% arara: lualatex
% arara: lualatex if found('log', '(undefined references|Please rerun|Rerun to get)')
%
% pour compiler le document : arara {NOM_FICHIER}.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------%
% A.P.M.E.P. https://www.apmep.fr/                                                         %
% https://www.apmep.fr/Annales-examens-Brevet-CAP-BEP-Bac-BTS-et-concours-niveau-Terminale %
% Tapuscrit : Aymeric Picaud                                                                 %
% Relecture :                                                                %
%                                                                                          %
% Pensez à déclarer les ressources de l'APMEP dans vos établissements scolaires dans le    %
% cadre de l'enquête du CFC (centre français de copie) si vous faites partie du panel.     %
% https://www.apmep.fr/Ressources                                                          %
%------------------------------------------------------------------------------------------%
\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
% encodage des caractères
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% polices utilisées
\usepackage{fourier}
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%>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
% Fonts polices utilisées dans le document
%
%\usepackage{fontspec}
%\setmainfont{Luciole}
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%\usepackage{realscripts}
%\usepackage{setspace}
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%\usepackage{luciole-math}
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\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb} % caractères mathématiques
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\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol} % environnement pour zone multicolonnes \begin{multicols}{#nb col}…\end{multicols}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx} % tableaux extensibles
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem} % personnalisation des listes numérotées et à puces
%\usepackage{textcomp} % pour le symbole degré notamment
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} % figures avec pstricks
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
\usepackage{tikz} % figures avec tikz
\usepackage{pgfplots} % représentation graphique de fonction, données
\usetikzlibrary{calc}  % pour faire des calculs de coordonnées
\usepackage{esvect} % commande pour écrire les vecteurs \vv{arg} ou \vv*{arg}{ind}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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% marges
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\setlength{\headheight}{15 mm}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}% commande pour écrire les vecteurs \vect{arg}
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% commandes pour les repères
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\newcommand{\e}{\text{e}} % commande pour le nombre d'Euler, constante de Neper
\usepackage{fancyhdr} % pied et entête de page
\usepackage{hyperref} % liens et renvois
\usepackage[french]{babel} % prise en compte des langues
\usepackage[np]{numprint} % pour composer des nombres facilement \np[m]{1.345E3}
\usepackage{physics}% pour avoir les notations simple élément différentiel dx
\usepackage{tkz-tab}% tableaux de signes, de variation dans un environnement tikzpicture
\usepackage{booktabs}% tableaux de données au format universitaire
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\usepackage{qrcode} % pour créer des qrcode facilement
\usepackage[table]{xcolor} % accéder à une palette étendue de couleurs (prise en charge de la coloration de cellules de tableau)
%
\renewcommand\arraystretch{1.3} % réglage des espacements de lignes tableaux et matrices
\frenchsetup{StandardLists=true}
\renewcommand{\degre}{^\circ} % redéfinition de la commande degre en mode math
\newcommand{\textdegre}{$^\circ$} % définition de la commande degre en mode texte
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% Zone de définitions propres au sujet
%
\newcommand{\Auteur}{APMEP}
\newcommand{\APMEP}{\href{https://www.apmep.fr}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\newcommand{\Date}{  18 mai 2026  }
%
% métainformations du pdf produit
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% Début du document
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\begin{document}
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\rhead{\APMEP}
\lhead{\small{\Diplome \Zone}}
\lfoot{\small{\Sujet}}
\rfoot{\small{\Date}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\APMEP}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~\Diplome \Zone \Date~\decofourright\\[7pt]\Sujet\footnote{ANALYSES DE BIOLOGIE MÉDICALE, BIOANALYSES EN LABORATOIRE DE CONTRÔLE, BIOTECHNOLOGIES EN RECHERCHE ET EN PRODUCTION, EUROPLASTICS ET COMPOSITES, BIOQUALITÉ}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\medskip

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\section*{Exercice 1 \hfill 11 points}

La glycémie est le taux de glucose (sucre) contenu dans le sang. Elle est exprimée en gramme par litre de sang (g/L). Le taux normal de la glycémie (à jeun) est compris entre \np[g/L]{0,7} et \np[g/L]{1,1} de sang.

On étudie ici le processus d'élimination du glucose chez un adulte en bonne santé. À jeun, une injection de glucose est réalisée. On effectue plusieurs mesures de la glycémie. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant T qui donne la glycémie $g$ (en g/L) à l'instant $t$ désignant le temps écoulé, en heures, depuis l'injection :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\cellcolor{lightgray}$t_i$&\np{0.25}&\np{0.5}&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
\cellcolor{lightgray}$g_i$&\np{1.05}&\np{1.15}&\np{1.36}&\np{1.54}&\np{1.45}&\np{1.29}&\np{1.17}&\np{1.09}&\np{1.04}&\np{1.02}&\np{1.01}\\
\hline
\end{tabularx}
\bigskip

\textbf{Les parties A, B, et C peuvent être traitées de manière indépendante.}


\subsection*{Partie A}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
	scaled ticks=false,
	xticklabel style={/pgf/number format/.cd,fixed,precision=1},
	tick label style={font=\scriptsize},
	minor grid style={color=black!10!white},
	major grid style={color=black!20!white},
	ytick distance = 0.5,
	xtick distance = 1,
	width=14cm,
	height=6cm,
	ymin=-0.2,
	ymax=1.8,
	xmin=-0.8,
	xmax=9.8,
	axis lines=middle,
	grid=both,
	minor tick num=5
	%enlargelimits=false
	]

\addplot+ [only marks,mark=+,mark size={3pt},line width=1.2pt,color=black]
coordinates {
(0.25	,	1.05	)
(0.5		,	1.15	)
(1		,	1.36	)
(2		,	1.54	)
(3		,	1.45	)
(4		,	1.29	)
(5		,	1.17	)
(6		,	1.09	)
(7		,	1.04	)
(8		,	1.02	)
(9		,	1.01	)

};
%
\node [below left] at (axis cs:0,0) {\scriptsize 0};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A – Obtention d'une première modélisation (statistiques)}

\medskip

\noindent
\begin{enumerate}
\item Le nuage de points correspondant au tableau de valeurs $T$ a été représenté ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-0.8,-0.4)(9.5,1.75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(0,0)(9.5,1.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.35pt,gridcolor=orange](0,0)(9.5,1.75)
\multido{\n=0.5+1.0}{3}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](0,\n)(9.5,\n)}
\psdots(0.25,1.05)(0,5,1.15)(1,1.36)(2,1.54)(3,1.45)(4,1.29)(5,1.17)(6,1.09)(7,1.04)(8,1.01)(9,1.01)
\uput[u](9.2,0){$t_i$}\uput[r](0,1.65){$g_i$}
\end{pspicture*}
\end{center}

À la vue de ce nuage, un ajustement affine apparaît-il réalisable ? Pourquoi ? 

On effectue le changement de variable $y = \ln (g - 1)$.
\item On obtient alors le tableau $T_1$ ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{9}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&0,25	&0,5	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8	&9\\ \hline
$y_i$	&$y_1$&$y_2$&$- 1,022$&$-0,616$&$-0,799$&$-1,238$&$-1,772$&$-2,408$&$-3,219$&$- 3,912$&$-4,605$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Sur la copie, donner les valeurs manquantes $y_1$ et $y_2$ (on arrondira au millième).
		\item Donner la valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_1$.
	\end{enumerate}
\item On décide de supprimer les deux premières colonnes du tableau et de considérer la série statistique $(t~;~y)$ donnée par le tableau suivant $T_2$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
$y_i$& $-1,022$ &$-0,616$ &$-0,799$ &$-1,238$ &$-1,772$ &$-2,408$ &$-3,219$ &$-3,912$ &$-4,605$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_2$.
		\item Justifier que l'ajustement de la série statistique correspondant au tableau $T_2$ est de meilleure qualité que celui correspondant au tableau $T_1$.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $(t_i~;~y_i)$ de ce tableau $T_2$ sous la forme $y = at + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis au millième.
	\end{enumerate}
\item On considère le tableau suivant $T_3$, qui est le tableau $T$ auquel les deux premières colonnes ont été supprimées :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7	  &8	&9\\ \hline
$g_i$ 	&1,36 	&1,54 	&1,45 	&1,29 	&1,17 	&1,09 	&1,04 &1,02 &1,01\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question \textbf{3. c.} qu'une fonction $g$ ajustant le nuage de points $(t~;~g)$ de ce tableau $T_3$ en fonction du temps $t$ a pour expression : 
		
$g(t) = 1 + 1,41\e^{-0,5t}$.
		\item Cette modélisation par la fonction $g$ apparait-elle en accord avec les deux premières valeurs du tableau $T$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
	
%\item On considère le tableau suivant $T_3$, qui est le tableau $T$ auquel les deux premières colonnes ont été supprimées :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7	  &8	&9\\ \hline
%$g_i$ 	&1,36 	&1,54 	&1,45 	&1,29 	&1,17 	&1,09 	&1,04 &1,02 &1,01\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Déduire de la question \textbf{3. c.} qu'une fonction $g$ ajustant le nuage de points $(t_i~;~g_i)$ de ce tableau $T_3$ en fonction du temps $t$ a pour expression : $g(t) = 1 + 1,41\e^{-0,5t}$.
%		\item Cette modélisation par la fonction $g$ apparait-elle en accord avec les deux premières valeurs du tableau $T$ ? Justifier la réponse.
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  Obtention d'une seconde modélisation (équation différentielle)}

\medskip

%On admet ici que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[g(t) = 1 + t^2\e^{- t}\]
%
%modélise, en fonction du temps $t$ exprimé en heures, la glycémie de l'adulte $g(t)$, exprimée en g/L.
%
%Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ a été tracée en \textbf{annexe}, qui est à rendre avec la copie.
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à 1,1 g/L.
%
%En s'appuyant sur la courbe représentative de la fonction $g$, donner une estimation de la plage horaire sur laquelle l'adulte étudié est en hyperglycémie.
%
%Faire apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique de l'annexe.
%\end{enumerate}
%
%On admet que la vitesse instantanée à laquelle évolue la glycémie, exprimée en g/L par heure (g/L/h), à un temps donné $t_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $t_0$.
%
%\begin{enumerate}[resume]
%\item En s'appuyant sur la courbe représentative de la fonction $g$, indiquer si l 'affirmation \og la vitesse instantanée à laquelle évolue la glycémie est constante au cours du temps \fg{} est vraie ou fausse.
%
%Justifier.
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Par un raisonnement graphique, estimer la vitesse instantanée de variation de la glycémie au temps $t_0 = 6$~h. On détaillera le raisonnement et on fera apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique de l'annexe.
%		\item Que devrait-on calculer à partir de la fonction $g$ pour déterminer exactement la vitesse instantanée de variation de la glycémie au temps $t_0 = 6$~ h ? Le calcul n'est pas demandé.
%	\end{enumerate}
%\item On admet que: $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} t^2\e^{-t} = 0$.
%
%Donner alors la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Vérifier que la dérivée de la fonction $g$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g'(t) = t(2 - t)\e^{-t}$.
%
%En déduire le tableau de variations de la fonction $g$.
%		\item En déduire la valeur maximale de la glycémie (arrondie à $0,01$~g/L) de l'adulte étudié et au bout
%de combien de temps après l'injection elle est atteinte.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%\begin{enumerate}[resume]
%\item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à $1,1$~g/L.
%
%Sans justifier, indiquer ce que l'algorithme ci-contre permet de déterminer dans le contexte de l'exercice.
%\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.33\linewidth}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%T prend la valeur 2\\
%G prend la valeur $g(2)$\\
%Tant que $G \geqslant 1$\\
%\quad T prend la valeur T $+ 1/60$\\
%\quad G prend la valeur $g$(T)\\
%Fin Tant que\\
%Renvoyer T\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{minipage}

%\end{enumerate}
On admet ici que la glycémie (en g/L) de l'adulte étudié en fonction du temps $t$ (en heures) peut être modélisée par une fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$, qui est la solution de l'équation différentielle :

\[(E): \quad y' + y = 1 + 2t\e^{-t}\quad  \text{telle que }\enskip g(0) = 1.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E_0) :\quad  y' + y = 0$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 1 + t^2\e^{-t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item En déduire que la fonction $f$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
		\item Déterminer alors une expression de la solution 𝑔 de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $g(0) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\section*{Exercice 2 \hfill 9 points}

Une entreprise fabrique des pipettes destinées à être utilisées en laboratoire. Le cahier des charges impose à une pipette d'avoir un diamètre interne $d$ et une longueur $L$ conformes aux exigences des utilisateurs. La pipette est alors conforme. Sinon, elle est considérée comme défectueuse.

\bigskip

\textbf{Les parties A, B, et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\subsection*{Partie A}

L'entreprise met au point un nouveau contrôle automatisé qui vise à déterminer si une pipette est
conforme ou défectueuse. Toute pipette conforme devrait être acceptée au contrôle ; toute pipette
défectueuse devrait y être refusée. Toutefois :

\begin{itemize}[label={\textbullet}]
\item 96~\% des pipettes défectueuses sont refusées au contrôle ;
\item 99~\% des pipettes conformes sont acceptées au contrôle.
\end{itemize}

L'entreprise décide d'utiliser ce nouveau contrôle sur un lot comprenant un très grand nombre de
pipettes, tout en sachant que 3~\% des pipettes du lot sont défectueuses.
Une pipette est prélevée dans ce lot. On considère alors les évènements :
\begin{itemize}[label={\textbullet}]
\item $D$ : \og{}~la pipette est défectueuse~\fg{};
\item $R$ : \og{}~la pipette est refusée au contrôle~\fg{}.
\end{itemize}


On note respectivement $\overline{R}$ et $\overline{D}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $D$.

\begin{enumerate}
\item Recopier, sur la copie, l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]
{\TR{}}
{\pstree
	{\TR{$D~$}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree
	{\TR{$\overline{D}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est égale à \np{0,0385}.
\item La pipette est refusée au contrôle. Quelle est alors la probabilité que la pipette soit effectivement
défectueuse ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
\item Dans ce contexte de contrôle de conformité, il est important pour l'entreprise de \og{}~maîtriser le
risque~\fg{} qu'une pipette défectueuse soit acceptée au contrôle. Dans ce cadre, est-il plus pertinent
de connaître $\text{P}_D\left(\overline{R}\right)$ ou $\text{P}_{R}\left(\overline{D}\right)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\textit{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

Dans cette partie, on s'intéresse à la longueur $L$ des pipettes fabriquées. La probabilité qu'une pipette prélevée au hasard ait un défaut de longueur est égale à \np{0,02}.

La production est suffisamment importante pour que tout prélèvement au hasard de 550 pipettes dans la production puisse être assimilé à un tirage aléatoire avec remise.

On note ${X}$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 550 pipettes, associe le nombre de
pipettes ayant un défaut de longueur.


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? On justifiera la réponse et on donnera les paramètres de la loi.
\item Déterminer le nombre moyen de pipettes avec un défaut de longueur dans un échantillon de 550 pipettes prélevées au hasard.
\item On prélève au hasard 550 pipettes dans la production. Déterminer la probabilité de l'évènement : \og{}~le prélèvement contient exactement 10 pipettes ayant un défaut~\fg{}.
\end{enumerate}

On admet que la variable aléatoire $X$ peut être approximée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale.

\item Justifier que l'on peut prendre pour paramètres de cette loi normale : $m=11$ et $\sigma = \np{3.283}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la probabilité $p$ ne peut pas être déterminée en calculant $P(Y=10)$.
\item On admet qu'une valeur cohérente de $p$ est donnée par la probabilité 

${P(\np{9.5} \leqslant Y \leqslant \np{10.5})}$.

Déterminer la valeur de la probabilité ${P(\np{9.5} \leqslant Y \leqslant \np{10.5})}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre interne des pipettes fabriquées. Afin de contrôler si la moyenne $m$ des diamètres internes de l'ensemble des pipettes fabriquées est de 1~mm, on se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5~\%.

On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $200$~pipettes prélevées dans la production de l'entreprise, associe la moyenne des diamètres des $200$~pipettes. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler un tel prélèvement de $200$~pipettes à un tirage aléatoire avec remise.

On considère :

\begin{itemize}[label={\textbullet}]
\item l'hypothèse nulle est : \og{}~$H_0 : m = 1$~\fg{};
\item l'hypothèse alternative est : \og{}~$H_1 : m \neq 1$~\fg{}
\item le seuil de signification du test est fixé à 0,05.
\end{itemize}

On suppose que la variable aléatoire $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type égal à \np{0,0318}.


\begin{enumerate}
\item  Sous l'hypothèse nulle $H_0$, déterminer une valeur approchée du nombre réel positif $h$ tel que :

\[{P(m - h \leqslant \overline{X} \leqslant m + h)=\np{0.95}}\]

\item Énoncer la règle de décision du test.
\item On prélève au hasard 200 pipettes dans la production. Les mesures expérimentales ont permis d'obtenir le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{7cm}{*2{>{\centering\arraybackslash}X}}
\toprule
\textbf{Diamètre interne en mm} & \textbf{Nombres de pipettes} \\
\midrule
$\left[\np{0.88}~;~\np{0.90}\right[$ & 2\\
$\left[\np{0.90}~;~\np{0.92}\right[$ & 5\\
$\left[\np{0.92}~;~\np{0.94}\right[$ & 11\\
$\left[\np{0.94}~;~\np{0.96}\right[$ & 12\\
$\left[\np{0.96}~;~\np{0.98}\right[$ & 15\\
$\left[\np{0.98}~;~\np{1.00}\right[$ & 65\\
$\left[\np{1.00}~;~\np{1.02}\right[$ & 70\\
$\left[\np{1.02}~;~\np{1.04}\right[$ & 10\\
$\left[\np{1.04}~;~\np{1.06}\right[$ & 8\\
$\left[\np{1.06}~;~\np{1.08}\right[$ & 2\\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{7cm}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\cellcolor{lightgray}\textbf{Diamètre interne en mm} &\cellcolor{lightgray} \textbf{Nombres de pipettes} \\
\hline
$\left[\np{0.88}~;~\np{0.90}\right[$ & 2\\
\hline
$\left[\np{0.90}~;~\np{0.92}\right[$ & 5\\
\hline
$\left[\np{0.92}~;~\np{0.94}\right[$ & 11\\
\hline
$\left[\np{0.94}~;~\np{0.96}\right[$ & 12\\
\hline
$\left[\np{0.96}~;~\np{0.98}\right[$ & 15\\
\hline
$\left[\np{0.98}~;~\np{1.00}\right[$ & 65\\
\hline
$\left[\np{1.00}~;~\np{1.02}\right[$ & 70\\
\hline
$\left[\np{1.02}~;~\np{1.04}\right[$ & 10\\
\hline
$\left[\np{1.04}~;~\np{1.06}\right[$ & 8\\
\hline
$\left[\np{1.06}~;~\np{1.08}\right[$ & 2\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les centres des intervalles, calculer une valeur approchée du diamètre interne moyen $\overline{d}$ d'une pipette de cet échantillon.
\item D'après les résultats de l'échantillon donné, peut-on accepter l'hypothèse \og{}~$H_0 : m = 1$~\fg{} ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}