\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx,colortbl,xcolor} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage {boxedminipage} \usepackage{tikz} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Ronan Charpentier \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier}, pdftitle = {mai 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %\usepackage{tikz} \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage{multicol} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{18 mai 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]18 mai 2026} \end{center} \textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\ L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.} \vspace{0.5cm} \textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Une entreprise commercialise un nouveau type de verres. On étudie l'évolution des ventes de ce verre. \begin{center} \textit{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante} \end{center} \subsection*{Partie A. Série statistique} L'évolution des ventes mensuelles de ce verre est donnée dans le tableau ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mois& Janvier&Février&Mars&Avril&Mai&Juin\\ &2026&2026&2026&2026&2026&2026\\\hline Rang du mois $t$ & 0&1&2&3&4&5 \\\hline Nombre de verres vendus $N$ & 500 & \np{1660} & \np{3120} & \np{3750} & \np{3960} & \np{3990} \\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{minipage}{7cm} \begin{enumerate} \item Les données du tableau ont permis de réaliser le graphique ci-contre. Au vu de ce graphique, un ajustement linéaire de $N$ en $t$ est-il pertinent ? Justifier. \item On pose le changement de variable $z=\ln\left(\dfrac{4000}{N}-1\right)$, et on obtient alors le tableau ci-dessous. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{6.5cm} \begin{tikzpicture}[scale=0.9] \draw[->](-0.5,0)--(5.5,0); \draw[->](0,-0.25)--(0,4.25); \draw(0,0)node[below left]{$0$}; \foreach \x in {1,2,3,4,5} \draw[dotted](\x,4.25)--(\x,0)node[below]{$\x$}; \foreach \y in {500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000} \draw[dotted](5.5,{\y/1000})--(0,{\y/1000})node[left]{\small $\y$}; \draw(-0.5,4.6)node[right]{\small Nombre de verres vendus $N$}; \draw(4.7,0.7)node[right]{\small Rang du}; \draw(4.7,0.3)node[right]{\small mois $t$}; \draw(0,0.5)node{$\bullet$}; \draw(1,1.66)node{$\bullet$}; \draw(2,3.12)node{$\bullet$}; \draw(3,3.75)node{$\bullet$}; \draw(4,3.96)node{$\bullet$}; \draw(5,3.99)node{$\bullet$}; \end{tikzpicture} \end{minipage} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mois& Janvier&Février&Mars&Avril&Mai&Juin\\ &2026&2026&2026&2026&2026&2026\\\hline Rang du mois $t$ & 0&1&2&3&4&5 \\\hline Nombre de verres vendus $N$ & 500 & \np{1660} & \np{3120} & \np{3750} & \np{3960} & \np{3990} \\\hline $z$&1,946&0,343&$\dots$&$-2,708$&$-4,595$&$-5,989$\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item[a.] Calculer la valeur de $z$ pour le mois de mars 2026. On arrondira à $10^{-3}$. \item[b.] On note $r$ le coefficient de corrélation linéaire de $z$ en $t$. Sans calculer la valeur de $r$, expliquer pourquoi on peut être certain que $r<0$. \item[c.] Déterminer la valeur, arrondie à $10^{-3}$, du coefficient de corrélation linéaire $r$. Un ajustement linéaire de $z$ en $t$ est-il pertinent ? Justifier. \item[d.] Déterminer une équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ (selon la méthode des moindres carrés) sous la forme $z = at + b$. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$. \item[e.] On admet que la question précédente permet d'en déduire que le nombre de verres vendus $N$ en fonction du rang du mois $t$ est donné par la relation \[(R) \,:\, N=\dfrac{4000}{1+\text{e}^{-1,6t+2}}.\] Déterminer la constante $C$ telle que l'égalité $(R)$ s'écrive $$N=\dfrac{4000}{1+C\text{e}^{-1,6t}}.$$ Donner un arrondi de la constante $C$ à l'unité près. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Partie B. Équation différentielle} Le but de cette partie est de résoudre une équation différentielle dont la solution correspond au dénominateur de l'expression obtenue à la question \textbf{A.2.e} donnant le nombre de verres vendus $N$ en fonction du rang du mois $t$. On considère l'équation différentielle : \[(E) : y' + 1,6 y = 1,6,\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_0) : y' + 1,6 y = 0$. On fournit la formule suivante : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline \phantom{xxx}Équation différentielle\phantom{xxx} & \phantom{xxx}Solutions sur un intervalle $I$\phantom{xxx} \\ \hline \rule[-5pt]{0pt}{20pt}$ay' + by = 0$ & $f(t) = k\text{e}^{-\frac{b}{a}t}, \quad k \in \mathbb{R}$. \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On considère un réel $A$ et la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par $g(t) = A$. Déterminer le réel $A$ de telle sorte que la fonction $g$ soit solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la fonction $h$, solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $h(0)=8$. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Partie C. Étude d'une fonction} On considère que l'évolution du nombre de verres vendus est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \dfrac{4000}{1+7\text{e}^{-1,6t}}.\] $t$ désigne le rang du mois à partir de janvier 2026 ; ainsi $t=0$ corrspond au moins de janvier 2026 ; $t=1$ correspond au mois de février 2026. $f(t)$ modélise le nombre de verres vendus. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de verres vendus en avril 2026. \item On dispose des trois indications ci-dessous. \smallskip \begin{boxedminipage}{13cm} \smallskip \begin{itemize} \item indication numéro 1 : $\,\,\,\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)= \np{4000}$ ; \smallskip \item indication numéro 2 : $\,\,\,f'(t)=\dfrac{\np{44800} \text{e}^{-1,6t}}{\left(1+7 \text{e}^{-1,6t}\right)^2}$ ; \smallskip \item indication numéro 3 : le développement limité à l'ordre 2 de $f(t)$ en $t=0$ est $f(t)=500 + 700 t + 420 t^2 + t^2 \varepsilon(t)$, où $\lim\limits_{t \to 0} \varepsilon(t)=0$. \end{itemize} \end{boxedminipage} \smallskip À l'aide de ces résultats, répondre aux questions suivantes, en indiquant à chaque fois le numéro de l'indication utilisée. \begin{enumerate} \item[a.] Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on déterminera une équation. \item[b.] Justifier que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Dresser son tableau de variations. \item[c.] On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $t=0$. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de la tangente $\mathcal{T}$ au voisinage de $t=0$. \end{enumerate} \item Le chef d'entreprise affirme : \og il arrivera un moment où l'on commercialisera plus de 5000 verres par mois. \fg{} A-t-il raison ? Justifier. \item Réaliser un schéma sommaire donnant l'allure de $\mathcal{C}$ et sur lequel les résultats des questions \textbf{2.a}, \textbf{2.b} et \textbf{2.c} seront visibles. \end{enumerate} \newpage \textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une usine fabrique des montures de lunettes dites \og montures intelligentes \fg{}. Ces montures sont susceptibles de présenter deux types de défaut : \begin{itemize} \item[$-$] un défaut concernant la batterie ; \item[$-$] un défaut concernant les charnières des branches. \end{itemize} \begin{center} \textit{Les quatre parties peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \subsection*{Partie A. Probabilités conditionnelles} Dans cette partie, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$. Le contrôle qualité prélève un échantillon de 1000 montures sur lequel il examine les éventuels défauts. Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous. \smallskip \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & Montures présentant un & Montures ne présentant pas & Total \\ & défaut de charnières & un défaut de charnières & \\ \hline Montures présentant un & 10 & $\dots$ & 60 \\ défaut de batterie & & & \\ \hline Montures ne présentant & 20 & $\dots$ & $\dots$\\ pas un défaut de batterie&&&\\\hline Total & $\dots$ & $\dots$ & 1000 \\ \hline \end{tabular} \medskip On prélève au hasard une monture parmi celles de l'échantillon et on considère les évènements : \begin{itemize} \item $B$ : \og la monture choisie présente un défaut de batterie \fg. \item $C$ : \og la monture choisie présente un défaut de charnières \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessus. \item Quelle est la probabilité que la monture choisie présente un défaut de charnières ? \item Quelle est la probabilité que la monture choisie ne présente aucun défaut ? \item Déterminer la probabilité de $C$ sachant $B$, notée $P_B(C)$. \end{enumerate} \medskip \subsection*{Partie B. Loi binomiale} Dans cette partie, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$. On admet que dans le stock de montures produites par l'usine, 6 \,\% d'entre elles présentent un défaut de batterie. On choisit au hasard 150 montures du stock que l'on dispose dans un colis et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de montures du colis présentant un défaut de batterie. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres. \item Quelle est la probabilité qu'il y ait au maximum 9 montures présentant un défaut de batterie dans le colis ? \item Si dans le colis le nombre de batteries présentant un défaut de batteries est strictement supérieur à 12, le colis n'est pas expédié. Quelle est la probabilité que le colis ne soit pas expédié ? \item Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \medskip \subsection*{Partie C. Loi normale} \begin{minipage}{7.8cm} On s'intéresse à la durée de vie des batteries des montures. On note $Y$ la variable aléatoire qui mesure la durée de vie, en heures, d'une batterie. On sait que la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. La fonction de densité de la variable aléatoire $Y$ est représentée ci-contre. L'aire grisée correspond à une probabilité égale à 0,95. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{6.2cm} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw(-3,0)--(3,0); \draw[line width=1]plot[smooth,samples=500,domain=-3:3](\x,{2*exp(-\x*\x/2)}); \draw(-2,0.1)--(-2,-0.1)node[below]{\small $670$}; \draw(0,0.1)--(0,-0.1)node[below]{\small $720$}; \draw(2,0.1)--(2,-0.1)node[below]{\small $770$}; \draw[fill=gray!45](-2,0)--plot[smooth,samples=500,domain=-2:2](\x,{2*exp(-\x*\x/2)})--(2,0)--cycle; \draw[dashed](0,0)--(0,2); %\draw(0,0.7)node{$p=0,95$}; \end{tikzpicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Donner la valeur de la moyenne $\mu$. \item Justifier que l'écart-type est environ égal à 25. \item Déterminer les probabilités $P(Y \geqslant 720)$, $P(Y \leqslant 770)$ et $P(Y \leqslant 670)$. \end{enumerate} \medskip \subsection*{Partie D. Intervalle de confiance} Le fabricant souhaite connaître la proportion $p$ de clients satisfaits de cette nouvelle monture. Il réalise une enquête auprès de 800 clients ; 616 déclarent être satisfaits. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$. \item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion inconnue $p$ avec le niveau de confiance de 95 \,\%. Les bornes de l'intervalle seront arrondies à $10^{-2}$. On fournit la formule suivante : \begin{center} \begin{tabular}{|c|}\hline Intervalle de confiance d'une proportion avec un niveau de confiance de 95 \,\%\\\hline \rule[-13pt]{0pt}{35pt} $\left[ f-1,96 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} ~;~ f+1,96 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right ]$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On suppose à présent que l'enquête est réalisée, non pas auprès de 800 clients, mais de 200 clients, et que 154 d'entre eux se déclarent satisfaits. Dans ce cas, l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} est-il modifié ? Justifier. \end{enumerate} \end{document}