% arara: lualatex % arara: lualatex if found('log', '(undefined references|Please rerun|Rerun to get)') % % pour compiler le document : arara {NOM_FICHIER}.tex % ou plus simplement lualatex {NOM_FICHIER}.tex (2 compilations potentiellement nécessaires) %------------------------------------------------------------------------------------------% % A.P.M.E.P. https://www.apmep.fr/ % % https://www.apmep.fr/Annales-examens-Brevet-CAP-BEP-Bac-BTS-et-concours-niveau-Terminale % % Tapuscrit : Aymeric Picaud % % Corrigé : Denis Verges (ex1), Aymeric Picaud (ex2) % % Relecture : François Hache % % % % Pensez à déclarer les ressources de l'APMEP dans vos établissements scolaires dans le % % cadre de l'enquête du CFC (centre français de copie) si vous faites partie du panel. % % https://www.apmep.fr/Ressources % %------------------------------------------------------------------------------------------% \documentclass[11pt,a4paper,french]{article} % encodage des caractères \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} % décommenter si le moteur n'est pas utf8 (autre que LuaLaTeX, XeLaTeX) % %>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % Fonts polices utilisées dans le document \usepackage{fourier} %\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} % Alternatives nécessite (LuaLaTeX, XeLaTeX) %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système %\IfFontExistsTF{Noto Mono}{\newfontfamily\unicodefont{Noto Mono}}{\newcommand{\unicodefont}{}} %\setmainfont{Luciole} %\renewcommand{\sffamily}{\rmfamily} %\usepackage{realscripts} %\usepackage{setspace} %\setstretch{1.0} %\usepackage{luciole-math} %<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< \usepackage{makeidx} %\usepackage{amsmath,amssymb} % caractères mathématiques /!\ redondant avec fourier-otf \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} % environnement pour zone multicolonnes \begin{multicols}{#nb col}…\end{multicols} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} % tableaux extensibles \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} % personnalisation des listes numérotées et à puces %\usepackage{textcomp} % pour le symbole degré notamment \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} % figures avec pstricks \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz} % figures avec tikz \usepackage{pgfplots} % représentation graphique de fonction, données \pgfplotsset{compat=1.18} % rétrocompatibilité \usetikzlibrary{calc} % pour faire des calculs de coordonnées \usepackage{esvect} % commande pour écrire les vecteurs \vv{arg} ou \vv*{arg}{ind} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % marges \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15 mm} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}% commande pour écrire les vecteurs \vect{arg} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} % commandes pour les repères \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{\,e}} % commande pour le nombre d'Euler, constante de Neper \usepackage{fancyhdr} % pied et entête de page \usepackage{hyperref} % liens et renvois \usepackage[french]{babel} % prise en compte des langues \usepackage[np]{numprint} % pour composer des nombres facilement \np[m]{1.345E3} \usepackage{physics}% pour avoir les notations simple élément différentiel dx \usepackage{tkz-tab}% tableaux de signes, de variation dans un environnement tikzpicture \usepackage{booktabs}% tableaux de données au format universitaire %\usepackage{pythonhighlight}% mise en forme code python \usepackage{qrcode} % pour créer des qrcode facilement \usepackage[table]{xcolor} % accéder à une palette étendue de couleurs (prise en charge de la coloration de cellules de tableau) % %\renewcommand\arraystretch{1.3} % réglage des espacements de lignes tableaux et matrices %\frenchsetup{StandardLists=true} \renewcommand{\degre}{^\circ} % redéfinition de la commande degre en mode math \newcommand{\textdegre}{$^\circ$} % définition de la commande degre en mode texte % % Zone de définitions propres au sujet % \newcommand{\Auteur}{APMEP} \newcommand{\APMEP}{\href{https://www.apmep.fr}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \newcommand{\Diplome}{ BTS } \newcommand{\Epreuve}{ Mathématiques } \newcommand{\Zone}{ Métropole } \newcommand{\Sujet}{ Corrigé groupement D1 } \newcommand{\Date}{ 18 mai 2026 } % % métainformations du pdf produit % \hypersetup{% pdfauthor = {\Auteur}, pdfsubject = {\Diplome~\Epreuve}, pdftitle = {\Zone~\Sujet~\Date}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} % % Début du document % \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\APMEP} \lhead{\small{\Diplome \Zone}} \lfoot{\small{\Sujet}} \rfoot{\small{\Date}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\APMEP}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~\Diplome \Zone \Date~\decofourright\\[7pt]\Sujet %\footnote{ANALYSES DE BIOLOGIE MÉDICALE, BIOANALYSES EN LABORATOIRE DE CONTRÔLE, BIOTECHNOLOGIES EN RECHERCHE ET EN PRODUCTION, EUROPLASTICS ET COMPOSITES, BIOQUALITÉ}\\[7pt] Durée : 2 heures }} %\medskip % %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} %\smallskip \section*{Exercice 1\hfill (11 points)} La glycémie est le taux de glucose (sucre) contenu dans le sang. Elle est exprimée en gramme par litre de sang (g/L). Le taux normal de la glycémie (à jeun) est compris entre \np[g/L]{0,7} et \np[g/L]{1,1} de sang. On étudie ici le processus d'élimination du glucose chez un adulte en bonne santé. À jeun, une injection de glucose est réalisée. On effectue plusieurs mesures de la glycémie. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant T qui donne la glycémie $g$ (en g/L) à l'instant $t$ désignant le temps écoulé, en heures, depuis l'injection : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline \cellcolor{lightgray}${t_i}$&\np{0.25}&\np{0.5}&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \cellcolor{lightgray}${g_i}$&\np{1.05}&\np{1.15}&\np{1.36}&\np{1.54}&\np{1.45}&\np{1.29}&\np{1.17}&\np{1.09}&\np{1.04}&\np{1.02}&\np{1.01}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip %\textbf{Les parties A, B, et C peuvent être traitées de manière indépendante.} \subsection*{Partie A -- Obtention d'une première modélisation (statistiques)} \noindent \begin{enumerate} \item Le nuage de points correspondant au tableau de valeurs $T$ a été représenté ci-dessous : \begin{center} % graphique avec tikz et pgfplot \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ scaled ticks=false, xticklabel style={/pgf/number format/.cd,fixed,precision=1}, tick label style={font=\scriptsize}, minor grid style={color=black!10!white}, major grid style={color=black!20!white}, ytick distance = 0.5, xtick distance = 1, width=14cm, height=6cm, ymin=-0.2, ymax=1.8, xmin=-0.8, xmax=9.8, axis lines=middle, grid=both, minor tick num=5 %enlargelimits=false ] \addplot+ [only marks,mark=*,mark size={1pt},line width=1.2pt,color=black] coordinates { (0.25 , 1.05 ) (0.5 , 1.15 ) (1 , 1.36 ) (2 , 1.54 ) (3 , 1.45 ) (4 , 1.29 ) (5 , 1.17 ) (6 , 1.09 ) (7 , 1.04 ) (8 , 1.02 ) (9 , 1.01 ) }; % \node [below left] at (axis cs:0,0) {\scriptsize 0}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} %\begin{center} %% graphique avec pstricks %\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3,comma} %\begin{pspicture*}(-0.8,-0.4)(9.5,1.75) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.35pt,gridcolor=orange](0,0)(9.5,1.75) %\multido{\n=0.5+1.0}{3}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](0,\n)(9.5,\n)} %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(0,0)(9.5,1.75) %\psdots(0.25,1.05)(0,5,1.15)(1,1.36)(2,1.54)(3,1.45)(4,1.29)(5,1.17)(6,1.09)(7,1.04)(8,1.01)(9,1.01) %\uput[u](9.2,0){$t_i$}\uput[r](0,1.65){$g_i$} %\end{pspicture*} %\end{center} %À la vue de ce nuage, un ajustement affine apparaît-il réalisable ? Pourquoi ? Un ajustement affine n'apparaît pas réalisable car les points du nuage ne sont pas proches d'être alignés. \end{enumerate} On effectue le changement de variable $y = \ln (g - 1)$. \begin{enumerate}[resume] \item On obtient alors le tableau $T_1$ ci-dessous : \begin{scriptsize} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}p{3mm}|}*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \cellcolor{lightgray}$t_i$ &\np{0,25} &\np{0,5} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8 &9\\ \hline \cellcolor{lightgray}$y_i$ &$y_1$&$y_2$&$\np{- 1,022}$&$\np{-0,616}$&$\np{-0,799}$&$\np{-1,238}$&$\np{-1,772}$&$\np{-2,408}$&$\np{-3,219}$&$\np{-3,912}$&$\np{-4,605}$\\ \hline \end{tabularx} \end{scriptsize} \begin{enumerate} \item On donne les valeurs manquantes $y_1$ et $y_2$ (arrondies au millième): $y_1 = \ln(\np{\fpeval{1.05-1}}) \approx \np{\fpeval{round(ln(1.05-1),3)}}$ et $y_2 = \ln(\np{\fpeval{1.15-1}}) \approx \np{\fpeval{round(ln(1.15-1),3)}}$ \item La valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_1$ est $r\approx \np{-0.69}$. \end{enumerate} \item On décide de supprimer les deux premières colonnes du tableau et de considérer la série statistique $(t~;~y)$ donnée par le tableau suivant $T_2$ : %\begin{scriptsize} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering \arraybackslash}p{3mm}|}*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \cellcolor{lightgray}$t_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8 &9\\ \hline \cellcolor{lightgray}$y_i$ &$\np{- 1,022}$&$\np{-0,616}$&$\np{-0,799}$&$\np{-1,238}$&$\np{-1,772}$&$\np{-2,408}$&$\np{-3,219}$&$\np{-3,912}$&$\np{-4,605}$\\ \hline \end{tabularx} %\end{scriptsize} \begin{enumerate} \item La valeur, arrondie à \np{0,01}, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_2$ est: $r\approx \np{-0.95}$. \item %Justifier que l'ajustement de la série statistique correspondant au tableau $T_2$ est de meilleure qualité que celui correspondant au tableau $T_1$. Le coefficient de corrélation linéaire mesure la qualité de l'alignement des points; plus sa valeur absolue est proche de 1 meilleure est la qualité de l'alignement des points. \\ Dans le tableau $T_2$ le coefficient de corrélation linéaire est plus proche de 1 en valeur absolue. L'ajustement affine est de meilleur qualité avec les points correspondant à $T_2$. \item À l'aide de la calculatrice, on détermine par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $(t_i~;~y_i)$ de ce tableau $T_2$ sous la forme $y = at + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis au millième: % $a\approx \np{-0.504}$ et $b\approx \np{0.342}$ arrondis au millième. $y = \np{-0.504}t + \np{0.342}$ \end{enumerate} \item On considère le tableau suivant $T_3$, qui est le tableau $T$ auquel les deux premières colonnes ont été supprimées : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline \cellcolor{lightgray}${t_i}$&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \cellcolor{lightgray}${g_i}$&\np{1.36}&\np{1.54}&\np{1.45}&\np{1.29}&\np{1.17}&\np{1.09}&\np{1.04}&\np{1.02}&\np{1.01}\\ \hline \end{tabularx} \begin{enumerate} \item %Déduire de la question \textbf{3. c.} qu'une fonction $g$ ajustant le nuage de points $(t~;~g)$ de ce tableau $T_3$ en fonction du temps $t$ a pour expression : % %$g(t) = 1 + 1,41\e^{-0,5t}$. Du changement de variable $y = \ln (g - 1)$, on déduit : $g = 1 + \e^{y}$ Avec l'ajustement affine $y = \np{-0.504}t + \np{0.342}$, on obtient: $g(t) = 1 + \e^{\np{-0.504}t + \np{0.342}} = 1 + \e^{\np{0.342}}{\e^{\np{-0.504}t}} = 1 + \np{1.408}{\e^{\np{-0.504}t}} = 1 + 1,41\e^{-0,5t}$ \item %Cette modélisation par la fonction $g$ apparait-elle en accord avec les deux premières valeurs du tableau $T$ ? Justifier la réponse. $g(\np{0.25}) = 1 + 1,41\e^{\np{-0,125}} \approx \np{\fpeval{round(1+1.41*exp(-0.125),3)}} $; erreur relative: $\dfrac{g(\np{0.25}) - \np{1,05}}{\np{1,05}} \approx 114~\% $ $ g(\np{0.5}) = 1 + 1,41\e^{\np{-0,25}} \approx \np{\fpeval{round(1+1.41*exp(-0.25),3)}}$; erreur relative: $\dfrac{g(\np{0.5}) - \np{1,15}}{\np{1,15}} \approx 82~\% $ L'écart entre les valeurs réelles et les valeurs du modèle est trop important donc cette modélisation par la fonction $g$ n'apparait pas en accord avec les deux premières valeurs du tableau $T$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie B -- Obtention d'une seconde modélisation (équation différentielle)} On admet ici que la glycémie (en g/L) de l'adulte étudié en fonction du temps $t$ (en heures) peut être modélisée par une fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$, qui est la solution de l'équation différentielle : $(E): \quad y' + y = 1 + 2t\e^{-t}$ telle que $g(0) = 1$. \begin{enumerate} \item On résout sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E_0) :\quad y' + y = 0$. D'après le cours, on peut dire que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$, les solutions de $(E_0)$ sont de la forme $y(t) = C\e^{-t}$ où $C$ est une constante. \item Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 1 + t^2\e^{-t}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. $ f'(t) = -t^2\e^{-t} + 2t\e^{-t} = (-t^2 + 2t)\e^{-t} $ \item %En déduire que la fonction $f$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. Pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$, $ f'(t) + f(t) = (-t^2 + 2t)\e^{-t} + 1 + t^2\e^{-t} = 1 + 2t\e^{-t} $. Donc $f$ est une solution particulière de $(E)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On résout sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$. Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont obtenues comme somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière. Les solutions sont donc les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par \\ $y(t) = f(t) + C\e^{-t} = 1 + (C+t^2)\e^{-t}$ \item %Déterminer alors une expression de la solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $g(0) = 1$. La solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $g(0) = 1$ est de la forme $g(t) = 1 + (C+t^2)\e^{-t}$. $g(0)=1 \iff 1+ \left (C+0\right )=1 \iff C=0$ Donc La solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $g(0) = 1$ est définie sur $\left[0~;~+\infty\right[$ par $g(t) = 1 + t^2\e^{-t}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie C -- Étude de la seconde modélisation} On admet ici que la glycémie (en g/L) de l'adulte étudié en fonction du temps $t$ (en heures) peut être modélisée par la fonction $g$ définie sur $\left[0~;~+\infty\right[$ par $g(t) = 1 + t^2\e^{-t}$. On admet que la fonction dérivée de la fonction $g$ est définie sur $\left[0~;~+\infty\right[$ par $g'(t) = t(2-t)\e^{-t}$. \begin{enumerate} \item On admet que : \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty} t^2\e^{-t} = 0 \). %Donner alors la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Comme \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty} t^2\e^{-t} = 0 \), alors \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty} 1+ t^2\e^{-t} = 1 \). Si le temps est assez long, la glycémie selon ce modèle converge vers 1. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le tableau de variations de la fonction $g$. Pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$, $\e^{-t}>0$ et $t\geqslant 0$. \\ Ainsi le signe de $g'(t)$ est le même que celui de $2-t$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=3.5]{ $t$ / 1.5, Signe de $g'(t)$/ 1.5, Variations de $g$ / 2.5}{ $0$, $2$, $+\infty$} \tkzTabLine{ z,+ , z , - ,} \tkzTabVar{ -/1, +/$g(2)$ , -/0} \end{tikzpicture} \end{center} \item Selon ce modèle, la valeur maximale de la glycémie (en g/l) de l'adulte étudié est $g(2) = 1 + 2^2\e^{-2} = 1 + \dfrac{4}{\e^2} \approx 1,54$ Elle est atteinte au bout de 2 heures. \end{enumerate} \medskip \begin{minipage}{0.45\linewidth} \item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à \np[g/L]{1.1}.\\ %Sans justifier, indiquer ce que l'algorithme ci-contre permet de déterminer dans le contexte de l'exercice. L'algorithme ci-contre permet de déterminer le temps en minute depuis le pic de glycémie (2~h après la prise de glucose) à partir duquel l'adulte n'est plus en hyperglycémie. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.5\linewidth} \smallskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabular}{| l |} \hline T prend la valeur 2\\ G prend la valeur $g(2)$\\ Tant que $\text{G} \geqslant \np{1.1}$\\ \qquad T prend la valeur T + 1/60\\ \qquad G prend la valeur $g(T)$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage} \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 2\hfill (9 points)} Une entreprise fabrique des pipettes destinées à être utilisées en laboratoire. Le cahier des charges impose à une pipette d'avoir un diamètre interne $d$ et une longueur $L$ conformes aux exigences des utilisateurs. La pipette est alors conforme. Sinon, elle est considérée comme défectueuse. %\bigskip % %\textbf{Les parties A, B, et C peuvent être traitées de manière indépendante.} \subsection*{Partie A} L'entreprise met au point un nouveau contrôle automatisé qui vise à déterminer si une pipette est conforme ou défectueuse. Toute pipette conforme devrait être acceptée au contrôle ; toute pipette défectueuse devrait y être refusée. Toutefois : \begin{list}{\textbullet}{} \item 96~\% des pipettes défectueuses sont refusées au contrôle ; \item 99~\% des pipettes conformes sont acceptées au contrôle. \end{list} L'entreprise décide d'utiliser ce nouveau contrôle sur un lot comprenant un très grand nombre de pipettes, tout en sachant que 3~\% des pipettes du lot sont défectueuses. Une pipette est prélevée dans ce lot. On considère alors les événements : \begin{itemize}[label={\textbullet}] \item $D$ : \og{}~la pipette est défectueuse~\fg{}; \item $R$ : \og{}~la pipette est refusée au contrôle~\fg{}. \end{itemize} On note respectivement $\overline{R}$ et $\overline{D}$ les événements contraires des événements $R$ et $D$. \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm, nodesepA=0pt, nodesepB=4pt] {\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt] {\TR{$D$}\taput{\np{0.03}}} { \TR{$R$} \taput{\np{0.96}} \TR{$\overline{R}$} \tbput{\np{0.04}} } \pstree[nodesepA=4pt] {\TR{$\overline{D}$}\tbput{\np{0.97}}} {\TR{$R$} \taput{\np{0.01}} \TR{$\overline{R}$} \tbput{\np{0.99}} } } \bigskip \end{center} \item {} %Montrer que la probabilité de l'événement $R$ est égale à \np{0,0385}. D'après la formule des probabilités totales: % % Calculs délégués à fpeval % \[ \aligned \text{P}\left({R}\right) & = \text{P}\left({R\cap D}\right) + \text{P}\left({R\cap \overline{D}}\right)\\ & = \text{P}(D) \times \text{P}_D\left({R}\right) + \text{P}\left(\overline{D}\right) \times \text{P}_{\overline{D}}\left({R}\right)\\ & = \np{0.03} \times \np{0.96} + \np{0.97} \times \np{0.01}\\ & = \np{\fpeval{0.03*0.96}} + \np{\fpeval{0.97*0.01}}\\ & = \np{\fpeval{0.03*0.96+0.97*0.01}}\\ \endaligned \] \item %La pipette est refusée au contrôle. Quelle est alors la probabilité que la pipette soit effectivement défectueuse ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$. La probabilité de l'événement «~La pipette est défectueuse sachant qu'elle est refusée~» est: % % Calculs délégués à fpeval % \[ %\renewcommand{\arraystretch}{2} \aligned \text{P}_R\left({D}\right) & = \dfrac{\text{P}\left({R\cap D}\right)}{P(R)} \\ & = \dfrac{\np{0.03}\times\np{0.96}}{\np{0,0385}} \\ & = \dfrac{\np{\fpeval{0.03*0.96}}}{\np{0,0385}} \\ %& \approx &\np{\fpeval{0.03*0.96/0.0385}} \\ & \approx \np{\fpeval{round(0.03*0.96/0.0385,3)}} \quad\text{arrondie à }10^{-3}\\ \endaligned \] \item Dans ce contexte de contrôle de conformité, il est important pour l'entreprise de \og{}~maîtriser le risque~\fg{} qu'une pipette défectueuse soit acceptée au contrôle. %Dans ce cadre, est-il plus pertinent de connaître $\text{P}_D\left(\overline{R}\right)$ ou $\text{P}_{R}\left(\overline{D}\right)$ ? Justifier. $\text{P}_D\left(\overline{R}\right)$ est la probabilité de l'événement «~La pipette est acceptée sachant qu'elle est défectueuse~».% Cette probabilité mesure le risque d'accepter une pipette défectueuse après le contrôle. Le plus mauvais choix est d'accepter une pipette défectueuse donc il est plus pertinent de connaître $\text{P}_D\left(\overline{R}\right)$. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} %\textit{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.} Dans cette partie, on s'intéresse à la longueur $L$ des pipettes fabriquées. La probabilité qu'une pipette prélevée au hasard ait un défaut de longueur est égale à \np{0,02}. La production est suffisamment importante pour que tout prélèvement au hasard de 550 pipettes dans la production puisse être assimilé à un tirage aléatoire avec remise. On note ${X}$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 550 pipettes, associe le nombre de pipettes ayant un défaut de longueur. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? On justifiera la réponse et on donnera les paramètres de la loi. L'expérience peut être assimilée à une répétition 550~fois d'une expérience de Bernoulli avec comme probabilité de succès $p=\np{0.02}$. Le succès étant de «~tirer une pipette avec un défaut de longueur~». La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès et donc suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $n=550$ et $p=\np{0.02}$. $X \hookrightarrow \mathcal{B}(550~;~\np{0.02})$. \item Le nombre moyen de pipettes avec un défaut de longueur dans un échantillon de 550 pipettes prélevées au hasard est l'espérance de la variable aléatoire $X$ : $E(X) = n \times p = 550 \times \np{0.02} = 11$ \item On prélève au hasard 550 pipettes dans la production. La probabilité de l'événement : \og{}~le prélèvement contient exactement 10 pipettes ayant un défaut~\fg{} est: \[ \text{P}(X=10)=\binom{550}{10} \times \np{0.02}^{10} \times (1-\np{0.02})^{540} \approx \np{0.120}\text{ arrondie à }10^{-3}\text{ près} \] \end{enumerate} \end{enumerate} On admet que la variable aléatoire $X$ peut être approximée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale. \begin{enumerate}[resume] \item %Justifier que l'on peut prendre pour paramètres de cette loi normale : $m=11$ et $\sigma = \np{3.283}$. En approximation en loi, on doit avoir $E(Y) = E(X)$ et $V(Y) = V(X)$. $m = E(Y) = E(X) = 11$ et $\sigma^2 = V(Y) = V(X) = 550 \times (1 - \np{0.02}) \times \np{0.02} = \np{10.78}$ Ainsi $\sigma = \sqrt{\np{10.78}} \approx \np{\fpeval{round(sqrt(10.78),3)}}\text{ arrondie à }10^{-3}\text{ près}$. On peut prendre $Y \hookrightarrow \mathcal{N}(11~;~\np{10.78})$. \item \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi la probabilité $p$ ne peut pas être déterminée en calculant $P(Y=10)$. %$Y\hookrightarrow \mathcal{N}(11~;~\np{\fpeval{round(sqrt(10.78),3)}})$ est une variable à densité. On ne peut déterminer que des probabilités d'appartenance à un intervalle de valeurs. $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(11~;~\np{10.78})$ est une variable à densité. On ne peut déterminer que des probabilités d'appartenance à un intervalle de valeurs. \item %On admet qu'une valeur cohérente de $p$ est donnée par la probabilité ${P(\np{9.5} \leqslant Y \leqslant \np{10.5})}$. %Déterminer la valeur de la probabilité ${P(\np{9.5} \leqslant Y \leqslant \np{10.5})}$. ${\text{P}(\np{9.5} \leqslant Y \leqslant \np{10.5})}\approx \np{0.011}\text{ arrondie à }10^{-3}\text{ près}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie C} Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre interne des pipettes fabriquées. Afin de contrôler si la moyenne $m$ des diamètres internes de l'ensemble des pipettes fabriquées est de 1~mm, on se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5~\%. On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 200 pipettes prélevées dans la production de l'entreprise, associe la moyenne des diamètres des 200 pipettes. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler un tel prélèvement de 200 pipettes à un tirage aléatoire avec remise. \begin{list}{\textbullet}{On considère:} \item l'hypothèse nulle est : \og{}~$H_0 : m = 1$~\fg{}; \item l'hypothèse alternative est : \og{}~$H_1 : m \neq 1$~\fg{} \item le seuil de signification du test est fixé à 0,05. \end{list} On suppose que la variable aléatoire $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type égal à \np{0,0318}. \begin{enumerate} \item %Sous l'hypothèse nulle $H_0$, déterminer une valeur approchée du nombre réel positif $h$ tel que : %\[ %{P(m - h \leqslant \overline{X} \leqslant m + h)=\np{0.95}} %\] Sous l'hypothèse nulle $H_0$, $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $1$ et d'écart type égal à \np{0,0318}. On sait donc que \({\text{P}\left (m - 2\sigma \leqslant \overline{X} \leqslant m + 2\sigma\right )\approx\np{0.95}} \). Ainsi $h = 2\times\np{0,0318} \approx \np{\fpeval{round(2*0.0318,3)}} \text{ arrondi à }10^{-3}\text{ près}$. $1-0,064=0,936$ et $1+0,064=1,064$ Donc $\text{P}\left (\overline{X} \in \left [ 0,936\;;\;1,064\strut \right ] \right ) =0,95$. \item On énonce la règle de décision du test. Si la moyenne de l'échantillon observé appartient à l'intervalle $\left [ 0,936\;;\;1,064\strut \right ]$, on peut accepter au risque de 5\,\% l'hypothèse $H_0$, c'est-à-dire admettre que la moyenne des diamètres internes de l'ensemble des pipettes fabriquées est de 1~mm. Sinon, on rejette l'hypothèse $H_0$. \item On prélève au hasard 200 pipettes dans la production. Les mesures expérimentales ont permis d'obtenir le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{7cm}{*2{>{\centering\arraybackslash}X}} \toprule \textbf{Diamètre interne en mm} & \textbf{Nombres de pipettes} \\ \midrule $\left[\np{0.88}~;~\np{0.90}\right[$ & 2\\ $\left[\np{0.90}~;~\np{0.92}\right[$ & 5\\ $\left[\np{0.92}~;~\np{0.94}\right[$ & 11\\ $\left[\np{0.94}~;~\np{0.96}\right[$ & 12\\ $\left[\np{0.96}~;~\np{0.98}\right[$ & 15\\ $\left[\np{0.98}~;~\np{1.00}\right[$ & 65\\ $\left[\np{1.00}~;~\np{1.02}\right[$ & 70\\ $\left[\np{1.02}~;~\np{1.04}\right[$ & 10\\ $\left[\np{1.04}~;~\np{1.06}\right[$ & 8\\ $\left[\np{1.06}~;~\np{1.08}\right[$ & 2\\ \bottomrule \end{tabularx} \end{center} %\begin{center} %\begin{tabularx}{7cm}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}} %\hline %\cellcolor{lightgray}\textbf{Diamètre interne en mm} &\cellcolor{lightgray} \textbf{Nombres de pipettes} \\ %\hline %$\left[\np{0.88}~;~\np{0.90}\right[$ & 2\\ %\hline %$\left[\np{0.90}~;~\np{0.92}\right[$ & 5\\ %\hline %$\left[\np{0.92}~;~\np{0.94}\right[$ & 11\\ %\hline %$\left[\np{0.94}~;~\np{0.96}\right[$ & 12\\ %\hline %$\left[\np{0.96}~;~\np{0.98}\right[$ & 15\\ %\hline %$\left[\np{0.98}~;~\np{1.00}\right[$ & 65\\ %\hline %$\left[\np{1.00}~;~\np{1.02}\right[$ & 70\\ %\hline %$\left[\np{1.02}~;~\np{1.04}\right[$ & 10\\ %\hline %$\left[\np{1.04}~;~\np{1.06}\right[$ & 8\\ %\hline %$\left[\np{1.06}~;~\np{1.08}\right[$ & 2\\ %\hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item En utilisant les centres des intervalles, une valeur approchée du diamètre interne moyen $\overline{d}$ d'une pipette de cet échantillon est: $\overline{d} = \np{\fpeval{(2*0.89+5*0.91+11*0.93+12*0.95+15*0.97+65*0.99+70*1.01+10*1.03+8*1.05+2*1.07)/200}}$. \item %D'après les résultats de l'échantillon donné, peut-on accepter l'hypothèse \og{}~$H_0 : m = 1$~\fg{} ? Justifier. $\overline{d}= 0,992 \in\left [ 0,936\;;\;1,064\strut \right ]$ donc on peut accepter l'hypothèse $H_0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}