](14.8,3.8){D}
\uput[d](11.2,3.8){C} \uput[l](7.4,2.1){B} \uput[l](7.4,0){O}
\rput(11,7.7){Vue de face}
\rput(11,4.2){Vue de dessus}
\rput(13,2.1){Réservoir}
\rput(13,1.6){à graines}
\psdots[dotstyle=+](7.4,0)
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O. On définit les points A, B, C, D et E par leurs coordonnées en centimètre :

A(50~;~ 0~;~$h$),\: B(0~;~20~;~$h$),\: C(50~;~40~;~$h$),\: D(80~;~40~;~$h$) et E(80~;~0~;~$h$), 
$h$ étant la hauteur de la coque d'un de ces bateaux.

\begin{center}\textbf{Partie A - Angle et produit scalaire}\end{center} 

Dans cette partie on cherche à calculer l'angle à l'avant du bateau.

Lors de la conception d'un de ces bateaux, l'entreprise est amenée à déterminer une mesure de l'angle 
$\widehat{\text{ABC}}$. Cet angle doit être compris entre $30\degres$ et $60\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}$.
\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie à 1 degré près.
		\item La contrainte imposée par l'entreprise est-elle respectée ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B - Calcul d'aire et flottaison}\end{center}

Le poids total du bateau peut atteindre $7$~kg. Afin de s'assurer de sa capacité à flotter, il faut calculer l'aire de la base de la coque.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de l'avant du bateau, assimilable au triangle ABC.
\item Calculer l'aire du rectangle ACDE.
\item On suppose que la hauteur $h$ de la coque du bateau est 3~cm. En déduire son volume.
\item On cherche à savoir si le bateau est en mesure de flotter. La poussée d'Archimède est une force exercée vers le haut dont la norme en Newton (N), est dans notre cas, approximativement
$\left\|\vect{F}\right\|= 10 \times$ (volume d'eau déplacée en dm$^3$). 

Calculer la norme de la force de la poussée d'Archimède subie par le bateau.
\item Sachant qu'au maximum le poids du bateau exerce une force vers le bas de $70$~N, le bateau sera-t-il en mesure de flotter? Si ce n'est pas le cas, proposez une modification de la géométrie du bateau qui permettrait au bateau de flotter. Aucun calcul n'est attendu.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C- Probabilités}\end{center}

Le bon fonctionnement du bateau est lié à la durée de fonctionnement du bloc de propulsion et de la batterie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement de la batterie en heure suit une loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart type $0,5$.

Calculer la probabilité que la batterie fonctionne au moins $1$ heure. Arrondir à $10^{-3}$.
\item La durée de fonctionnement en heure du bloc de propulsion est assimilable à une loi exponentielle de paramètre 0,2. Calculer la probabilité que le bloc moteur fonctionne correctement durant la première heure. Arrondir à $10^{-3}$.
\item On suppose que les évènements \og panne du bloc de propulsion \fg{} et \og panne de la batterie \fg{} sont indépendants.

Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune panne durant la première heure d'utilisation. Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{FORMULAIRE :} \\
Loi exponentielle\\
La fonction de densité $f$ de la loi exponentielle est définie pour tout réel $t$ positif par:

\[ f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}\:  \text{où}\: \lambda\:  \text{est un paramètre réel}.\]\\ \hline
\end{tabularx}

\end{document}