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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé par Y. Monceaux
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ 13 mai 2015 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Sur une chaîne de montage, une pièce de 10~kg est située sur un plateau.

On note $f(t)$ la cote (en mètres) du plateau à l'instant $t$ (en secondes), calculée par rapport au sol.

On suppose que $f$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

L'objectif de l'exercice est d'étudier $f$ afin de réaliser correctement le transfert de la pièce sur un tapis roulant.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(5.8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.2,-0.3)(5.8,4)
\psline(0.5,0)(0.5,1.1) \psline(2.5,0)(2.5,1.1)
\psline(0.6,0.9)(0.6,2) \psline(2.4,0.9)(2.4,2) 
\psline(0.7,2.3)(0.7,1.6)(2.3,1.6)(2.3,2.3)
\psline(0.3,2.3)(2.7,2.3)
\uput[l](0,2.3){$f(t)$}
\psline(3,0.7)(5.6,0.7)
\psline(3,1.2)(5.6,1.2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.2,2.3)(1.8,2.8)\uput[u](1.5,2.8){$m$}  
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center} 

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ :

\[ y'' + 5y' + 4y = 10,\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, \:$y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 + 5r + 4 = 0$.
		\item En déduire les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle ($E_0$) :
	
\[y'' + 5y'  + 4y = 0.\]
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
On fournit les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|X|}\hline
Équations									&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
Équation différentielle 					&Si $\Delta > 0,\: f(t) = \lambda\text{e}^{r_1t} + \mu \text{e}^{r_2t}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.\\
\multicolumn{1}{|c|}{$ay'' + by' + cy = 0$}	&Si $\Delta = 0,\: f(t) = (\lambda t + \mu)\text{e}^{rt}$ où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.\\
\multicolumn{1}{|l|}{Équation caractéristique :}&Si $\Delta < 0,\: $\\
\multicolumn{1}{|c|}{$ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.}&
$f(t) = [\lambda \cos (\beta t) + \mu \sin (\beta t)]\text{e}^{\alpha t}$ où $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$ sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Un logiciel de calcul formel résout ci-dessous l'équation différentielle (E).

La ligne d'entrée (\%i1) est la ligne de commande de la résolution de l'équation différentielle ($E$).

La ligne notée (\%o1) est la ligne de sortie.

Ce logiciel note \%$\text{e}^{-t}$ la quantité $\text{e}^{- t}$ et \%k1 et \%k2 deux constantes réelles $k_1$ et $k_2$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l c|}\hline
(\%i1)& \quad ode2 ($'\text{diff}(y,t,2)+5*'\text{diff}(y, t) + 4*y=10,y, t) ;$\\
(\%o1)&$y = \%k1 *\%\text{e}^{-t} + \%k2\%\text{e}^{-4t}+ \frac{\strut5}{\strut2}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
L'étude du système mécanique montre que $f$ est la solution de l'équation différentielle ($E$) vérifiant les conditions initiales $f(0) = 5$ et $f\,'(0) = - 1$.

En utilisant le résultat du logiciel, qu'on ne demande pas de démontrer, déterminer une expression de $f(t)$ en fonction de $t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthogonal \Oij{} de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 3 \text{e}^{ - t}  - 0,5\text{e}^{- 4 t} + 2,5.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(7.8,6.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=6](0,0)(7.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(7.5,6.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{3 2.71828 x exp div 0.5 2.71828 4 x mul exp div  sub 2.5 add}
\uput[u](7.2,2.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](7.5,0){$t$}
\uput[r](0,6.5){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une expression de la dérivée de $f$.
		
La ligne d'entrée (\%i2) est la ligne de commande d'une écriture factorisée de la dérivée
de $f$.
		
La ligne notée (\%o2) est la ligne de sortie.
		
Ce logiciel note \%e$^{- 4 t}$ la quantité $\text{e}^{- 4 t}$ et \%e$^{3 t}$ la quantité $\text{e}^{3t}$.
		
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
(\%i2) factor (diff ($3*\text{exp} (- t) - 0.5*\text{exp}(- 4*t)+2.5,t)$);\\
\emph{rat :  replaced 2.0 by 2/1 = 2.0}\\
(\%o2) \quad  -\%e$^{- 4 t}(3 \%\text{e}^{3 t} - 2)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On admet que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\:\: $3 \text{e}^{3t} - 2 > 0$. En utilisant, sans le démontrer, le résultat du logiciel, justifier la conjecture de la question 1. a.
	\end{enumerate}
\item Le logiciel de calcul formel permet d'obtenir le développement limité de la fonction $f$, à
l'ordre 2, au voisinage de $0$.
	
La ligne d'entrée (\%i3) est la ligne de commande de ce développement limité.
	
La ligne notée (\%o3)/T/ est la ligne de sortie.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline	
(\%i3) taylor $(3*\text{exp}(-t)-0.5*\text{exp}(-4*t)+2.5,t,0,2)$ ;\\ 
\emph{rat : replaced 2.5 by 5/2 = 2.5}\\
\emph{rat : replaced $-0.5$ by $-1/2$ = $-0.5$}\\
(\%o3)/T/\: \: $5 - t - \dfrac{5t^2}{\strut2} + \ldots$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}
		
\medskip
		
Le développement limité de la fonction $f$, à l'ordre 2, au voisinage de 0 est :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$5 - t - \dfrac{5}{2}t^2$&$5 - t - \dfrac{5}{2}t^2 + t^2 \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon (t)= 0$&$5 - t + t \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon (t)= 0$& $-\dfrac{5t^2}{2}  + t^2\epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon (t)= 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse~$0$.
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.

On fournit les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^t = + \infty$ ; $\displaystyle\lim_{t \to - \infty} \text{e}^t = 0$.
		\item Interpréter graphiquement la limite obtenue à la question 3. a. en termes d'asymptote.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Application au transfert de la pièce sur le tapis roulant}

\medskip

On admet la modélisation selon laquelle la cote $f(t)$ (en mètres) du plateau à l'instant $t$ (en
secondes), calculée par rapport au sol, est donnée par la fonction $f$ définie et représentée
dans la partie B.

La partie supérieure du tapis roulant est située à 2,5~mètres du sol. La pièce peut être
transférée dès qu'elle se situe à un centimètre du tapis roulant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir de quel instant $t_0$ la pièce peut-elle être transférée sur le tapis roulant ?

\emph{Pour cette question, on attend une valeur approchée de $t_0$ arrondie au dixième par excès,
obtenue à l'aide de la calculatrice, en expliquant la méthode suivie.}

\item L'algorithme suivant affiche les bornes d'un encadrement de $t_0$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables :		&$a, b, m$\\
Initialisation :& $a$ prend la valeur 5\\
				&$b$ prend la valeur 6\\
Traitement :	&Tant que $b - a > 0,1$\\
				&\hspace{0.4cm}$m$ prend la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\
				&\hspace{0.4cm}Si $f(m) > 2,51$ alors $a$ prend la valeur $m$\\
				&\hspace{0.4cm}Sinon $b$ prend la valeur $m$\\
				&\hspace{0.4cm}Fin de Si\\
				&Fin de Tant que\\
Sortie :		&Afficher $a$ et $b$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner cet algorithme \og à la main \fg{} sur trois étapes en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
		&étape 1&étape 2 	&étape 3\\ \hline
$a$		&5		&			&\\ \hline
$b$		&6		&			&\\ \hline
$b - a$	&		&			&\\ \hline
$m$		&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Que peut-on dire de l'amplitude de l'encadrement de $t_0$ fourni par cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf mention du contraire,
à arrondir à }\boldmath$10^{-3}$\unboldmath
\end{center}

Une entreprise fabrique et assemble des pièces métalliques pour l'industrie aéronautique.
Elle conçoit en particulier des rivets flush (à tête fraisée), rivets visibles depuis l'extérieur des
avions. Ce type de rivet permet de faire en sorte que la tête du rivet affleure la surface de la
tôle.

\bigskip

\textbf{A. Loi exponentielle}

\medskip

Une machine en charge de la fabrication de ces rivets doit régulièrement être calibrée. On
considère que la durée $T$ de fonctionnement, exprimée en heures, entre deux calibrages, est
une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \mbox{$\lambda = 0,005$}.

On rappelle que, pour tout nombre réel positif $t$, on a :

\[P( T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(T \leqslant 100)$.
\item On rappelle que l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 

$E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$.

Calculer $E(T)$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi normale}

\medskip

On prélève au hasard un rivet dans un stock important. On note $E$ l'évènement : \og le rivet
prélevé est non conforme \fg. On suppose que $P(E) = 0,01$.

Les rivets sont conditionnés par lots de 500. On prélève au hasard 500~rivets. On suppose
que le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 500~rivets ainsi prélevé, associe
le nombre de rivets non conformes de ce lot.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $P(X = 0)$. Interpréter le résultat obtenu.
		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, la probabilité qu'un lot de 500~rivets ainsi prélevés
contienne au plus 7 rivets défectueux.
	\end{enumerate}
\item On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire, $X$ peut être approchée par une
loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'on peut considérer. que cette loi normale a pour moyenne~$5$ et pour écart
type $2,22$.
		\item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $5$ et d'écart
type $2,22$.
		
Calculer, à l'aide de la calculatrice, $P(Y \leqslant 7,5)$.
		
Comparer avec la probabilité obtenue à la question 2. b.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble
des diamètres, en millimètres, des rivets constituant une prochaine livraison à effectuer.
On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque rivet prélevé au hasard dans la livraison,
associe son diamètre. La variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et
d'écart type $\sigma = 0,15$.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 rivets
prélevés dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces rivets. La livraison est
suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec
remise.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $\mu = 45$ \fg, dans ce cas la livraison est dite conforme pour le
diamètre.

L'hypothèse alternative $H_1$ est  \og $\mu  \ne 45$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que sous l'hypothèse nulle $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de
moyenne $45$ et d'écart type $0,015$. On souhaite déterminer, sous l'hypothèse nulle $H_0$, le réel
positif $h$ tel que $P(45 - h \leqslant  \overline{Z} \leqslant 45 + h) = 0,95$.

Pour cela, on a tabulé ci-dessous, la probabilité $P(45 - h \leqslant  \overline{Z} \leqslant 45 + h)$ pour différentes valeurs de $h$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash \tiny}X|}}\hline
B2&\multicolumn{8}{|l|}{\footnotesize =LOI.NORMALE(45+B1;45;0.015;VRAI)-LOI.NORMALE(45-B1;45;0.015;VRAI)}\\ \hline
	&\tiny A	&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H\\ \hline
1	&\tiny $h$&0,029	&0,0291	&0,0292	&0,0293	&0,0294	& 0,0295& 0,0296\\ \hline
2	&\scriptsize$P(45 - h\leqslant\overline{Z}\leqslant 45 + h)$&\np{0,9468049}&\np{0,9476203}&\np{0,9484253}&\np{0,9492199}&\np{0,9500042}&\np{0,9507783}&\np{0,9515424}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Exploiter cette capture d'écran pour déterminer une valeur approchée de $h$ par excès à
$10^{-4}$ près.
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon aléatoire de 100~rivets dans la livraison et on observe que, pour
cet échantillon, la moyenne des diamètres est 
$\overline{z} = 45,031$~mm.

Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre?
\end{enumerate}
\end{document}