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%Tapuscrit : Ronan Charpentier
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\begin{document}
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\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{18 mai 2026}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]18 mai 2026}  
\end{center}

\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og   type collège \fg{} est autorisé.}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip


Une entreprise commercialise un nouveau type de verres.

On étudie l'évolution des ventes de ce verre.



\begin{center}
\textit{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}

\subsection*{Partie A. Série statistique}

L'évolution des ventes mensuelles de ce verre est donnée dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Mois& Janvier&Février&Mars&Avril&Mai&Juin\\
&2026&2026&2026&2026&2026&2026\\\hline
Rang du mois $t$ & 0&1&2&3&4&5 \\\hline
Nombre de verres vendus $N$ & 500 & \np{1660} & \np{3120} & \np{3750} & \np{3960} & \np{3990} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{minipage}{7cm}

\begin{enumerate}
\item Les données du tableau ont permis de réaliser le graphique ci-contre.

Au vu de ce graphique, un ajustement linéaire de $N$ en $t$ est-il pertinent ? 

Justifier.
\item On pose le changement de variable $z=\ln\left(\dfrac{4000}{N}-1\right)$, et on obtient alors le tableau ci-dessous.

\end{enumerate}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[->](-0.5,0)--(5.5,0);
\draw[->](0,-0.25)--(0,4.25);
\draw(0,0)node[below left]{$0$};
\foreach \x in {1,2,3,4,5} \draw[dotted](\x,4.25)--(\x,0)node[below]{$\x$};
\foreach \y in {500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000} \draw[dotted](5.5,{\y/1000})--(0,{\y/1000})node[left]{\small $\y$};
\draw(-0.5,4.6)node[right]{\small Nombre de verres vendus $N$};
\draw(4.7,0.7)node[right]{\small Rang du};
\draw(4.7,0.3)node[right]{\small mois $t$};
\draw(0,0.5)node{$\bullet$};
\draw(1,1.66)node{$\bullet$};
\draw(2,3.12)node{$\bullet$};
\draw(3,3.75)node{$\bullet$};
\draw(4,3.96)node{$\bullet$};
\draw(5,3.99)node{$\bullet$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Mois& Janvier&Février&Mars&Avril&Mai&Juin\\
&2026&2026&2026&2026&2026&2026\\\hline
Rang du mois $t$ & 0&1&2&3&4&5 \\\hline
Nombre de verres vendus $N$ & 500 & \np{1660} & \np{3120} & \np{3750} & \np{3960} & \np{3990} \\\hline
$z$&1,946&0,343&$\dots$&$-2,708$&$-4,595$&$-5,989$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item[a.] Calculer la valeur de $z$ pour le mois de mars 2026. On arrondira à $10^{-3}$.

\item[b.] On note $r$ le coefficient de corrélation linéaire de $z$ en $t$.

Sans calculer la valeur de $r$, expliquer pourquoi on peut être certain que $r<0$.

\item[c.] Déterminer la valeur, arrondie à $10^{-3}$, du coefficient de corrélation linéaire $r$.

Un ajustement linéaire de $z$ en $t$ est-il pertinent ? Justifier.

\item[d.] Déterminer une équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ (selon la méthode des moindres carrés) sous la forme $z = at + b$. 
Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$.

\item[e.] On admet que la question précédente permet d'en déduire que le nombre de verres vendus $N$ en fonction du rang du mois $t$ est donné par la relation 
\[(R) \,:\, N=\dfrac{4000}{1+\text{e}^{-1,6t+2}}.\]

Déterminer la constante $C$ telle que l'égalité $(R)$ s'écrive $$N=\dfrac{4000}{1+C\text{e}^{-1,6t}}.$$

Donner un arrondi de la constante $C$ à l'unité près.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Équation différentielle}

Le but de cette partie est de résoudre une équation différentielle dont la solution correspond au dénominateur de l'expression obtenue à la question \textbf{A.2.e} donnant le nombre de verres vendus $N$ en fonction du rang du mois $t$.

On considère l'équation différentielle :

\[(E) : y' + 1,6 y = 1,6,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_0) : y' + 1,6 y = 0$.

On fournit la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\phantom{xxx}Équation différentielle\phantom{xxx} & \phantom{xxx}Solutions sur un intervalle $I$\phantom{xxx} \\ \hline
\rule[-5pt]{0pt}{20pt}$ay' + by = 0$ & $f(t) = k\text{e}^{-\frac{b}{a}t}, \quad k \in \mathbb{R}$. \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On considère un réel $A$ et la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par $g(t) = A$.

Déterminer le réel $A$ de telle sorte que la fonction $g$ soit solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la fonction $h$, solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $h(0)=8$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie C. Étude d'une fonction}

On considère que l'évolution du nombre de verres vendus est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = \dfrac{4000}{1+7\text{e}^{-1,6t}}.\]

$t$ désigne le rang du mois à partir de janvier 2026 ; ainsi $t=0$ corrspond au moins de janvier 2026 ; $t=1$ correspond au mois de février 2026.

$f(t)$ modélise le nombre de verres vendus.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de verres vendus en avril 2026.

\item On dispose des trois indications ci-dessous.

\smallskip

\begin{boxedminipage}{13cm}
\smallskip
\begin{itemize}
\item indication numéro 1 : $\,\,\,\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)= \np{4000}$ ;
\smallskip
\item indication numéro 2 : $\,\,\,f'(t)=\dfrac{\np{44800} \text{e}^{-1,6t}}{\left(1+7 \text{e}^{-1,6t}\right)^2}$ ;
\smallskip
\item indication numéro 3 : le développement limité à l'ordre 2 de $f(t)$ en $t=0$ est $f(t)=500 + 700 t + 420 t^2 + t^2 \varepsilon(t)$, où $\lim\limits_{t \to 0} \varepsilon(t)=0$.
\end{itemize}
\end{boxedminipage}

\smallskip

À l'aide de ces résultats, répondre aux questions suivantes, en indiquant à chaque fois le numéro de l'indication utilisée.

\begin{enumerate}
\item[a.] Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on déterminera une équation.

\item[b.] Justifier que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

Dresser son tableau de variations.

\item[c.] On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $t=0$.

Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$.

Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de la tangente $\mathcal{T}$ au voisinage de $t=0$.
\end{enumerate}

\item Le chef d'entreprise affirme : \og il arrivera un moment où l'on commercialisera plus de 5000 verres par mois. \fg{} A-t-il raison ? Justifier.

\item Réaliser un schéma sommaire donnant l'allure de $\mathcal{C}$ et sur lequel les résultats des questions \textbf{2.a}, \textbf{2.b} et \textbf{2.c} seront visibles.  
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une usine fabrique des montures de lunettes dites \og montures intelligentes \fg{}.

Ces montures sont susceptibles de présenter deux types de défaut :

\begin{itemize}
\item[$-$] un défaut concernant la batterie ;
\item[$-$] un défaut concernant les charnières des branches.
\end{itemize} 

\begin{center}
\textit{Les quatre parties peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\subsection*{Partie A. Probabilités conditionnelles}

Dans cette partie, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

Le contrôle qualité prélève un échantillon de 1000 montures sur lequel il examine les éventuels défauts.

Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous.

\smallskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 & Montures présentant un & Montures ne présentant pas  & Total \\
 & défaut de charnières & un défaut de charnières & \\
\hline 
Montures présentant un & 10 & $\dots$ & 60 \\
défaut de batterie & & & \\ \hline 
Montures ne présentant & 20 & $\dots$ &  $\dots$\\ 
pas un défaut de batterie&&&\\\hline 
Total & $\dots$ & $\dots$ & 1000 \\ \hline 
\end{tabular}

\medskip

On prélève au hasard une monture parmi celles de l'échantillon et on considère les évènements :

\begin{itemize}
\item $B$ : \og la monture choisie présente un défaut de batterie \fg.
\item $C$ : \og la monture choisie présente un défaut de charnières \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

\item Quelle est la probabilité que la monture choisie présente un défaut de charnières ?

\item Quelle est la probabilité que la monture choisie ne présente aucun défaut ?

\item Déterminer la probabilité de $C$ sachant $B$, notée $P_B(C)$.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B. Loi binomiale}

Dans cette partie, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

On admet que dans le stock de montures produites par l'usine, 6 \,\% d'entre elles présentent un défaut de batterie.

On choisit au hasard 150 montures du stock que l'on dispose dans un colis et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de montures du colis présentant un défaut de batterie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. 
Donner ses paramètres.

\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au maximum 9 montures présentant un défaut de batterie dans le colis ?
\item Si dans le colis le nombre de batteries présentant un défaut de batteries est strictement supérieur à 12, le colis n'est pas expédié.

Quelle est la probabilité que le colis ne soit pas expédié ?
\item Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie C. Loi normale}

\begin{minipage}{7.8cm}
On s'intéresse à la durée de vie des batteries des montures.

On note $Y$ la variable aléatoire qui mesure la durée de vie, en heures, d'une batterie.

On sait que la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

La fonction de densité de la variable aléatoire $Y$ est représentée ci-contre.

L'aire grisée correspond à une probabilité égale à 0,95.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6.2cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw(-3,0)--(3,0);
\draw[line width=1]plot[smooth,samples=500,domain=-3:3](\x,{2*exp(-\x*\x/2)});

\draw(-2,0.1)--(-2,-0.1)node[below]{\small $670$};
\draw(0,0.1)--(0,-0.1)node[below]{\small $720$};
\draw(2,0.1)--(2,-0.1)node[below]{\small $770$};

\draw[fill=gray!45](-2,0)--plot[smooth,samples=500,domain=-2:2](\x,{2*exp(-\x*\x/2)})--(2,0)--cycle;
\draw[dashed](0,0)--(0,2);
%\draw(0,0.7)node{$p=0,95$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la moyenne $\mu$.
\item Justifier que l'écart-type est environ égal à 25.
\item Déterminer les probabilités $P(Y \geqslant 720)$, $P(Y \leqslant 770)$ et $P(Y \leqslant 670)$.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie D. Intervalle de confiance}

Le fabricant souhaite connaître la proportion $p$ de clients satisfaits de cette nouvelle monture.

Il réalise une enquête auprès de 800 clients ; 616 déclarent être satisfaits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$.
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion inconnue $p$ avec le niveau de confiance de 95 \,\%. Les bornes de l'intervalle seront arrondies à $10^{-2}$.

On fournit la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
Intervalle de confiance d'une proportion avec un niveau de confiance de 95 \,\%\\\hline
\rule[-13pt]{0pt}{35pt} $\left[ f-1,96 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} ~;~ f+1,96 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right ]$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On suppose à présent que l'enquête est réalisée, non pas auprès de 800 clients, mais de 200 clients, et que 154 d'entre eux se déclarent satisfaits.

Dans ce cas, l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} est-il modifié ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}