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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%relecture : Ronan Charpentier
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\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{14 mai 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]14 mai 2018}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{A. Étude d'une série statistique}

\medskip

Le graphique suivant représente l'évolution des ventes d'un certain modèle de lentilles de
couleur depuis 2010 par l'entreprise \og Beauzyeux \fg. 

En abscisse, $x$ correspond au rang de l'année à partir de l'année 2010 et en ordonnée $y$ correspond au nombre de paires de lentilles de couleur de ce modèle vendues durant l'année $2010 + x$, exprimé en centaines.

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(8,250)
\multido{\n=0.0+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(0,0)(8,250)
\psdots(0,212.48)(1,139.1)(2,84.07)(3,55.16)(4,34.01)(5,28)(6,27.03)(7,23)
\uput[d](4,-20){Rang de l'année à partir de 2010}
\rput{90}(-1,125){Nombre de lentilles en centaines}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$
n'est pas approprié.
\item  On effectue le changement de variable $z = \ln(y - 20)$, et on obtient le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline
$x$ &0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline
$z$ &5,26 	&4,78 	&4,16 	&3,56 	&2,64 	&2,08 	&1,95 	&1,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série
$(x~;~z)$. Arrondir au millième.
		\item L'ajustement affine de $z$ en $x$ est-il approprié ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ selon
la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont arrondis au
dixième.
\item  En déduire, en utilisant le changement de variable, une expression de $y$ en fonction de $x$
de la forme $y = A \e^{- 0,6 x} + 20$, où $A$ est arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On modélise l'évolution du nombre de paires, en centaines, d'un certain type de lentilles de
couleur vendues par l'entreprise \og Beauzyeux\fg{} par une fonction solution de l'équation
différentielle $(E)$ :

\[10y' + 6y = 120,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, et$y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$ :
\[10y' + 6y = 0.\]

On fournit la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle & Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$ay'+ by = 0$ & $f(x) = k \e^{- \frac{b}{a}x}$\rule[-4pt]{0pt}{17pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Déterminer le nombre réel $c$ tel que la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = c$ soit une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item  En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item  Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition
initiale $f(0) = 220$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = 200 \e^{- 0,6 x} + 20.\]

Dans cette partie, on modélise l'évolution du nombre de paires, en centaines, d'un certain
type de lentilles de couleur, vendues par l'entreprise \og Beauzyeux \fg, en fonction du rang $x$
de l'année après 2010, par la fonction $f$.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants. Ces résultats sont admis et peuvent
être utilisés dans les questions suivantes.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{c|X}\hline
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1& Dérivée[200\,exp$(-0,6x)+20$]\\
$\circ$ &$\to  -120 \e^{- \frac{3}{5}x}$\\ \hline %\pscircle(0,0){3pt}
2& Intégrale[200\,exp$(-0,6x)+20, x$]\\
$\circ$ & $\to - \dfrac{\np{1000}}{3} \e^{-\frac{3}{5}x} + 20 x + c_1$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline
3 & Limite[200\,exp$(-0,6x)+20$, +inf]\\
$\circ$ &$\to 20$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10], arrondie à l'unité.

On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est :

\[\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\: \text{d}x.\]

\item D'après le modèle étudié dans cette partie, le nombre de ventes annuelles de paires de
ce type de lentilles de couleur peut-il être égal à \np{1500} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Étude d'une suite}

\medskip

Un des magasins de l'entreprise \og Beauzyeux \fg{} a constaté la progression suivante pour la
vente d'un nouveau modèle de lentilles de couleur.

Le premier mois, 150 clients achètent les nouvelles lentilles de couleur. Chaque mois
suivant, 5\,\% des anciens clients ne les rachètent pas alors que quatre nouveaux clients
achètent ces lentilles.

On modélise le nombre de clients chaque mois par la suite $\left(u_n\right)$ définie par:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&\phantom{0,95 u_n +}150 \:\\
u_{n + 1} &=& 0,95 u_n + 4,\: \text{pour tout entier naturel }\:n,
\end{array}\right.\]

où $n$ représente le rang du mois en prenant $n = 0$ pour le premier mois.

\smallskip

Ainsi, $u_0$ désigne le nombre de clients le premier mois et le nombre de clients du mois de
rang $n$ est estimé par l'arrondi à l'unité de $u_n$.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 80$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 70 \times 0,95^n + 80$.
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}
\hline
$s \gets 0$\\
Pour $n$ allant de 0 à 23\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$u \gets  70 \times 0,95^n + 80$\\
$s\gets s+ u$\\ 
\end{tabular}\\
Fin Pour\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Remarque : dans cet algorithme $s \gets 0$ signifie que la valeur $0$ est affectée à la variable $s$.}

\smallskip

En sortie de cet algorithme, la valeur arrondie à l'unité de la variable $s$ est \np{2911}. 

Que
représente ce nombre dans le contexte ?
\item  Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $70 \times 0,95^n + 80 \leqslant 100$. Interpréter la
réponse dans le contexte.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande série des verres optiques.

\begin{center}
\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}


\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}.$ \unboldmath
\end{center}

\bigskip

\textbf{A. Loi exponentielle}

\medskip

Dans un laboratoire, on utilise une meuleuse automatique pour le détourage des verres.

Cette meuleuse doit être soumise à un étalonnage aussi souvent que nécessaire. On
considère que la durée de bon fonctionnement, exprimée en jours, entre deux étalonnages,
est modélisée par une variable aléatoire $T$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$.

On rappelle que :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item pour tout nombre réel positif $t$, on a $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{ - \lambda t}$ ;
\item l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(T \leqslant 6)$.
\item  Déterminer la probabilité que la durée de bon fonctionnement de cette machine dépasse 9~
jours.
\item  Calculer $E(T)$ puis interpréter ce nombre dans le contexte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

Les verres sont ensuite ébauchés.

On admet qu'après cet usinage, 1\,\% des verres ont un défaut de courbure.

On prélève au hasard $500$ verres ébauchés. La production est suffisamment importante pour
que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $500$ verres.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le
nombre de verres qui ont un défaut de courbure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les
paramètres.
		\item Calculer $P(X = 5)$.
		\item Calculer la probabilité que le nombre de verres ayant un défaut de courbure soit
strictement inférieur à $4$ dans un tel prélèvement.
	\end{enumerate}
\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre $\mu$ de cette loi de Poisson.
		\item On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\mu$ où $\mu$ est la
valeur obtenue au \textbf{a}.
		
Calculer $P(Y \leqslant 3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

Les verres sans défaut de courbure sont alors polis. On constate qu'à l'issue du polissage
certains verres sont défectueux.

On considère la production de verres polis d'une journée. On souhaite construire un test
d'hypothèse unilatéral pour décider si, au seuil de 5\,\%, on peut considérer qu'il y a plus de
10\,\% de verres défectueux.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de $400$ verres prélevé dans la
production, associe la fréquence des verres défectueux dans cet échantillon.

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1- p)}{400}}$.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $p = 0,10$ \fg.

L'hypothèse alternative $H_1$ est: \og $p > 0,10$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, sous l'hypothèse nulle $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de
moyenne $0,10$ et d'écart type $0,015$.
\item  On souhaite déterminer, sous l'hypothèse nulle $H_0$, le réel positif $a$ tel que $P(F \leqslant a) = 0,95$.

\smallskip

\emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. \\
Une seule réponse est correcte.\\
Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

La valeur approchée de $a$ arrondie au millième est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,075 &0,100& 0,119& 0,125\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item  On prélève un échantillon aléatoire de $400$ verres dans la production de verres polis de la
journée. On constate qu'il y a $46$ verres défectueux dans cet échantillon.

Quelle est la conclusion du test ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Évènements indépendants}

\medskip

En fin de processus, les verres sont contrôlés.

On a contrôlé la qualité de la production d'une journée et on a constaté que 5\,\% des verres
ont un défaut de diamètre et que 8\,\% des verres ont un défaut d'épaisseur.

On prélève un verre au hasard dans cette production.

On note $D$ l'évènement: \og le verre prélevé présente un défaut de diamètre \fg.

On note $E$ l'évènement: \og le verre prélevé présente un défaut d'épaisseur \fg.

On admet que $P(D) = 0,05$ et $P(E) = 0,08$ et que les évènements $D$ et $E$ sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D \cap E)$.
\item Calculer la probabilité que le verre contrôlé ait au moins un des deux défauts.
\item Calculer la probabilité que le verre contrôlé n'ait aucun des deux défauts.
\end{enumerate}
\end{document}