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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2}}
\rfoot{\small{14 mai 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\[5pt] 14 mai 2018 - groupement B2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Plusieurs projets de train à très haute vitesse et à propulsion
électromagnétique sont en préparation, à l'image de l'Hyperloop.

Les wagons ont une forme cylindrique et sont propulsés dans
un tube à basse pression afin de réduire les frottements.

Les ingénieurs ont fixé comme objectif impératif pour le
départ de chaque wagon d'atteindre en moins de 2 minutes
une vitesse instantanée de 400 km.h$^{-1}$.}
\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.1,4)(0.3,3.4)(0.3,0.4)(0.5,0.3)(0.8,0.4)(0.8,3.4)(0.9,4.3)(0.8,4)(0.6,4.05)(0.5,4)(0.4,3.94)(0.2,3.82)
\pscircle(4.5,2){0.2cm}
\pscircle(4.1,1.87){0.2cm}
\pscircle(0.7,4.2){0.2cm}
\pscircle(0.3,4.07){0.2cm}
\pscircle(0.8,4.15){0.2cm}
\pscircle(0.4,4.02){0.2cm}
\psline(0.8,4.37)(4.6,2.2)
\psline(0.42,4.24)(4.2,2.04)
\psline(0.2,3.9)(4,1.66)
\psline[linecolor=lightgray](0.56,4)(4.36,1.82)
\end{pspicture}}

\bigskip

On note $f(t)$ la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant $t$ en minute. On suppose que $f$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~3].

\smallskip

L'objectif de cel exercice est d'étudier la fonction $f$ afin de vérifier les caractéristiques du départ.

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

En appliquant les contraintes physiques et technologiques du projet, de premiers résultats
conduisent à l'équation différentielle (E) :

\[y' - 0,2y = 3 t,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $\left(\text{E}_0\right)$ :
\[y'- 0,2y = 0.\]

On fournit les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y'+ay=0$&$y(t) = k \text{e}^{- at}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item  Vérifier que la fonction $g$, définie sur [0~;~3] par $g(t) = - 15 t - 75$, est une solution de l'équation différentielle (E).
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item  Au temps $t = 0,$ le wagon est au point de départ. Déterminer la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude de fonction et application}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par 

\[f(t) = 75\left(\text{e}^{0,2 t} - 1\right) - 15 t.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit ci-dessous des expressions de $f(t)$ et de $f'(t)$. 

Ces résultats sont admis et peuvent être exploités dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{c|X}\hline
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1 & $f(t) := 75*(\text{exp}(0.2*t)-1)- 15*t$\\
$\bullet$&$\to f(t) := 75 \text{e}^{\frac{1}{5}t} - 15t - 75$\\ \hline
2&$f'(t)$\\
\pscircle(0,0){3pt}&$\to 15\text{e}^{\frac{1}{5}t} - 15$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~3] l'inéquation $f'(t) \geqslant 0$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
 	\end{enumerate}
\item  On rappelle que $f(t)$ correspond à la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant $t$, en minute. 
	
Déterminer le nombre de kilomètres parcourus au bout d'une minute. Arrondir le
résultat au dixième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La vitesse du wagon, en kilomètre par minute, à l'instant $t$, correspond à $f'(t)$.
		
En déduire la vitesse, en kilomètre par minute, du wagon à $t = 2$ minutes. Arrondir le
résultat au dixième.
		\item L'objectif des ingénieurs est-il atteint ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}
	
\medskip
	
Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y= 15\left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t$& $y= 15\left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t + 45 \text{e}^{0,4}$&$y = 15\left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t + 45 \text{e}^{0,4} - 75$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On fournit la formule suivante :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ de la courbe représentative de $f$ est :\\
\multicolumn{1}{|c|}{ $y= f'(a) (t - a) + f(a)$.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Calcul intégral}

\medskip

Afin d'aménager les futures gares dédiées à ce train à très haute vitesse, les architectes ont dessiné la pièce suivante, représentée dans un repère orthonormé avec pour unité
graphique $1$ mètre sur les deux axes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.2,-0.5)(3.2,3.5)
\psline(-3,2.25)(3,2.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](3,0){P} \uput[ur](3,2.25){Q} \uput[ur](0,2.25){R}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psline(3,2.25)(-3,2.25)}
\end{pspicture*}
\end{center}

On désire calculer de façon précise l'aire $\mathcal{A}$ de la surface hachurée sur le dessin. Pour cela on dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
\item la pièce est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées;
\item le bord supérieur correspond à la droite d'équation $y = 2,25$ ;
\item le bord inférieur droit correspond à la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par :

\[g(x)  = \dfrac{27 x}{2x^2 + 18}.\]
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

L'aire $\mathcal{A}_1$ du rectangle OPQR, en unité d'aire (u. a.). est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
3 u. a. &5,25 u. a. &6,75 u. a.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~3], où $c_1$ est une constante. Ce résultat est admis et pourra être exploité dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{c|X}\hline
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1 					&$g(x) := 27*x/2*x$ \verb!^! $2 + 18)$\\
$\bullet$			&$\to g(x) := 27 \cdot \dfrac{x}{2x^2+18}$\\ \hline
2					&intégrale$(g(x))$\\
\pscircle(0,0){3pt}	&$\to \frac{27}{4} \ln \left(x^2 + 9\right) + c_1$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Calculer l'aire $\mathcal{A}_2$, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$.
\item  Déduire des questions précédentes l'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire. Arrondir au millième.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

On considère une enceinte fermée et isolée. La température à l'extérieur est supposée
constante et égale à 15~\degres C.

À l'instant initial, la température à l'intérieur de l'enceinte est la
même qu'à l'extérieur. On chauffe l'enceinte durant $20$ secondes à une puissance constante
de \np{1300}~kW, puis on arrête le chauffage. 

On souhaite connaître la température de l'enceinte en fonction du temps $t$ exprimé en seconde.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(14,6.5)
\psframe(0,1)(14,6.5)
\psframe(5.5,1.4)(10.5,5.4)
\psframe(6,1.7)(10,5.1)
\psline(4.3,4.7)(6.8,4.7)(6.8,4)
\psframe(6.7,2.8)(6.9,4)
\psline(6.8,2.8)(6.8,2)(4.3,2)
\psline{->}(3.5,3.5)(6.8,3.5)
\uput[r](1.4,4.7){$c(t)$ : puissance}
\rput(9,6){Température extérieure : 15~\degres C}
\uput[r](1.4,4.4){en kW}
\uput[r](1.4,3.5){Système de}
\uput[r](1.4,3.2){chauffage}
\uput[r](7.2,3.7){$s(t)$ : température}
\uput[r](7.2,3.4){de l'enceinte}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $c(t)$ la puissance de chauffe en kW à l'instant $t$ et $s(t)$ la température à l'intérieur de
l'enceinte à l'instant $t$.

On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction échelon unité définie par $\mathcal{U}(t) = 0$ si $t < 0$ et $\mathcal{U}(t) = 1$ si $t \geqslant 0$.

Dans le système étudié, la fonction $s$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

\[s'(t) + 0,2 s(t) = e(t),\]

où $e(t) = 3 \mathcal{U}(t) + \dfrac{1}{130}c(t)$ et $s\left(0^+\right) = 0$.

On se propose de déterminer $s(t)$ en utilisant la transformation de Laplace. On suppose que
$s$, $s'$ et $e$ admettent des transformées de Laplace.

On note $E(p) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(p) = \mathcal{L}(s(t))$, où $\mathcal{L}$ est la transformée de Laplace.

\begin{center}
\textbf{Un formulaire concernant la transformation de Laplace est fourni à la fin}

\end{center}

\medskip

\textbf{A. Étude du second membre de l'équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie la réponse qui vous peraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

On a $c(t) = \np{1300} (\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t- 20))$. Indiquer la figure représentant la courbe de la fonction $c$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-10,-200)(40,1500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=1300]{->}(0,0)(-5,-200)(40,1500)
\psline[linewidth=2pt](-10,0)(0,0)(20,1300)
\rput(20,1300){[}
\psline[linewidth=2pt](20,0)(40,0)
\psdots[dotscale=1.4](20,0)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-10,-200)(40,1500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=1300]{->}(0,0)(-10,-200)(40,1500)
\psline[linewidth=2pt](-10,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt](0,1300)(20,1300)
\rput(20,1300){[}
\psline[linewidth=2pt](20,0)(40,0)
\psdots[dotscale=1.4](20,0)(0,1300)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-10,-200)(40,1500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=1300]{->}(0,0)(-10,-200)(40,1500)
\psline[linewidth=2pt](-10,0)(20,0)
\rput(20,0){[}
\psline[linewidth=2pt](20,1300)(40,1300)
\psdots[dotscale=1.4](20,1300)
\end{pspicture}\\
Figure 1 &Figure 2 &Figure 3\\
\end{tabularx}

\item Montrer que $e(t) = 13\mathcal{U}(t) -10 \mathcal{U}(t- 20)$.
\item Déterminer $\mathcal{L}(\mathcal{U}(t))$ et $\mathcal{L}(\mathcal{U}(t - 20))$.
\item En déduire $E(p)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Transformée de Laplace \boldmath$S$ \unboldmath{} du signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\mathcal{L}(s'(t))$ en fonction de $S(p)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\mathcal{L}(s'(t) + 0,2s(t)) = (p + 0,2)S(p)$.
		\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation
différentielle, montrer que $S(p) = \dfrac{13 - 10\text{e}^{-20 p}}{p(p + 0,2)}$.
	\end{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant. Ce résultat est admis et pourra être
exploité dans cette question.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{c|X}
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$\textbf{Calcul formel}}\\\hline
&ElémentsSimples$(1/(p*(p+0.2)),p)$\\
1&$\to \dfrac{5}{p} - \dfrac{25}{5p + 1}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

En déduire que $S(p)$ peut s'écrire :

\[S(p) = \dfrac{65}{p} - \dfrac{325}{5p + 1} - \dfrac{50}{p} \text{e}^{-20p} + \dfrac{250}{5p+1}\text{e}^{-20p}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Expression du signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant. Ce résultat est admis et pourra être
exploité dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\small $>>>$inverse\_Laplace\_transform$(65/p-325/(5p+1 )-50/p*\text{exp}(-20p)+250/(5p+1)*\text{exp}(-20p), p, t)$\\
$65\mathcal{U}(t) - 65\text{e}^{- \frac{1}{5}t} \mathcal{U}(t) - 50 \mathcal{U}(t - 20) + 50\text{e}^{- \frac{1}{5}(t-20)}\mathcal{U}(t - 20)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Préciser $s(t)$ sur l'intervalle $] - \infty~;~0[$.
		\item Soit $t$ un nombre réel dans l'intervalle [0~;~20[.
		
Montrer que $s(t) = 65\left(1 - \text{e}^{ -\frac{1}{5}t}\right)$.
		\item  Soit $t$ un nombre réel dans l'intervalle $[20~;~+ \infty[$.

Montrer que $s(t) = 15 - 65 \text{e}^{ -\frac{1}{5}t} + 50 \text{e}^{ -\frac{1}{5}(t-20)}$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la température de l'enceinte pour $t = 60$ secondes. Arrondir à $10^{- 2}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Formulaire}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,1.5)
\rput(0,0){\rnode{A}{$f(t)\mathcal{U}(t)$}}
\rput(3,0){\rnode{B}{$F(p)$}}
\nccurve[angleA=90,angleB=90,ncurv=0.5]{->}{A}{B} \rput(1.5,1.){$\mathcal{L}$}
\nccurve[angleA=-90,angleB=-90,ncurv=0.5]{->}{B}{A}\rput(1.5,-1){$\mathcal{L}^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center}
On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.

\begin{center}
$\mathcal{L}[\lambda f+ \mu g] = \lambda \mathcal{L}[f] + \mu \mathcal{L}[g]$.

$\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p}$.

$\mathcal{L}\left[\text{e}^{-at}\mathcal{U}(t)\right] = \dfrac{1}{p + a}$.

\end{center}

Plus généralement, si on note $\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)] = F(p)$ alors,

\begin{center}
$\mathcal{L}[ f (t - \tau) \mathcal{U}(t - \tau)] = F(p) \text{e}^{ - \tau p}$ ;

$\mathcal{L}[f(t) \text{e}^{-at}\mathcal{U}(t)] = F(p + a)$;

$\mathcal{L}[f'(t)\mathcal{U}(t)] = p F(p) - f\left(O^+\right)$ ;

$\mathcal{L}[f''(t)\mathcal{U}(t)] = p^2 F(p) - p f\left(O^+\right) - f'\left(O^+\right)$.
\end{center}
\end{document}