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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ Épreuve obligatoire 2 h}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Polynésie mai 2021 -- Épreuve obligatoire~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations }}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1\hfill 15 points}

\medskip

Les trois parties de cet exercice sont complètement indépendantes. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise utilise depuis 2005 pour son parc informatique, un système d'exploitation personnalisé. En 2005, ce système d'exploitation nécessitait une configuration minimale de 4 méga-octets (Mo) de mémoire vive.

Une nouvelle version du système d'exploitation est mise en place chaque année depuis 2005. Et avec chaque nouvelle version (donc chaque année), la configuration minimale en mémoire vive augmente de 34\,\%.

On note $u_n$ la configuration minimale en mémoire vive requise par le système d'exploitation, exprimée en méga-octets, en $2005 +n$. Ainsi $u_0 = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
\item Donner, en justifiant, la nature et la raison de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_{10}$ et interpréter le résultat. On arrondira le résultat à l'entier.
\item À partir de quelle année la configuration minimale en mémoire vive requise par le système a-t-elle dépassé le giga-octets (c'est-à-dire \np{1000} méga-octets) ?

Justifier.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise veut ouvrir un nouvel espace de bureaux dans ses locaux. Pour cela, elle désire acheter de nouveaux ordinateurs et essaye de déterminer le modèle adapté. Ce modèle doit satisfaire au moins l'un des critères suivants:

\begin{itemize}
\item le modèle doit disposer de $16$~giga-octets (Go) ou plus de mémoire vive et d'un disque dur d'un minium de un téra-octet (To) ;
\item le disque dur du modèle a une capacité inférieure à 1 To, mais le modèle dispose d'un disque SSD ;
\item le modèle ne dispose pas d'un disque SSD et a un disque dur de moins de 1~To mais possède 16~Go ou plus de mémoire vive ;
\item le modèle possède un disque SSD et un disque dur d'une mémoire supérieure à 1~To.
\end{itemize}

On définit les variables booléennes suivantes:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $a = 1$ si le modèle possède une mémoire vive de 16 Go ou plus,
$a = 0$ sinon ; 
\item $b = 1$ si le modèle possède un disque dur de 1 To ou plus, $b = 0$ sinon ;
\item $c = 1$ si le modèle possède un disque SSD, $c = 0$ sinon.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression booléenne $E$ traduisant les critères de sélection d'un modèle.
\item Simplifier l'expression $E$ de la question précédente sous la forme d'une somme de deux termes à l'aide d'un tableau de Karnaugh ou d'un calcul booléen.

On notera $F$ l'expression booléenne simplifiée.
\item Traduire en français l'expression booléenne $F$ obtenue à la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour créer le nouvel espace de bureaux, plusieurs tâches doivent être réalisées. Leurs caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tâche &Description&Durée en jours&Tâche à réaliser au préalable\\ \hline
A&Choix des ordinateurs&1&--\\ \hline
B&Commande des ordinateurs et attente de la livraison&7&A\\ \hline
C&Pose des câbles et prises&2&--\\ \hline
D& Peinture de la salle&3&C\\ \hline
E&Commande des meubles (tables et chaises) et attente de la livraison&5&--\\ \hline
F&Installation des tables et ordinateurs dans la salle&1&B, D, E\\ \hline
G&Installation du système d'exploitation et configuration des ordinateurs&2&F\\ \hline
H&Mise en place des chaises&1&E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le but de cet exercice est de réaliser le graphe d'ordonnancement
du projet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le niveau de chacun des sommets dans le graphe.
\item Construire le graphe d'ordonnancement du projet (selon la méthode M. P. M. ou

P. E. R. T.). On précisera pour chaque tâche sa date de début au plus tôt et sa date de
début au plus tard.
\item Quelle est la durée minimale du projet ?
\item Donner le chemin critique du graphe d'ordonnancement de la question précédente.
\item Le fournisseur de meuble a mal géré ses stocks. La livraison des tables et des
chaises aura 2 jours de retard.

Quelle est la conséquence de ce retard sur le projet ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à un réseau social. Les comptes du réseau social sont répartis en trois types :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item le type $a$ regroupe les comptes ayant entre 0 et \np{20000} abonnés;
\item le type $b$ regroupe les comptes ayant entre \np{20000} et \np{200000} abonnés ; 
\item le type $c$ regroupe les comptes ayant plus de \np{200000} abonnés.
\end{itemize}
\medskip

Pour fidéliser les comptes ayant le plus d'abonnés, le réseau social leur attribue une prime annuelle. Cette prime est financée par des annonces publicitaires. Le nombre d'annonces publicitaires publiées sur la page d'un compte dépend de son type. De plus, le réseau social sponsorise chaque année les projets des comptes ayant le plus d'abonnés.

\medskip

Les données relatives aux différents types de comptes sont résumées dans le tableau ci- dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Type $a$ &Type $b$&Type $c$\\ \hline
Prime annuelle (en euros)&0& 510&\np{1200}\\ \hline
Nombre d'annonces publicitaires&1 &2&5\\ \hline
Nombre de projets sponsorisés chaque année&0& 1&2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En 2018, il y avait \np{1928340} comptes de type $a$, \np{1220} comptes de type $b$ et $246$ comptes de type $c$.

On définit les matrices ci-dessous :
\begin{center}
$A= \begin{pmatrix}0 &510& 1200\\1& 2& 5\\0&1&2\end{pmatrix}, \: B = \begin{pmatrix}\np{1928340}\\\np{1220}\\246\end{pmatrix}$ \: et \: $C = \dfrac{1}{180}\begin{pmatrix}-1&180&150\\-2&0&\np{1200}\\1&0&-510\end{pmatrix}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le produit $A \times B$ puis interpréter le résultat obtenu.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit $C \times A$ et exprimer le résultat en fonction de la matrice identité.
		\item Montrer que l'équation matricielle $A \times X = Y$ d'inconnue $X$ a pour solution $X = C \times Y$.
	\end{enumerate}
\item  En 2019, on suppose que le nombre de comptes est resté constant tout au long de l'année.

Cette année-là, le réseau social a distribué \np{1197600} euros de primes, publiait simultanément \np{2146820} annonces publicitaires sur l'ensemble de ses pages et a financé au total \np{2200} projets.

À l'aide des questions précédentes, déterminer le nombre de comptes de chaque type pour l'année 2019.
\end{enumerate}
\end{document}