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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement D 12 mai 2016}

Durée : 2 heures  
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

Le ténébrion meunier (Tenebrio molitor) est un insecte de l'ordre des coléoptères, de la
famille des ténébrionidés. Il est capable de vivre dans des denrées stockées très sèches, notamment
dans la farine, d'où son nom de meunier. (Wikipédia).

De par la facilité de son élevage, cet insecte est très utilisé dans les laboratoires de recherches
pour des études physiologiques sur son développement et sur son endocrinologie : sa nymphe
est très sensible à l'hormone juvénile par exemple. Le ver est également un très bon appât
notamment pour la pêche de la truite en étang.

\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{\large Partie A}\end{center}

\medskip

Kévin, un apprenti boulanger, décide d'élever des vers de farine pour son club de pêche. Il
commence son élevage $7$~mois avant l'ouverture de la saison de pêche. Dans un large bac adapté
qu'il entrepose à 27\degres~C, il dispose de la farine et $500$~vers, il laisse se faire les choses. Il suit l'évolution du nombre de vers et obtient les résultats suivants:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Nombre de quinzaines : $t_i$&0 	&1		&2 		&3 		&4		 &5 	&6 	&7	&8 &9\\ \hline
Nombre de vers : $N_i$		&500 &749 &\np{1122} &\np{1681} &\np{2518} &\np{3772} &\np{5650} &\np{8464} &\np{12678}&\np{18992}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Kévin se fait la remarque suivante : \og chaque quinzaine la population augmente d'environ 50\,\% \fg. Expliquer cette modélisation. Est-elle réaliste sur le long terme ?
\item Kévin souhaite connaitre le nombre de vers dont il disposera lors de l'ouverture de la prochaine
saison. Il présente ses données à son professeur de mathématiques qui lui propose
un nouveau modèle à partir du changement de variable suivant : $y_i = \ln \left(\dfrac{\np{33000}}{N_i} - 1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau donné en annexe. Arrondir au centième.
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement $\Delta$ de
$y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au centième.
		\item Parmi les propositions suivantes quelle est celle qui estime le mieux le nombre de vers
pour l'ouverture de la saison de pêche ? Justifier.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\np{33000} & \np{146000} & \np{9200} &\np{30300}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Maxime, un ami du club, affirme qu'à ce rythme là, le nombre de vers va dépasser \np{50000}.
	
Kévin a déterminé que le nombre de vers en fonction du nombre de quinzaines $t$ est donné
approximativement par le nombre :
	
	\[N(t) = \dfrac{\np{33000}}{1 + 75\text{e}^{- 0,48t}}.\]
	
Kévin peut-il confirmer l'affirmation de Maxime ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B}

\medskip

De retour à l'école, Kévin apprend que la température de refroidissement du pain à la sortie
du four dépend du type de pain et de la température ambiante supposée constante de la pièce
dans laquelle il est entreposé.

On note $a$ cette température constante de la pièce, exprimée en degrés Celsius.

Pour $t \geqslant 0$, on désigne par $y(t)$ la température du pain au bout d'un temps $t$ après sa sortie du four. La durée $t$ est exprimée en heures et la température $y(t)$ est exprimée en degrés Celsius.

\smallskip

\emph{Question préliminaire :} parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui correspond à l'évolution de la température du pain à la sortie du four en fonction du temps ? Argumenter votre
réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(10.5,200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-19)(10,200)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{152 2.71828 x 0.6 mul neg exp mul 28 add}
\psline(0,28)(10,28)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(10.5,200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-19)(10,200)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{180 2.71828 x 0.8 mul neg exp mul}
\psline(0,28)(10,28)
\end{pspicture}\\
Courbe 1 &Courbe 2\\
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(10.5,200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-0.9,-19)(10.5,200)
%\pscurve(0,180)(1,190)(2,185)(3,160)(4,140)(5,120)(6,105)(7,91)(8,80)(9,70)(10,63)(10.5,60)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{152 2.71828 x 0.6 mul neg exp mul 28 add 2.71828 x 0.6 mul neg exp x mul 148 mul add}
\psline(0,28)(10,28)
\end{pspicture}&\\ 
Courbe 3&\\
\end{tabularx}
\end{center}

La fonction $y$ vérifie l'équation différentielle :

\[(E) :\qquad  y'(t) + 6y(t) = 6a.\]


\textbf{\large I. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

Dans cette partie on considère que le pain est entreposé dans une pièce dont la température
constante est $a$. À la sortie du four, c'est-à-dire à l'instant $t = 0$, le pain est à une température
de $180$\degres C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation $\left(E_0\right) :\quad  y' + 6y = 0$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = k$, où $k$ est une constante réelle dépendant de $a$. 

Déterminer $k$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Démontrer que la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

$h(t) = (180 - a)\text{e}^{-6t} + a$ est la solution de $(E)$ correspondant à la condition initiale donnée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large II. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, le pain est entreposé à une température de 28\degres~C.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ définie pour tout $t \geqslant 0$ par 
		
		\[f(t) = 152\text{e}^{-6t} + 28.\]
		
Vérifier que $f$ est la solution de l'équation $(E)$ dans le contexte proposé.
		\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer la température $\theta$ du pain une demi-heure après la sortie du four. On
donnera une valeur approchée de $\theta$ à un degré près.
		\item Le boulanger sort une fournée de pains du four. Déterminer par la méthode de votre
choix au bout de quelle durée $D$ le pain sera à une température de 62\degres~C. On donnera
une valeur approchée de $D$ à une minute près.
	\end{enumerate}
\item Quelle devrait être la température, au degré près, de la pièce dans laquelle est entreposé
le pain afin que ce pain, sorti du four à 16~h, soit à une température de 30\degres~C à 16~h~30 ?
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2}\hfill 9 points

\medskip

Une mesure  précise des volumes est d'une grande importance au laboratoire. Elle peut être
effectuée à l'aide d'une pipette jaugée ou graduée. Une pipette sert à prélever un volume précis
d'un liquide (de 1 à 100~ml). Elles sont utilisées pour réaliser des dosages.


\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\textbf{\large Partie A Défauts de fabrication et conformité}

\medskip

On rappelle que la probabilité qu'un évènement E se réalise sachant que l'évènement $F$ (de
probabilité non nulle) est réalisé se note $P_F(E)$ et vérifie : $P_F(E) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}$.

\medskip

L'entreprise AGOREX fabrique et distribue des pipettes jaugées en verre. Deux chaînes de
production (A et B) permettent de répondre à la demande journalière.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 55\,\% des pipettes viennent de la chaîne de production A et 2,6\,\% des pipettes de cette chaîne sont inutilisables ;
\item[$\bullet~~$] 3,6\,\% des pipettes provenant de la chaîne de production B sont inutilisables.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une pipette dans le stock journalier de l'entreprise et on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og La pipette est sortie de la chaîne de production A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og La pipette est sortie de la chaîne de production B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $I$ l'évènement : \og La pipette est inutilisable \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les questions 1, 2 et 3 peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'une pipette soit inutilisable.
\item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'une pipette soit inutilisable est
égale à 0,03.
On prélève au hasard un échantillon de 100 pipettes dans le stock de l'entreprise. Le
nombre de pipettes produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement
à un tirage avec remise de $100$~pipettes. On considère la variable aléatoire $X$
qui, à tout prélèvement de $100$~pipettes, associe le nombre de pipettes inutilisables.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi suivie par $X$ en précisant ses paramètres.
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement: \og au moins une des pipettes est inutilisable \fg{} ?
		
On arrondira cette probabilité au millième.
	\end{enumerate}
\item Pour répondre au cahier des charges de certains laboratoires, l'entreprise AGOREX est
amenée à effectuer des tests de conformité. Une pipette utilisable est dite conforme si
sa contenance est comprise entre $98$~ml et $102$~ml. On note $\theta$ la variable aléatoire qui
à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance
(en millilitres). On admet que $\theta$ suit une loi normale de moyenne $100$ et écart type
$\sigma = 1,021$. 
	
On prélève au hasard une pipette dans la production.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour que cette pipette soit conforme ?
		\item Au final sur le lot de \np{1000}~pipettes produites combien seraient conformes ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large Partie B Estimation}

\medskip

Le laboratoire BIOMATOP effectuant des analyses se fournit en pipettes auprès de l'entreprise
AGOREX.

Dans cette partie on considère une grande quantité de pipettes livrées au laboratoire. On considère
un échantillon de $200$~pièces prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez
importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. Dans cet échantillon,
on constate que 5 pipettes sont cassées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la proportion inconnue $p_c$ des pipettes cassées de
cette livraison.
\item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p_c$ avec le coefficient de confiance
de 95\,\%.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE}

\bigskip

\begin{flushleft} \textbf{\large Exercice 1}
\end{flushleft}


\bigskip

%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Nombre de quinzaines $t_i$&0		&1 	&2 			&3 			&4 			&5 			&6 			&7 	&8 	&9
\\ \hline
Nombre de vers $N_i$&500 	&749&\np{1122} 	&\np{1681} 	&\np{2518} 	&\np{3772} 	&\np{5650} 	&\np{8464} &\np{12678} &\np{18992}\\ \hline
$y_i$				& 4,17 &3,76 	&	&	&2,49	&	&	& 1,06	& 0,47&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}