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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Relecture 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D2}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\textbf{\Large{\decofourleft~BTS Groupement D2\footnote{Métiers de l'eau} -- 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles -- Guyane -- Polynésie}}}

\medskip

Durée : 2 heures

\medskip

\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.}

\textbf{L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.}

\end{center}

\bigskip

\section*{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

La glycémie est le taux de glucose (sucre) contenu dans le sang. Elle est exprimée en gramme par litre de sang (g/L). Le taux normal de la glycémie (à jeun) est compris entre 0,7 g/L et 1,1 g/L de sang.

On étudie ici le processus d’élimination du glucose chez un adulte en bonne santé. À jeun, une injection de glucose est réalisée. On effectue plusieurs mesures de la glycémie. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant, $T$ qui donne la glycémie $g_i$ (en g/L) à l’instant $t_i$ désignant le temps écoulé, en heures, depuis l’injection :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&0,25	&0,5	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8	&9\\ \hline
$g_i$&1,05 &1,15 &1,36 &1,54 &1,45 &1,29 &1,17 &1,09 &1,04 &1,02 &1,01\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A – Obtention d’une première modélisation (statistiques)}

\medskip

\noindent
\begin{enumerate}
\item Le nuage de points correspondant au tableau de valeurs $T$ a été représenté ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-0.8,-0.4)(9.5,1.75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(0,0)(9.5,1.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.35pt,gridcolor=orange](0,0)(9.5,1.75)
\multido{\n=0.5+1.0}{3}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](0,\n)(9.5,\n)}
\psdots(0.25,1.05)(0,5,1.15)(1,1.36)(2,1.54)(3,1.45)(4,1.29)(5,1.17)(6,1.09)(7,1.04)(8,1.01)(9,1.01)
\uput[u](9.2,0){$t_i$}\uput[r](0,1.65){$g_i$}
\end{pspicture*}
\end{center}

À la vue de ce nuage, un ajustement affine apparaît-il réalisable ? Pourquoi ? 

On effectue le changement de variable $y = \ln (g - 1)$.

On obtient alors le tableau $T_1$ ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&0,25	&0,5	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8	&9\\ \hline
$y_i$	&$y_1$&$y_2$&$- 1,022$&$-0,616$&$-0,799$&$-1,238$&$-1,772$&$-2,408$&$-3,219$&$- 3,912$&$-4,605$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Sur la copie, donner les valeurs manquantes $y_1$ et $y_2$ (on arrondira au millième).
		\item Donner la valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_1$.
	\end{enumerate}
\item On décide de supprimer les deux premières colonnes du tableau et de considérer la série statistique $(t~;~y)$ donnée par le tableau suivant $T_2$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
$y_i$& $-1,022$ &$-0,616$ &$-0,799$ &$-1,238$ &$-1,772$ &$-2,408$ &$-3,219$ &$-3,912$ &$-4,605$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_2$.
		\item Justifier que l’ajustement de la série statistique correspondant au tableau $T_2$ est de meilleure qualité que celui correspondant au tableau $T_1$.
		\item À l’aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d’ajustement du nuage de points $(t_i~;~y_i)$ de ce tableau $T_2$ sous la forme $y = at + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis au millième.
	\end{enumerate}
\item On considère le tableau suivant $T_3$, qui est le tableau $T$ auquel les deux premières colonnes ont été supprimées :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7	  &8	&9\\ \hline
$g_i$ 	&1,36 	&1,54 	&1,45 	&1,29 	&1,17 	&1,09 	&1,04 &1,02 &1,01\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question \textbf{3. c.} qu’une fonction $g$ ajustant le nuage de points $(t_i~;~g_i)$ de ce tableau $T_3$ en fonction du temps $t$ a pour expression : $g(t) = 1 + 1,41\e^{-0,5t}$.
		\item Cette modélisation par la fonction $g$ apparait-elle en accord avec les deux premières valeurs du tableau $T$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B – Étude d’une seconde modélisation}

\medskip

On admet ici que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(t) = 1 + t^2\e^{- t}\]

modélise, en fonction du temps $t$ exprimé en heures, la glycémie de l’adulte $g(t)$, exprimée en g/L.

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ a été tracée en \textbf{annexe}, qui est à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à 1,1 g/L.

En s’appuyant sur la courbe représentative de la fonction $g$, donner une estimation de la plage horaire sur laquelle l’adulte étudié est en hyperglycémie.

Faire apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique de l’annexe.
\end{enumerate}

On admet que la vitesse instantanée à laquelle évolue la glycémie, exprimée en g/L par heure (g/L/h), à un temps donné $t_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $t_0$.

\begin{enumerate}[resume]
\item En s’appuyant sur la courbe représentative de la fonction $g$, indiquer si l ’affirmation \og la vitesse instantanée à laquelle évolue la glycémie est constante au cours du temps \fg{} est vraie ou fausse.

Justifier.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Par un raisonnement graphique, estimer la vitesse instantanée de variation de la glycémie au temps $t_0 = 6$~h. On détaillera le raisonnement et on fera apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique de l’annexe.
		\item Que devrait-on calculer à partir de la fonction $g$ pour déterminer exactement la vitesse instantanée de variation de la glycémie au temps $t_0 = 6$~ h ? Le calcul n’est pas demandé.
	\end{enumerate}
\item On admet que: $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} t^2\e^{-t} = 0$.

Donner alors la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la dérivée de la fonction $g$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g'(t) = t(2 - t)\e^{-t}$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $g$.
		\item En déduire la valeur maximale de la glycémie (arrondie à $0,01$~g/L) de l’adulte étudié et au bout
de combien de temps après l’injection elle est atteinte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à $1,1$~g/L.

Sans justifier, indiquer ce que l’algorithme ci-contre permet de déterminer dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
T prend la valeur 2\\
G prend la valeur $g(2)$\\
Tant que $G \geqslant 1$\\
\quad T prend la valeur T $+ 1/60$\\
\quad G prend la valeur $g$(T)\\
Fin Tant que\\
Renvoyer T\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pipettes destinées à être utilisées en laboratoire.

Le cahier des charges impose à une pipette d'avoir un diamètre interne $d$ et une longueur $L$ conformes aux exigences des utilisateurs. La pipette est alors conforme. Sinon, elle est considérée comme défectueuse.

Dans cet exercice, pour tout évènement $A$, on notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$.

\begin{center}\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

L’entreprise met au point un nouveau contrôle automatisé qui vise à déterminer si une pipette est conforme ou défectueuse.

Toute pipette conforme devrait être acceptée au contrôle ; toute pipette défectueuse devrait y être refusée. Toutefois :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 96\,\% des pipettes défectueuses sont refusées au contrôle ;
\item 99\,\% des pipettes conformes sont acceptées au contrôle.
\end{itemize}

\medskip

L’entreprise décide d’utiliser ce nouveau contrôle sur un lot comprenant un très grand nombre de pipettes, tout en sachant que 3\,\% des pipettes du lot sont défectueuses.

Une pipette est prélevée dans ce lot. On considère alors les évènements :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $D$ : « la pipette est défectueuse » ;
\item $R$: « la pipette est refusée au contrôle ».
\end{itemize}

\medskip

On note respectivement $\overline{R}$ et $\overline{D}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $D$.




\end{document}