\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-coil,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.cm, right=3.cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement D2}, pdftitle = {Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} %\DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\small{Groupement D2}} \rfoot{\small{16 mai 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\textbf{\Large{\decofourleft~BTS Groupement D2\footnote{Métiers de l'eau} -- 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles -- Guyane -- Polynésie}}} \medskip Durée : 2 heures \medskip \textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.} \textbf{L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.} \end{center} \bigskip \section*{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip La glycémie est le taux de glucose (sucre) contenu dans le sang. Elle est exprimée en gramme par litre de sang (g/L). Le taux normal de la glycémie (à jeun) est compris entre 0,7 g/L et 1,1 g/L de sang. On étudie ici le processus d’élimination du glucose chez un adulte en bonne santé. À jeun, une injection de glucose est réalisée. On effectue plusieurs mesures de la glycémie. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant, $T$ qui donne la glycémie $g_i$ (en g/L) à l’instant $t_i$ désignant le temps écoulé, en heures, depuis l’injection : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ &0,25 &0,5 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8 &9\\ \hline $g_i$&1,05 &1,15 &1,36 &1,54 &1,45 &1,29 &1,17 &1,09 &1,04 &1,02 &1,01\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \end{center} \medskip \textbf{Partie A – Obtention d’une première modélisation (statistiques)} \medskip \noindent \begin{enumerate} \item Le nuage de points correspondant au tableau de valeurs $T$ a été représenté ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3,comma} \begin{pspicture*}(-0.8,-0.4)(9.5,1.75) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(0,0)(9.5,1.75) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.35pt,gridcolor=orange](0,0)(9.5,1.75) \multido{\n=0.5+1.0}{3}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](0,\n)(9.5,\n)} \psdots(0.25,1.05)(0,5,1.15)(1,1.36)(2,1.54)(3,1.45)(4,1.29)(5,1.17)(6,1.09)(7,1.04)(8,1.01)(9,1.01) \uput[u](9.2,0){$t_i$}\uput[r](0,1.65){$g_i$} \end{pspicture*} \end{center} À la vue de ce nuage, un ajustement affine apparaît-il réalisable ? Pourquoi ? On effectue le changement de variable $y = \ln (g - 1)$. On obtient alors le tableau $T_1$ ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ &0,25 &0,5 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8 &9\\ \hline $y_i$ &$y_1$&$y_2$&$- 1,022$&$-0,616$&$-0,799$&$-1,238$&$-1,772$&$-2,408$&$-3,219$&$- 3,912$&$-4,605$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Sur la copie, donner les valeurs manquantes $y_1$ et $y_2$ (on arrondira au millième). \item Donner la valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_1$. \end{enumerate} \item On décide de supprimer les deux premières colonnes du tableau et de considérer la série statistique $(t~;~y)$ donnée par le tableau suivant $T_2$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline $y_i$& $-1,022$ &$-0,616$ &$-0,799$ &$-1,238$ &$-1,772$ &$-2,408$ &$-3,219$ &$-3,912$ &$-4,605$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner la valeur, arrondie à 0,01, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique correspondant au tableau $T_2$. \item Justifier que l’ajustement de la série statistique correspondant au tableau $T_2$ est de meilleure qualité que celui correspondant au tableau $T_1$. \item À l’aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d’ajustement du nuage de points $(t_i~;~y_i)$ de ce tableau $T_2$ sous la forme $y = at + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis au millième. \end{enumerate} \item On considère le tableau suivant $T_3$, qui est le tableau $T$ auquel les deux premières colonnes ont été supprimées : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline $g_i$ &1,36 &1,54 &1,45 &1,29 &1,17 &1,09 &1,04 &1,02 &1,01\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déduire de la question \textbf{3. c.} qu’une fonction $g$ ajustant le nuage de points $(t_i~;~g_i)$ de ce tableau $T_3$ en fonction du temps $t$ a pour expression : $g(t) = 1 + 1,41\e^{-0,5t}$. \item Cette modélisation par la fonction $g$ apparait-elle en accord avec les deux premières valeurs du tableau $T$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B – Étude d’une seconde modélisation} \medskip On admet ici que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(t) = 1 + t^2\e^{- t}\] modélise, en fonction du temps $t$ exprimé en heures, la glycémie de l’adulte $g(t)$, exprimée en g/L. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ a été tracée en \textbf{annexe}, qui est à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à 1,1 g/L. En s’appuyant sur la courbe représentative de la fonction $g$, donner une estimation de la plage horaire sur laquelle l’adulte étudié est en hyperglycémie. Faire apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique de l’annexe. \end{enumerate} On admet que la vitesse instantanée à laquelle évolue la glycémie, exprimée en g/L par heure (g/L/h), à un temps donné $t_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $t_0$. \begin{enumerate}[resume] \item En s’appuyant sur la courbe représentative de la fonction $g$, indiquer si l ’affirmation \og la vitesse instantanée à laquelle évolue la glycémie est constante au cours du temps \fg{} est vraie ou fausse. Justifier. \item \begin{enumerate} \item Par un raisonnement graphique, estimer la vitesse instantanée de variation de la glycémie au temps $t_0 = 6$~h. On détaillera le raisonnement et on fera apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique de l’annexe. \item Que devrait-on calculer à partir de la fonction $g$ pour déterminer exactement la vitesse instantanée de variation de la glycémie au temps $t_0 = 6$~ h ? Le calcul n’est pas demandé. \end{enumerate} \item On admet que: $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} t^2\e^{-t} = 0$. Donner alors la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la dérivée de la fonction $g$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g'(t) = t(2 - t)\e^{-t}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $g$. \item En déduire la valeur maximale de la glycémie (arrondie à $0,01$~g/L) de l’adulte étudié et au bout de combien de temps après l’injection elle est atteinte. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Un adulte à jeun est considéré en hyperglycémie quand sa glycémie est supérieure ou égale à $1,1$~g/L. Sans justifier, indiquer ce que l’algorithme ci-contre permet de déterminer dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \begin{tabular}{|l|}\hline T prend la valeur 2\\ G prend la valeur $g(2)$\\ Tant que $G \geqslant 1$\\ \quad T prend la valeur T $+ 1/60$\\ \quad G prend la valeur $g$(T)\\ Fin Tant que\\ Renvoyer T\\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \section*{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip Une entreprise fabrique des pipettes destinées à être utilisées en laboratoire. Le cahier des charges impose à une pipette d'avoir un diamètre interne $d$ et une longueur $L$ conformes aux exigences des utilisateurs. La pipette est alors conforme. Sinon, elle est considérée comme défectueuse. Dans cet exercice, pour tout évènement $A$, on notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$. \begin{center}\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center} \textbf{Partie A} \medskip L’entreprise met au point un nouveau contrôle automatisé qui vise à déterminer si une pipette est conforme ou défectueuse. Toute pipette conforme devrait être acceptée au contrôle ; toute pipette défectueuse devrait y être refusée. Toutefois : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 96\,\% des pipettes défectueuses sont refusées au contrôle ; \item 99\,\% des pipettes conformes sont acceptées au contrôle. \end{itemize} \medskip L’entreprise décide d’utiliser ce nouveau contrôle sur un lot comprenant un très grand nombre de pipettes, tout en sachant que 3\,\% des pipettes du lot sont défectueuses. Une pipette est prélevée dans ce lot. On considère alors les évènements : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $D$ : « la pipette est défectueuse » ; \item $R$: « la pipette est refusée au contrôle ». \end{itemize} \medskip On note respectivement $\overline{R}$ et $\overline{D}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $D$. \end{document}