% !TeX TXS-program:compile = txs:///arara
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% BTS SIO — Session 2026 — Épreuve EF2 Mathématiques approfondies
% Sujet 26SIEF2MAPPR — 4 pages — Durée 2 heures
% =====================================================================
%
% Ce fichier contient le sujet ET son corrigé. La bascule s'effectue
% via le booléen \ifcorrige défini ci-dessous :
%   \corrigefalse  -> version sujet (énoncé seul)
%   \corrigetrue   -> version corrigé (énoncé + corrections en fond gris)
% Le fichier corrige.tex est identique à celui-ci, sauf cette ligne.

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
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\usepackage{textcomp}
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\usetikzlibrary{arrows.meta,positioning,calc}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-func}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\setlist[itemize]{label=\textbullet}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {Denis Vergès},
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pdftitle = {BTS SIO Session 2026 EF2 Mathematiques approfondies},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%   le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%   le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}

% ----- Tolérance césure (évite les overfull mineurs)
\emergencystretch=3em
\hyphenation{mal-veil-lan-tes mal-veil-lan-te con-fi-gu-ra-tion ex-po-nen-tiel-le con-ne-xions}

% =====================================================================
% Booléen de bascule sujet / corrigé
% =====================================================================
\usepackage{xcolor}
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\definecolor{grisclair}{gray}{0.92}

\newif\ifcorrige
\corrigefalse % <-- mettre \corrigetrue pour générer le corrigé

\ifcorrige
  \newenvironment{fondcouleur}{%
    \par\noindent
    \begin{mdframed}[
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  }
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\else
  \let\debsol\iffalse
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\fi
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur \\
 Polynésie}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies}
\rfoot{\small mai 2026}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Polynésie mai 2026~\decofourright\\[7pt]
Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
\textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}\ifcorrige\\[4pt]\textbf{-- Corrigé --}\fi

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}
\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

\medskip

Une entreprise utilise un système d'information pour traiter les commandes de ses clients.

L'entreprise dispose de deux serveurs (notés A et B) qui traitent les commandes, celles-ci peuvent être traitées avec succès ou échouer à différentes étapes
.
On souhaite modéliser le fonctionnement du système et analyser les temps de traitement.

\emph{Les résultats seront arrondis si nécessaire au millième}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le serveur A traite 60\,\% des commandes dont 90\,\% sont traitées avec succès.

 95\,\% des commandes du serveur B sont traitées avec succès.
 
On considère les événements :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ : « La commande a été traitée par le serveur A ».
\item $B$ : « La commande a été traitée par le serveur B ».
\item $R$: « La commande a été passée avec succès ».
\end{itemize}

On choisit au hasard une commande parmi celles qui ont été traités par les serveurs de l’entreprise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Déterminer la probabilité que la commande ait été traitée par le serveur A et ait été passée avec succès.
\item Montrer que $P(R) = 0,92$.
\item Le directeur de l'entreprise affirme que le serveur A a traité plus de la moitié des commandes passées avec succès.

A-t-il raison ? Justifier la réponse par un calcul.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le temps (en minutes) écoulé entre deux commandes arrivant dans le système est modélisé par une variable aléatoire, notée $T$, qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ $(\lambda > 0)$.

\medskip

On rappelle que pour tout réel $t$ positif, $P(T \leqslant t) = P(T < t) = 1 - \e^{- \lambda t}$.

On rappelle également la propriété de non-vieillissement de la loi exponentielle : pour tous nombres réels positifs $t$ et $h$, $P_{(T > t)}(T > t + h) = P(T > h)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité qu'il s'écoule moins de 10 minutes entre deux commandes vaut $0,45$.

Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
\end{enumerate}

\textbf{On prendra $\boldsymbol{\lambda = 0,06}$ pour la suite de l’exercice.}

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la probabilité qu'il s'écoule au moins 15 minutes entre deux commandes ?
\item Calculer la probabilité que le temps entre deux commandes soit supérieur ou égal à 15~minutes sachant qu'il y a déjà au moins 5~minutes d'écoulées.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le temps de traitement d'une commande (en secondes) du serveur A (respectivement B), est modélisé par une variable aléatoire notée $X_A$ (respectivement $X_B$), qui suit une loi
normale d'espérance $\mu_A$ (respectivement $\mu_B$) et d'écart-type $\sigma_A = 6$ (respectivement $\sigma_{B} = 15$).

\medskip

On nomme $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $X_A$ et $X_B$ représentées dans la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm, yunit=50cm, comma=true, arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture*}(55,-0.02)(145,0.075)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=blue](100,0)(100,0.1)
\psGauss[linewidth=2pt, linestyle=dotted,dotsep=4pt, linecolor=blue, mue=100, sigma=15]{55}{145}
\psline[linecolor=red, linewidth=0.5pt](110,0)(110,1)
\psGauss[linewidth=1.25pt, linecolor=red, mue=110,sigma=6]{55}{145}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5, Ox=55, labels=x, showorigin=false, yAxis=false]{->}(55,0)(55,0)(145,0)
\rput(125,-0.016){\emph{temps de traitement en secondes}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle variable aléatoire correspond la courbe en pointillés ?

Justifier votre réponse.
		\item En déduire que $\mu_A = 110$ et $\mu_B = 100$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le temps de traitement d’une commande traitée par le serveur A soit de moins de deux minutes ?
\item Déterminer le temps de traitement nécessaire $t$, pour qu'au moins 95\,\% des commandes soient traitées par le serveur B en moins de $t$ secondes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

\medskip

Une entreprise développe une application qui collecte et stocke automatiquement des données utilisateurs sur un serveur local d'une capacité totale de 2 To (\np{2000} Go).

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise l'évolution du volume total de données par une suite $(u_n)$ géométrique de raison $q = 1,24$ et de premier terme $u_0 = 3,15$.

$u_n$ désigne la quantité de données (en Go) stockées sur le serveur le jour $n$, où $n$ désigne un entier naturel.

Ainsi le premier jour correspond à $n = 0$ et la quantité de données est alors $u_0 = 3,15$ Go.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la quantité de données stockées le 24\up{e}jour. On arrondira le résultat à l'unité.
\item Déterminer à partir de quel jour la capacité de stockage aura atteint la capacité maximale de stockage, c’est à dire 2 To.
\end{enumerate}

À partir du 24\up{e} jour, l’entreprise décide de mettre en place un système automatique pour nettoyer le serveur.

Deux procédés sont proposés par l'informaticien, décrits chacun dans les parties B et C suivantes.

\medskip

\textbf{Partie B : 1\up{er} procédé}

\medskip

Chaque nuit, 5\,\% des données stockées sont supprimées (données obsolètes).

En parallèle, l’application continue de collecter chaque jour une quantité fixe de $100$~Go de nouvelles données.

On modélise l'évolution de la quantité de données (en Go), stockées sur le serveur, par la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 23$, par :

\[v_{n + 1} = 0,95v_n + 100 \quad  \text{et }\: v_{23} = 444.\]

\begin{enumerate}
\item Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
\end{enumerate}

On admet que le terme général de la suite $(v_n)$ est défini pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 23 par : 

\[v_n = \np{2000} - \np{5063} \times 0,95^n.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier qu'avec ce procédé, la quantité de données augmente mais que la capacité maximale de stockage ne sera pas atteinte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : 2\up{e} procédé}

\medskip

Un programme nettoie de manière continue le serveur.

La quantité de données, à chaque instant $t$, est modélisée par la fonction $f$ définie pour tout réel $t \geqslant 23$, par :

\[f(t) = \np{2000} - \np{4914} \e^{-0,05t}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t \geqslant 23,\:\: f'(t) = 245,7\e^{-0,05t}$.\
		\item Que peut-on en déduire sur les variations de la quantité de données ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l’inéquation $\np{2000} - \np{4914} \e^{-0,05t} > \np{2000}$. 
		\item Que peut-on en conclure ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}