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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement D -- septembre 2020~\decofourright}

\medskip

Durée : 2 heures

\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}

\bigskip

\textbf{A. Évolution de la population de poissons au fil des mois dans certains aquariums}

\medskip

\emph{Les deux questions suivantes sont des QCM (questionnaire à choix multiples). Dans chaque question, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne proposition. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un aquarium, il y a initialement $10$ poissons. \\
On admet que la population de poissons augmente de 30\,\% chaque mois. \\
Quel est le nombre de poissons au bout de 5 mois ? 
Le résultat a été arrondi à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~12&\textbf{b.}~~50&\textbf{c.}~~160&\textbf{d.}~~37
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans un aquarium, au temps $t = 0$, on compte $10$ poissons. \\
On modélise le nombre de poissons présents dans l'aquarium par une fonction $g$. \\
On admet que la fonction $g$ est la solution de l'équation différentielle $y' + 0,3y = 0$ vérifiant la condition initiale $g(0) = 10$. Alors $g$  est définie par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$g(t) = 10\e^{0,3t}$&\textbf{b.}~~$g(t) = 10\e^{-0,3t}$&
\textbf{c.}~~$g(t) = 10 + \e^{0,3t}$&\textbf{d.}~~$g(t) = 10 + \e^{-0,3t}$\hfill{}
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude statistique}

\medskip

On cherche à évaluer l'effet d'un pesticide que l'on peut trouver dans les rivières, sur la diminution de la fertilité d'une population de poissons. Pour cela un laboratoire va disposer huit aquariums, contenant chacun dix poissons de la même espèce et de l'eau avec différentes quantités de ce pesticide. Au bout d'un mois on relève le nombre total d'œufs pondus par les poissons des différents aquariums et on obtient les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de l'aquarium		&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
Concentration en pesticide (en mg/l)
 $\left(x_i\right)$&0 &1 &4 &5 &6 &7 &8 &10\\ \hline
Nombre d' œufs pondus dans le mois $\left(N_i\right)$&249 &248&246 &230 &130&50 &40 &35\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Un ajustement affine ne semblant pas approprié, on effectue le changement de variable:

\[y = - \ln \left(\dfrac{250}{N} - 1\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau en annexe à rendre avec la copie. On arrondira les résultats à $10^{-3}$.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique
$\left(x_i~;~y_i\right)$. Arrondir à $10^{-3}$. Interpréter le résultat.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$. 

On arrondira $a$ et $b$ à $10^{-3}$
\item On note $N(x)$ la fonction modélisant le nombre d'œufs pondus dans un aquarium en un mois, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/l). 

	\begin{enumerate}
		\item En s'aidant du changement de variables $y= - \ln \left(\dfrac{250}{N} - 1\right)$, vérifier que $N(x)$ est solution de l'équation $\dfrac{250}{N(x)} - 1 = \e^{0,857x - 5,905}$. 
		\item En déduire que l'expression de la fonction $N$ est: 

\[N(x) = \frac{250}{1 + \e^{0,857x - 5,905}}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{C. Étude de la fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{250}{1+ 0,003\e^{0,9x}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$,\: $f' (x) = \dfrac{-0,675\e^{0,9x}}{\left(1+ 0,003\e^{0,9x} \right)^2}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et donner le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

Pour la suite, on admet que la fonction $f$ modélise le nombre d'œufs pondus par mois dans un
aquarium, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/l) sur l'intervalle [0~;~50).

\begin{enumerate}[resume]
\item La concentration efficace médiane notée CE50 est la concentration qui correspond à une diminution de 50\,\% du nombre d'œufs pondus par mois par rapport à une eau sans pesticide.

Déterminer cette concentration CE50 à $10^{-1}$ près. Expliquer votre démarche.
\item Une primitive $F$ de $f$ est calculée par un logiciel de calcul formel : 

\[F(x) = - \dfrac{\np{2500}}{9}\ln \left(\e^{-0,9x} + 0,003\right).\]

Estimer, à l'unité près, le nombre moyen d'œufs pondus par mois, pour des concentrations en
pesticide comprises entre $4$ et $6$ mg/l.

On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est:


\[\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 :\hfill 8 points}

\medskip
  
\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

\textbf{A. Étude du taux d'hémoglobine chez la femme en France}

\medskip

L'anémie se définit par un taux d'hémoglobine dans le sang inférieur aux valeurs normales. Une femme est en anémie lorsque son taux d'hémoglobine est inférieur ou égal à 12~g/dl.

Une femme est en polyglobulie si son taux d'hémoglobine est supérieur ou égal à 16~g/dl.

Soit $T$ la variable aléatoire qui, à chaque femme de la population française, associe son taux d'hémoglobine en grammes par décilitre (g/dl). On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 14$ et d'écart type $\sigma = 1,15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans la population française soit en anémie. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
\item En déduire, sans utiliser la calculatrice, la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans la population française soit en polyglobulie. Expliquer votre démarche. On pourra s'aider d'un schéma.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Prévisions d'erreurs d'analyses}

\medskip

Un laboratoire procède à $300$ analyses de taux d'hémoglobine chaque mois. On suppose que la probabilité qu'une analyse soit erronée est $0,005$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $300$ analyses, associe le nombre d'analyses erronées de cet échantillon. On suppose que la constitution d'un tel échantillon peut être assimilée à un tirage avec remise de $300$ analyses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? En préciser les paramètres.
\item ~

\parbox{0.55\linewidth}{Un tableur fournit les résultats suivants :

En utilisant cet extrait, déterminer en arrondissant les valeurs demandées à $10^{-2}$ :

\textbf{a.} la probabilité qu'aucune des $300$ analyses de l'échantillon ne soit erronée.

\textbf{b.} $P(2 \leqslant X \leqslant 4)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.}
\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
1	&$k$	&$P(X = k)$\\ \hline
2	&0		&\np{0,2222922}\\ \hline
3	&1		&\np{0,335113869}\\ \hline
4	&2		&\np{0,251756399}\\ \hline
5	&3		&\np{0,125667348}\\ \hline 
6	&4		&\np{0,046888445}\\ \hline
7	&5		&\np{0,013948723} \\ \hline
8	&6		&\np{0,00344529}\\ \hline
9	&7		&\np{0,000727358}\\ \hline
10	&8		&\np{0,000133867}\\ \hline
11	&9		&2, 18253\texttt{E}-05\\ \hline
\end{tabularx}}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Délai des résultats des analyses du taux d'hémoglobine}

\medskip

Un laboratoire qui pratique des analyses affirme que le délai moyen pour fournir les résultats d'une
analyse du taux d'hémoglobine est de 60 minutes.

On souhaite tester cette hypothèse à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance de 95\,\%.

On note $m$ le délai moyen pour fournir le résultat d'une analyse et on définit les hypothèses nulle et alternative suivantes :

$H_0$ \: \og $m = 60$ \fg{} et $H_1$  \og $m \ne 60$ \fg.

%\end{enumerate}

Soit $\overline{Y}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $100$ analyses associe le délai moyen pour fournir les résultats de ces analyses.

On admet que $\overline{Y}$ suit la loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $1,5$.

Donc sous l'hypothèse \og $H_0$ est vraie \fg, $\overline{Y}$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart type $1,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'arrondi au centième du nombre réel $h$ vérifiant $P(60 - h \leqslant  \overline{Y} \leqslant 60 + h) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item On prélève un échantillon de $100$ analyses et on trouve un délai moyen pour fournir les résultats de $\overline{Y} = 62,5$ minutes. Que peut-on en conclure ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1 - Partie A - Question 1}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Concentration en pesticide (en mg/l) 
$\left(x_i\right)$							&0 		&1 	&4 		&5 	&6 		&7 		&8 	&10\\ \hline
Nombre d' œufs pondus
 dans le mois $\left(N_i\right)$			&249 	&248&246 	&230&130	&50 	&40 &35\\ \hline
$y_i= - \ln \left(\dfrac{250}{N_i} - 1\right)$&5,52	&	&		&	&0,08	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 - Partie C - Question 3}

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.032cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-10)(15,275)
\multido{\n=0.0+0.2}{76}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,275)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,275)}
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\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=25](0,0)(0,0)(15,275)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}