% !TeX TXS-program:compile = txs:///arara
% =====================================================================
% BTS SIO — Session 2026 — Épreuve E3 Mathématiques pour l'informatique
% Sujet 26SIE3MATPI — 7 pages — Durée 2 heures — Coefficient 3
% Métropole / Antilles-Guyane / Polynésie — 18 mai 2026
% =====================================================================
%
% Ce fichier contient le sujet ET son corrigé. La bascule s'effectue
% via le booléen \ifcorrige défini ci-dessous :
%   \corrigefalse  -> version sujet (énoncé seul)
%   \corrigetrue   -> version corrigé (énoncé + corrections en fond gris)
% Le fichier corrige.tex est identique à celui-ci, sauf cette ligne.

\documentclass[11pt]{article}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%   le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%   le e de l'exponentielle
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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% ----- Tolérance césure (évite les overfull mineurs)
\emergencystretch=3em
\hyphenation{re-cou-vri-ment cor-res-pon-dance bool-een-ne ham-il-to-nien
             tran-si-tive}

% =====================================================================
% Booléen de bascule sujet / corrigé
% =====================================================================
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\corrigefalse % <-- mettre \corrigetrue pour générer le corrigé

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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur \\
Métropole Antilles-Guyane Polynésie}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques pour l'informatique}
\rfoot{\small 18 mai 2026}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 18 mai 2026~\decofourright\\[7pt]
Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
\textbf{Épreuve de mathématiques pour l'informatique}\ifcorrige\\[4pt]\textbf{-- Corrigé --}\fi

\medskip

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.}

\textbf{Durée : 2 heures}

\textbf{Coefficient : 3}
\end{center}

\smallskip

% =====================================================================
\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule affirmation est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte.\\
Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est pas pénalisée.\\
Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre écrit en base deux $(10110{,}11101)_2$. Son écriture en base dix est :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A. $22{,}71875$. & B. $45{,}8125$. & C. $22{,}90625$. \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\debsol
$(10110{,}11101)_2 = 1\times 2^4 + 1\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1\times 2^{-1} + 1\times 2^{-2} + 1\times 2^{-3} + 1\times 2^{-5}$\\
\phantom{$(10110{,}11101)_2$} $= 16 + 4 + 2 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + 0{,}03125 = 22{,}90625$.

\textbf{Réponse C.}
\finsol

\item On considère les nombres, écrits en base seize, $(3D8)_{16}$ et $(2C5)_{16}$. La somme écrite en base seize de ces nombres est égale à :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A. $(763)_{16}$. & B. $(69D)_{16}$. & C. $(148F)_{16}$. \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\debsol
On peut poser l'addition en base seize, colonne par colonne :
\[
\begin{array}{r@{\;\;}c@{\;\;}c@{\;\;}c}
  & \scriptstyle{1} & \scriptstyle{0} & \scriptstyle{} \\
  & 3 & D & 8 \\
+ & 2 & C & 5 \\ \hline
  & 6 & 9 & D
\end{array}
\]
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item Unités : $8+5 = 13 = D$, retenue $0$.
\item Seizaines : $D+C = 13+12 = 25 = 16 + 9$, chiffre $9$, retenue $1$.
\item $256$\,aines : $3+2+1 = 6$, chiffre $6$.
\end{itemize}
Donc $(3D8)_{16} + (2C5)_{16} = (69D)_{16}$.

\textbf{Réponse B.}
\finsol
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Pour les deux questions qui suivent}, on considère trois ensembles $E$, $F$ et $G$. On définit une application $f$ de $E$ vers $F$ et une application $g$ de $F$ vers $G$ par les diagrammes suivants.

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, every node/.style={font=\small}]
% --- Diagramme f : E -> F ---
\node at (0,3.6) {$E$};
\node at (1.7,3.6) {$f$};
\node at (3.4,3.6) {$F$};
\draw (0,1) ellipse (0.55 and 2.2);
\draw (3.4,1) ellipse (0.55 and 2.0);
% éléments de E
\node (e1) at (0,2.6) {$1$};
\node (e2) at (0,1.8) {$2$};
\node (e3) at (0,1.0) {$3$};
\node (e4) at (0,0.2) {$4$};
\node (e5) at (0,-0.6) {$5$};
% éléments de F
\node (fa) at (3.4,2.4) {$a$};
\node (fb) at (3.4,1.6) {$b$};
\node (fc) at (3.4,0.8) {$c$};
\node (fd) at (3.4,0.0) {$d$};
% flèches
\draw[->] (e1) -- (fb);
\draw[->] (e2) -- (fa);
\draw[->] (e3) -- (fd);
\draw[->] (e4) -- (fa);
\draw[->] (e5) -- (fc);

% --- Diagramme g : F -> G ---
\begin{scope}[xshift=7cm]
\node at (0,3.6) {$F$};
\node at (1.7,3.6) {$g$};
\node at (3.4,3.6) {$G$};
\draw (0,1) ellipse (0.55 and 2.0);
\draw (3.4,1) ellipse (0.55 and 2.0);
% éléments de F
\node (ga) at (0,2.4) {$a$};
\node (gb) at (0,1.6) {$b$};
\node (gc) at (0,0.8) {$c$};
\node (gd) at (0,0.0) {$d$};
% éléments de G
\node (Gx) at (3.4,2.4) {$x$};
\node (Gy) at (3.4,1.6) {$y$};
\node (Gz) at (3.4,0.8) {$z$};
\node (Gt) at (3.4,0.0) {$t$};
% flèches
\draw[->] (ga) -- (Gy);
\draw[->] (gb) -- (Gt);
\draw[->] (gc) -- (Gz);
\draw[->] (gd) -- (Gx);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Parmi les trois propositions suivantes, laquelle est exacte ?

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A. $f^{-1}\left(\{a\,;\,b\}\right) = \{1\,;\,2\}$ &
B. \begin{tabular}{@{}c@{}}$f\left(\{1\,;\,2\}\cap\{2\,;\,3\}\right)$\\$=\{a\,;\,b\,;\,d\}$\end{tabular} &
C. $\overline{f^{-1}\left(\{c\,;\,d\}\right)} = f^{-1}\left(\{a\,;\,b\}\right)$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\debsol
D'après le diagramme : $f(1)=b$, $f(2)=a$, $f(3)=d$, $f(4)=a$, $f(5)=c$. Donc :
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item $f^{-1}\left(\{a\,;\,b\}\right) = \{1\,;\,2\,;\,4\}$, qui n'est pas égal à $\{1\,;\,2\}$ : A est fausse.
\item $\{1\,;\,2\}\cap\{2\,;\,3\} = \{2\}$ donc $f\left(\{2\}\right) = \{a\}$ qui n'est pas égal à $\{a\,;\,b\,;\,d\}$ : B est fausse.
\item $f^{-1}\left(\{c\,;\,d\}\right) = \{3\,;\,5\}$, dont le complémentaire dans $E$ est $\{1\,;\,2\,;\,4\}$, qui est bien égal à $f^{-1}\left(\{a\,;\,b\}\right)$ : \textbf{C est exacte}.
\end{itemize}

\textbf{Réponse C.}
\finsol

\item L'image de $4$ par l'application composée de $f$ par $g$, notée $g\circ f$, est :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A. $x$ & B. $y$ & C. $z$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\debsol
$f(4) = a$ d'après le diagramme de $f$, puis $g(a) = y$ d'après le diagramme de $g$.

Donc $g\circ f(4) = g\left(f(4)\right) = g(a) = y$.

\textbf{Réponse B.}
\finsol
\end{enumerate}

\bigskip

% =====================================================================
\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un système de codage affine est un système de chiffrement basé sur la correspondance entre les lettres de l'alphabet et les entiers compris entre $0$ et $25$.

La table de correspondance est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M \\ \hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z \\ \hline
13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Le codage consiste tout d'abord à choisir une clé qui est un couple d'entiers $(a\,;\,b)$ avec $1 \leqslant a \leqslant 25$ et $0 \leqslant b \leqslant 25$.

Pour coder une lettre :
\begin{itemize}
\item on détermine l'entier $x$ qui lui correspond dans la table de correspondance ;
\item on calcule $ax+b$ puis on détermine l'entier $y$ compris entre $0$ et $25$ tel que $ax+b \equiv y\ [26]$ ;
\item on détermine la lettre associée à $y$ dans la table de correspondance.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Exemple :} Codons la lettre H avec la clé $(9\,;\,5)$.
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item H correspond à $x = 7$ ;
\item $9 \times 7 + 5 = 68$ et $68 \equiv 16\ [26]$ donc $y = 16$ ;
\item $y = 16$ correspond à la lettre Q donc H est codée en Q.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder le mot SI avec la clé $(9\,;\,5)$ en détaillant les différentes étapes.

\debsol
\textbf{Lettre S :} $x = 18$. $9\times 18 + 5 = 167$. Or $167 = 6\times 26 + 11$, donc $167 \equiv 11\ [26]$. L'entier $11$ correspond à la lettre \textbf{L}.

\textbf{Lettre I :} $x = 8$. $9\times 8 + 5 = 77$. Or $77 = 2\times 26 + 25$, donc $77 \equiv 25\ [26]$. L'entier $25$ correspond à la lettre \textbf{Z}.

Le mot SI est codé en \textbf{LZ} avec la clé $(9\,;\,5)$.
\finsol

\item Toutes les clés de codage $(a\,;\,b)$ ne permettent pas de crypter un message convenablement. On admet qu'une clé de codage est acceptable si et seulement si l'entier $a$ est premier avec $26$. Il n'y a pas de condition sur $b$ (donc $26$ choix possibles pour $b$).

Recopier et compléter les lignes numérotées \textbf{3, 4 et 5} de l'algorithme définissant la fonction \texttt{nbCles()} qui renvoie le nombre de clés $(a\,;\,b)$ acceptables et dans laquelle la fonction \texttt{pgcd(}$u$\texttt{, }$v$\texttt{)} renvoie le plus grand diviseur commun des entiers $u$ et $v$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{1\hphantom{0}} \quad \textbf{Fonction} \texttt{nbCles}() \\
\textbf{2\hphantom{0}} \quad \quad \texttt{nb} $\leftarrow 0$ \\
\textbf{3\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Pour} $a$ allant de $1$ à \dots \ \textbf{faire} \\
\textbf{4\hphantom{0}} \quad \quad \quad \textbf{Si} \texttt{pgcd}($a\,,\,26$) $= \dots$ \ \textbf{alors} \\
\textbf{5\hphantom{0}} \quad \quad \quad \quad \texttt{nb} $\leftarrow \dots$ \\
\textbf{6\hphantom{0}} \quad \quad \quad \textbf{Fin de Si} \\
\textbf{7\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Fin de Pour} \\
\textbf{8\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Renvoyer} \texttt{nb} $\times 26$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\debsol
On parcourt les entiers $a$ de $1$ à $25$ et on incrémente \texttt{nb} chaque fois que $a$ est premier avec $26$, c'est-à-dire que $\text{pgcd}(a\,,\,26) = 1$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{1\hphantom{0}} \quad \textbf{Fonction} \texttt{nbCles}() \\
\textbf{2\hphantom{0}} \quad \quad \texttt{nb} $\leftarrow 0$ \\
\textbf{3\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Pour} $a$ allant de $1$ à $\mathbf{25}$ \ \textbf{faire} \\
\textbf{4\hphantom{0}} \quad \quad \quad \textbf{Si} \texttt{pgcd}($\mathbf{a}\,,\,26$) $= \mathbf{1}$ \ \textbf{alors} \\
\textbf{5\hphantom{0}} \quad \quad \quad \quad \texttt{nb} $\leftarrow \mathbf{\texttt{nb} + 1}$ \\
\hphantom{\textbf{0}} \quad \quad \quad \textbf{Fin de Si} \\
\hphantom{\textbf{0}} \quad \quad \textbf{Fin de Pour} \\
\textbf{6\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Renvoyer} \texttt{nb} $\times 26$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Remarque} : les entiers premiers avec $26$ entre $1$ et $25$ sont $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$, soit $12$ valeurs. La fonction renvoie donc $12 \times 26 = 312$ clés acceptables.
\finsol
\end{enumerate}

\medskip

Pour déterminer la clé de décodage associée à la clé de codage $(a\,;\,b)$, il est nécessaire de déterminer un entier $c$ compris entre $0$ et $25$ tel que $ac \equiv 1\ [26]$.

La fonction \texttt{inverse} de paramètre $a$ donnée ci-dessous renvoie le plus petit entier $c$ compris entre $0$ et $25$ tel que $ac \equiv 1\ [26]$.

La fonction \og \texttt{reste(}$u$\texttt{, }$n$\texttt{)} \fg\ qui est utilisée ci-dessous renvoie le reste de la division euclidienne d'un entier naturel $u$ par un entier naturel non nul $n$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{1\hphantom{0}} \quad \textbf{Fonction} \texttt{inverse}($a$) \\
\textbf{2\hphantom{0}} \quad \quad $c \leftarrow 1$ \\
\textbf{3\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Tant que} \texttt{reste}($a \times c$, $26$) \dots \ \textbf{faire} \\
\textbf{4\hphantom{0}} \quad \quad \quad $c \leftarrow c + 1$ \\
\textbf{5\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Renvoyer} \dots \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes numérotées \textbf{3} et \textbf{5} de l'algorithme définissant la fonction \texttt{inverse} de paramètre $a$.

\debsol
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{3\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Tant que} \texttt{reste}($a \times c$, $26$) $\mathbf{\neq 1}$ \ \textbf{faire} \\
\textbf{5\hphantom{0}} \quad \quad \textbf{Renvoyer} $\mathbf{c}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\finsol

\item Déterminer l'entier renvoyé par \texttt{inverse}($9$).

\debsol
On déroule l'algorithme avec $a = 9$ :
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item $c = 1$ : $\texttt{reste}(9\times 1\,,\,26) = 9 \neq 1$, on continue ;
\item $c = 2$ : $\texttt{reste}(18\,,\,26) = 18 \neq 1$, on continue ;
\item $c = 3$ : $\texttt{reste}(27\,,\,26) = 1$, on s'arrête.
\end{itemize}
Donc \texttt{inverse}($9$) renvoie $\mathbf{3}$.
\finsol
\end{enumerate}

\item Soient $x$ et $y$ deux entiers compris entre $0$ et $25$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $9x + 5 \equiv y\ [26]$ alors $x + 15 \equiv 3y\ [26]$.

\debsol
On suppose que $9x + 5 \equiv y\ [26]$. En multipliant les deux membres par $3$ :
\[3\times (9x+5) \equiv 3y\ [26] \iff 27x + 15 \equiv 3y\ [26].\]
Or $27 = 26 + 1$, donc $27x \equiv x\ [26]$. On en déduit :
\[x + 15 \equiv 3y\ [26].\]
\finsol

\item On admet que si $y$ est l'entier associé à une lettre codée, alors l'entier $x$ correspondant à la lettre décodée vérifie $x \equiv 3y + 11\ [26]$. Décoder le mot ZA.

\debsol
\textbf{Lettre Z :} $y = 25$. $3\times 25 + 11 = 86$. Or $86 = 3\times 26 + 8$, donc $86 \equiv 8\ [26]$. L'entier $8$ correspond à la lettre \textbf{I}.

\textbf{Lettre A :} $y = 0$. $3\times 0 + 11 = 11$. L'entier $11$ correspond à la lettre \textbf{L}.

Le mot ZA est décodé en \textbf{IL}.
\finsol
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

% =====================================================================
\textbf{\large Exercice 3 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le gérant d'un restaurant de type buffet à volonté propose la grille tarifaire (en euros) résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} & Enfant de $6$ ans ou moins & Enfant entre $7$ et $13$ ans & Adulte \\ \hline
Midi & $7$ & $12$ & $20$ \\ \hline
Soir & $7$ & $15$ & $30$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Le gérant s'intéresse à un groupe de clients potentiels constitué de $2$ enfants de $6$ ans ou moins, de $3$ enfants entre $7$ et $13$ ans et de $4$ adultes.

On considère les matrices $P = \begin{pmatrix} 7 & 12 & 20 \\ 7 & 15 & 30 \end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le produit matriciel $P \times N$ puis interpréter les coefficients de $P \times N$ dans le contexte de l'exercice.

\debsol
\[
P \times N = \begin{pmatrix} 7\times 2 + 12\times 3 + 20\times 4 \\ 7\times 2 + 15\times 3 + 30\times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14+36+80 \\ 14+45+120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 130 \\ 179 \end{pmatrix}.
\]
Le coefficient $130$ représente le montant total facturé en euros pour le groupe le midi, et $179$ représente le montant total facturé en euros pour le même groupe le soir.
\finsol

\item Le gérant estime que sa tarification du midi n'est pas assez rentable. Il souhaite augmenter le tarif du menu adulte le midi uniquement. On note $t$ le tarif envisagé pour le menu adulte du midi. Ainsi, la matrice $P$ devient $P' = \begin{pmatrix} 7 & 12 & t \\ 7 & 15 & 30 \end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $t$, le coefficient de la première ligne du produit matriciel $P' \times N$.

\debsol
Le coefficient de la première ligne de $P' \times N$ est :
\[7\times 2 + 12\times 3 + t\times 4 = 14 + 36 + 4t = 4t + 50.\]
\finsol

\item Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle le montant facturé le midi au groupe constitué de $2$ enfants de $6$ ans ou moins, de $3$ enfants entre $7$ et $13$ ans et de $4$ adultes serait de $138$ euros.

\debsol
On résout $4t + 50 = 138$, soit $4t = 88$ donc $t = 22$.

Le tarif du menu adulte le midi doit être de $\mathbf{22}$ \euro.
\finsol
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'analyse comptable du chiffre d'affaires du restaurant a mis en évidence que certains clients étaient particulièrement rentables lorsqu'ils effectuent des achats additionnels à leur menu, à savoir un apéritif, une boisson pendant le repas ou encore un café.

Un client est dit \og très rentable \fg{} lorsqu'une au moins des conditions énumérées ci-dessous est remplie :
\begin{itemize}
\item le client prend un apéritif, une boisson avec son repas et un café ;
\item le client prend un apéritif, une boisson avec son repas mais pas de café ;
\item le client prend un apéritif, un café mais pas de boisson avec son repas.
\end{itemize}

On définit trois variables booléennes $a$, $b$ et $c$ de la façon suivante :
\begin{itemize}[label={}]
\item $a$ lorsque le client prend un apéritif et $\barre{a}$ sinon ;
\item $b$ lorsque le client prend une boisson avec son repas et $\barre{b}$ sinon ;
\item $c$ lorsque le client prend un café et $\barre{c}$ sinon.
\end{itemize}

On note $E$ l'expression booléenne traduisant le fait qu'un client soit \og très rentable \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire chaque condition permettant à un client d'être qualifié de \og très rentable \fg{} à l'aide des variables $a$, $b$ et $c$ et en déduire une expression de $E$.

\debsol
Les trois conditions se traduisent respectivement par $abc$, $ab\barre{c}$ et $a\barre{b}c$. Donc :
\[E = abc + ab\barre{c} + a\barre{b}c.\]
\finsol

\item Représenter l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh et en déduire une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.

\debsol
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|*{5}{>{\centering\arraybackslash}p{8mm}|}}
\hline
$E$ & \multicolumn{2}{c|}{$\overline{b}$} & \multicolumn{2}{c|}{$b$} \tabularnewline \hline
$\overline{a}$ & 0 & 0 & 0 & 0 \tabularnewline \hline
$a$ & 0 & 1 & 1 & 1 \tabularnewline \hline
& $\overline{c}$ & \multicolumn{2}{c|}{$c$} & $\overline{c}$ \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}

On regroupe les cases à $1$ par blocs de cellules adjacentes :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix (kmap) [matrix of nodes,
                nodes in empty cells,
                nodes={minimum width=1cm, minimum height=0.85cm, align=center, draw, inner sep=0pt},
                column sep=-\pgflinewidth,
                row sep=-\pgflinewidth,
                ampersand replacement=\&]
{
    $E$ \& $\overline{b}$ \& $\overline{b}$ \& $b$ \& $b$ \\
    $\overline{a}$ \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\
    $a$ \& 0 \& 1 \& 1 \& 1 \\
    \& $\overline{c}$ \& $c$ \& $c$ \& $\overline{c}$ \\
};
\draw[red, very thick, rounded corners] (kmap-3-3.north west) rectangle (kmap-3-4.south east);
\draw[blue, very thick, rounded corners] (kmap-3-4.north west) rectangle (kmap-3-5.south east);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le rectangle rouge correspond à $a\cdot c$ et le rectangle bleu à $a\cdot b$.

Donc $E = ab + ac$.
\finsol

\item Traduire par une phrase l'expression simplifiée de $E$.

\debsol
Comme $E = ab + ac = a(b+c)$, un client est \og très rentable \fg{} si et seulement s'il prend un apéritif et, en plus, au moins l'une des deux consommations suivantes : une boisson avec son repas ou un café.
\finsol

\item Déterminer l'expression de $\barre{E}$ sous la forme d'une somme de deux termes.

\debsol
On considère les cases à $0$ du tableau de Karnaugh de $E$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix (kmap) [matrix of nodes,
                nodes in empty cells,
                nodes={minimum width=1cm, minimum height=0.85cm, align=center, draw, inner sep=0pt},
                column sep=-\pgflinewidth,
                row sep=-\pgflinewidth,
                ampersand replacement=\&]
{
    $E$ \& $\overline{b}$ \& $\overline{b}$ \& $b$ \& $b$ \\
    $\overline{a}$ \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\
    $a$ \& 0 \& 1 \& 1 \& 1 \\
    \& $\overline{c}$ \& $c$ \& $c$ \& $\overline{c}$ \\
};
\draw[red, very thick, rounded corners] (kmap-2-2.north west) rectangle (kmap-2-5.south east);
\draw[blue, very thick, rounded corners] (kmap-2-2.north west) rectangle (kmap-3-2.south east);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le rectangle rouge correspond à $\overline{a}$ et le rectangle bleu à $\overline{b}\cdot\overline{c}$.

Donc $\overline{E} = \overline{a} + \overline{b}\,\overline{c}$.
\finsol
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le gérant du restaurant souhaite analyser le parcours des clients au sein de l'établissement. On donne la description des différentes zones ci-dessous.
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item Zone A : Accueil
\item Zone B : Buffet des entrées
\item Zone C : Buffet des plats chauds
\item Zone D : Buffet des desserts
\item Zone E : Caisse et sortie
\end{itemize}

Le gérant a observé le cheminement de différents clients lors d'un service. L'ensemble des cheminements observés peut être modélisé par un graphe dont les sommets représentent les zones du restaurant et les arcs le passage d'un client d'une zone à une autre. Le fait qu'un client se soit resservi est modélisé par une boucle.

On donne ci-dessous une représentation de ce graphe.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, every node/.style={circle, draw, minimum size=0.8cm, inner sep=0pt, font=\small}]
\node (A) at (0,0) {A};
\node (B) at (3,1.5) {B};
\node (C) at (5,0) {C};
\node (D) at (3,-1.8) {D};
\node (E) at (0,-1.8) {E};
\draw[->] (A) -- (B);
\draw[->] (A) to[bend left=10] (C);
\draw[->] (B) -- (C);
\draw[->] (C) to[loop right, looseness=8] (C);
\draw[->] (C) -- (D);
\draw[->] (C) -- (E);
\draw[->] (D) -- (E);
\draw[->] (D) to[loop below, looseness=8] (D);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer un chemin hamiltonien allant de A vers E.

\debsol
Un chemin hamiltonien parcourt chaque sommet du graphe exactement une fois. En partant de A et en arrivant en E :
\[\text{A} \rightarrow \text{B} \rightarrow \text{C} \rightarrow \text{D} \rightarrow \text{E}.\]
\finsol

\item Que signifie pour un client de parcourir ce chemin hamiltonien dans le contexte de l'exercice ?

\debsol
Cela signifie que le client visite chacune des cinq zones du restaurant exactement une fois, dans l'ordre : Accueil, Buffet des entrées, Buffet des plats chauds, Buffet des desserts, Caisse et sortie.
\finsol
\end{enumerate}

\item Reproduire et compléter le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Sommet & A & B & C & D & E \\ \hline
Successeur(s) & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\debsol
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Sommet & A & B & C & D & E \\ \hline
Successeur(s) & B,\,C & C & C,\,D,\,E & D,\,E & — \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\finsol

\item Déterminer la matrice d'adjacence $M$ du graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.

\debsol
\[
M = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
\finsol

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $M^3$.

\debsol
\[
M^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\qquad
M^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
\finsol

\item En déduire, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur $3$ allant de C vers E.

\debsol
Le coefficient situé à la troisième ligne (sommet C) et cinquième colonne (sommet E) de la matrice $M^3$ donne le nombre de chemins de longueur $3$ allant de C vers E.

Ce coefficient vaut $3$, donc il y a \textbf{$3$ chemins de longueur $3$} allant de C vers E, à savoir :
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item C\,$\to$\,C\,$\to$\,C\,$\to$\,E (deux boucles sur C puis l'arc C\,$\to$\,E) ;
\item C\,$\to$\,C\,$\to$\,D\,$\to$\,E (une boucle sur C, puis C\,$\to$\,D, puis D\,$\to$\,E) ;
\item C\,$\to$\,D\,$\to$\,D\,$\to$\,E (C\,$\to$\,D, puis boucle sur D, puis D\,$\to$\,E).
\end{itemize}
\finsol
\end{enumerate}

\item On admet que la matrice d'adjacence de la fermeture transitive du graphe est :
\[
\widehat{M} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Combien d'arcs faudrait-il ajouter au graphe initial pour construire sa fermeture transitive ?

\debsol
On compare les coefficients de $\widehat{M}$ et de $M$ : les arcs supplémentaires apparaissent là où $\widehat{M}$ vaut $1$ et $M$ vaut $0$.
\begin{itemize}[itemsep=0pt]
\item Ligne A : $M = (0,1,1,0,0)$ et $\widehat{M} = (0,1,1,1,1)$ : $2$ arcs supplémentaires (A\,$\to$\,D et A\,$\to$\,E).
\item Ligne B : $M = (0,0,1,0,0)$ et $\widehat{M} = (0,0,1,1,1)$ : $2$ arcs supplémentaires (B\,$\to$\,D et B\,$\to$\,E).
\item Ligne C : $M = (0,0,1,1,1)$ et $\widehat{M} = (0,0,1,1,1)$ : $0$ arc supplémentaire.
\item Ligne D : $M = (0,0,0,1,1)$ et $\widehat{M} = (0,0,0,1,1)$ : $0$ arc supplémentaire.
\item Ligne E : $M = (0,0,0,0,0)$ et $\widehat{M} = (0,0,0,0,0)$ : $0$ arc supplémentaire.
\end{itemize}
Au total, il faudrait ajouter $\mathbf{4}$ arcs au graphe initial pour construire sa fermeture transitive.
\finsol
\end{enumerate}

\end{document}
