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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%merci à Philippe Vercruysse  de nous avoir fourni ce sujet
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A -- sujet de secours}}
\rfoot{\small{mai 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur mai 2015~\decofourright\\[6pt] Métropole\footnote{\small Contrôle industriel et régulation automatique\\Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques\\Systèmes électroniques\\Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire\\Électrotechnique\\Génie Optique} groupement A -- Sujet de secours}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{L'exercice porte sur un circuit RLC série. On étudie plus particulièrement l'évolution de la tension aux bornes du condensateur pour différentes valeurs de la résistance.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,5)
%\psgrid
\cnode(7.5,0){0.1}{A}\cnode(7.5,3.75){0.1}{B}
\pnode(6,3.75){C}\pnode(4,3.75){D}\pnode(1.5,3.75){E}\pnode(3,3.75){F}
\pnode(6.5,0){G}\pnode(6.5,3.75){H}
\psline[linewidth=1.25pt](7.5,0)(0.5,0)(0.5,3.75)(1.75,3.75)
\psline[linewidth=1.25pt](2.75,3.75)(4,3.75)
\resistor(E)(F){$R$} \coil[dipolestyle=elector](D)(C){$L$} 
\pscircle(0.5,1.875){0.25}
\psline{->}(0,0.75)(0,3.5)\uput[l](0,1.85){$E$}
\psline{->}(7.5,0.75)(7.5,3.5)\uput[r](7.5,2.125){$v(t)$}
\psline[linewidth=1.25pt](7.5,3.75)(6,3.75)
\capacitor[](G)(H){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir de l'instant $t =0$, le circuit est soumis à une tension constante $E$ égale à $10$ volts.

On note $R$, la valeur de la résistance en ohm (Q), $L$ l'inductance de la bobine en henry (H) et $C$ la capacité du condensateur en farad (F).

La tension, en volt (V), aux bornes du condensateur à l'instant $t$ (en seconde) est modélisée par la fonction $t \longmapsto v(t)$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie on prend $R = 200 \Omega$, $L = 250 \times 10^{-3}~H$ et $C = 10^{-6}$~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction $v$, pour les valeurs de $R, L$ et $C$ ci-dessus, est donnée sur le document réponse.

La réponse du système présente deux phases, une phase transitoire suivie d'une phase d'équilibre (ou régime permanent).

On considère que le régime permanent est atteint à partir de l'instant $t_0$ tel que, pour la première fois, on ait: pour tout $t \geqslant t_0$, $v(t)$ est compris entre 9,5V et 10,5 V.

Déterminer graphiquement une valeur approchée de $t_0$. 

Faire apparaitre sur le graphique les éléments utilisés pour cette détermination.
\item La fonction $v$ a pour expression : 

\[v(t) = [-10\cos (\np{2000}t) - 2\sin (\np{2000}t)]\text{e}^{- 400t} + 10.\]

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a défini la fonction $v$ (commande 1, dérivé cette
fonction (commande 2, puis factorisé cette dérivée (commande 3).

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|p{10cm}|}\hline
1	&$v(t) : =(-10*\cos (\np{2000}t) - 2*\sin (\np{2000}t)*\text{exp}(-400t)+10$\\ \cline{2-2}
	&$t \to ((-10)*\cos (\np{2000}*t)-2*\sin (\np{2000}*t))*\text{exp}(-400*t) + 10$\\ \hline
2	&derive $(v(t), t)$\\ \cline{2-2}
	&$-400*\text{exp}(-400*t)*(-10*\cos (\np{2000}*t)- 2*\sin (\np{2000}*t)) + \text{exp}(- 400*t) *(-\np{4000}*\cos (\np{2000}*t)+ \np{20000}*\sin (\np{2000}*t))$\\ \hline
3	&factoriser $(v'(t))$\\ \cline{2-2}
	&$\np{20800}*\text{exp}(-400*t)*\sin (\np{2000}*t)$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des informations ci-dessus, déterminer les valeurs exactes des coordonnées du point A figurant sur la représentation graphique de la fonction $v$.
		\item Interpréter les valeurs trouvées au \textbf{a.} dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{On souhaite atteindre le régime permanent plus rapidement et réduire l'amplitude des oscillations pour préserver le bon fonctionnement du circuit.\\
Pour cela, on modifie la caractéristique de la résistance.}

\medskip

Dans cette partie on prend $R = 800\Omega$, $L = 250 \times 10^{-3}$~H et $C = 1O^{-6}~$F. 

Les lois de la physique permettent d'écrire, pour tout réel positif ou nul $t$ :

\[LCv''(t) + RC v'(t) + v(t) = E.\]

On admet de plus que $v(0) = 0$ et $v'(0) = 0$.

On rappelle que $E = 10$~V.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

Résolution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle

\[LCv''(t) + R C v'(t) + v(t) = 10 \quad (1)\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner une fonction constante $y_0$ solution particulière de l'équation différentielle (1).
		\item On considère l'équation différentielle de second membre nul associée à l'équation (1). 
		
		Compte tenu des valeurs de $R$, $L$ et $C$, cette équation s'écrit:
		
\[2,5 \times 10^{-7}y''(t) + 8 \times 10^{-4}y'(t) + y(t) = 0 \quad (2)\] 

Déterminer les solutions de l'équation différentielle (2).

On rappelle que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|X|}\hline
\textbf{Équation différentielle}&\textbf{Solutions}\\ \hline
\centering $ax'' + bx' + cx = 0$

avec $a$, $b$ et $c$ des constantes réelles.

Equation caractéristique :

$ar^2 + br + c = 0$, de discriminant $\Delta$&Si $\Delta > 0 : t \longmapsto \lambda\text{e}^{r_1t} + \mu \text{e}^{r_2t}$, avec $\lambda,\, \mu$ constantes réelles et $r_1,\, r_2$ les solutions de l'équation caractéristique.

Si $\Delta = 0\, : t \longmapsto (\lambda t + \mu)\text{e}^{rt}$ ,avec $\lambda,\, \mu$ constantes réelles et $r$ la solution de l'équation caractéristique.

Si $\Delta < 0\, : t~ \longmapsto [\lambda \cos (\beta t) + \mu \sin (\beta t)]\text{e}^{\alpha t}$, avec $\lambda,\, \mu$ constantes réelles et $\alpha + \text{i}\beta$  et $\alpha - \text{i}\beta$ les solutions de l'équation caractéristique.\\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}
 
		\item En déduire les solutions de l'équation différentielle (1).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la valeur de $v(0)$, montrer que pour tout réel positif $t$ :
		
$v(t) = (-10 \cos(\np{1200}t) + \mu \sin (\np{1200}t))\text{e}^{-\np{1600}t} + 10$, où $\mu$ est une constante réelle.
		\item En utilisant la valeur de $v'(0)$, montrer que $\mu = - \dfrac{40}{3}$.
	\end{enumerate}
\item D'après la question précédente on a, pour tout réel positif $t$ :

$v(t) = (-10 \cos(\np{1200}t)  - \dfrac{40}{3} \sin (\np{1200}t))\text{e}^{-\np{1600}t} + 10$.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Arrondir les résultats au centième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 0& 0,001 &0,002 &0,003 &0,004 &0,01\\ \hline
$v(t)$&& 6,76&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Sur le document réponse, tracer point par point la représentation graphique de la fonction $v$ déterminée en Partie B dans le repère fourni.
		\item Les objectifs visés par le changement de résistance ont-ils été atteints ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice on étudie le signal fourni par un capteur de vitesse d'un tapis roulant.} 

\emph{Le tapis a une vitesse constante mais le signal issu du capteur est perturbé.}

\medskip

\emph{Dans la partie {\rm A}, on analyse le signal. Dans la partie {\rm B}, on étudie l'influence du filtre passe-bas choisi pour éliminer les perturbations du signal initial.}

\bigskip

\textbf{Partie A: Analyse d'un signal perturbé}

\medskip

Le signal fourni par le capteur est modélisé par la fonction périodique f représentée ci-dessous.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(6.5,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-4,0)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-4,6)(-3,5)(-2,6)(-1,5)(0,6)(1,5)(2,6)(3,5)(4,6)(5,5)(6,6)(7,5)
\uput[u](2.5,5.6){\blue $f(t)$}
\uput[u](5.4,0){temps (s)}
\uput[r](0,6.8){(V)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la période T de la fonction f ?
		\item La représentation graphique de la fonction f est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées. Quelle propriété de la fonction $f$ cela illustre-t-il ?
		\item Quelle est l'expression de $f(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] ?
Et pour t appartenant à l'intervalle [1~;~2] ?
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est développable en série de Fourier.

On note $s$ la série de Fourier associée à la fonction $f$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On rappelle que $s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right)$ ,avec $\omega = \dfrac{2\pi}{n}$ ,et que :\\

$\begin{array}{l c l}
a_0& =& \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\:\text{d}t,\\
a_n&=&\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\cos(n \omega t)\:\text{d}t = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{\frac{T}{2}}^T f(t)\cos(n \omega t)\:\text{d}t \: \text{pour }\: n \geqslant 1\\
b_n&=&\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\sin(n \omega t)\:\text{d}t = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{\frac{T}{2}}^T f(t)\sin(n \omega t)\:\text{d}t  \: \text{pour }\: n \geqslant 1\\\\ 
\end{array}$\\ \hline
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $a_0 = 5,5$.
		\item Justifier que pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : $b_n = 0$.
1 cos(nn)-1 
		\item On admet que : $\displaystyle\int_0^1  t \cos(n \omega t)\:\text{d}t = \dfrac{\cos (n\pi) ^1}{n^2 \pi^2}$.

En déduire l'expression de $a_n$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1.
		\item Calculer $a_n$ pour $n$ compris entre 1 et 5. 
		
Donner les valeurs exactes puis les valeurs approchées arrondies à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Atténuation des perturbations}

\medskip

À l'issue de l'étude de la partie A, on ajoute au dispositif un filtre passe-bas constitué d'une résistance $R$ en série avec un condensateur de capacité $C$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,5)
%\psgrid
\pnode(6,0){A}\pnode(6,3.75){B}
\pnode(6,3.75){C}\pnode(4,3.75){D}\pnode(3,3.75){E}\pnode(5,3.75){F}
\pnode(6,0){G}\pnode(6,3.75){H}
\psline[linewidth=1.25pt](7.5,0)(0.5,0)
\psline[linewidth=1.25pt](0.5,3.75)(3.5,3.75)
\psline[linewidth=1.25pt](5,3.75)(7.5,3.75)
\resistor(E)(F){$R$} 
%\pscircle(0.5,1.875){0.25}
\psline{<->}(0.5,0)(0.5,3.75)\uput[l](0,1.85){$e(t)$}
\psline{<->}(7.5,0)(7.5,3.75)\uput[r](7.5,2.125){$s(t)$}
\psline[linewidth=1.25pt](7.5,3.75)(6,3.75)
\capacitor[](G)(H){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

La tension d'alimentation du circuit, exprimée en volt, est représentée par une fonction e qui dépend du temps mesuré en seconde.

La tension \og de sortie \fg{} aux bornes du condensateur, exprimée en volt, est représentée par une fonction $s$ qui dépend du temps mesuré en seconde.

\medskip

On note $\mathcal{U}$ la fonction échelon unité définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{U}(t) &=& 0 \, \text{si}\, t < 0\\
\mathcal{U}(t) &=& 1 \, \text{si}\, t \geqslant 0
\end{array}\right.\]

On admet que les fonctions $e$ et $s$ possèdent des transformées de Laplace, notées $E$ et $S$. 

On rappelle quelques formules relatives à la transformation de Laplace :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Fonction causale}		&\textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$	&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}$\\ \hline
$t \longmapsto t\mathcal{U}(t)$	&$p \longmapsto \dfrac{1}{p^2}$\\ \hline
$t \longmapsto i^n\mathcal{U}(t),\, \text{avec}\, n \geqslant 1$&$p \longmapsto \dfrac{n!}{p^{n+1}} \text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{at}\mathcal{U}(t)$,\:avec  $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac{1}{p-a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline
\textbf{Fonction causale}		&\textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto f(t) \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto F(p)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t-a)\mathcal{U}(t-a)$,\:avec  $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto f(at)\mathcal{U}(t)$,\:avec  $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{p}{a}\right)$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$,\:avec  $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline
$t \longmapsto f'(t)\mathcal{U}(t)$ &$p \longmapsto pF(p) - f\left(0^+\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $e$ est définie, pour tout réel $t$, par : 

\[e(t) = t'\mathcal{U}(t) - (t -1)'\mathcal{U}(t -1).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement la fonction $e$ sur le \textbf{document réponse}.
		\item Montrer que : $E(p) = \dfrac{1}{p^2}\left(1 - \text{e}^{-p}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On admet que les fonctions $e$ et $s$ vérifient, pour $t$ différent de 0 et de 1 : 

\[RCs'(t) + s(t) = e(t),\quad  (*)\]

De plus, on suppose que $s(t) = 0$ pour tout nombre réel $t$ négatif ou nul. On a donc : $s(0) = 0$.

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'égalité (*) montrer que :

\[S(p) = \dfrac{1}{p^2 (RCp + 1)}\left(1 - \text{e}^{-p}\right).\]
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
\textbf{Pour la suite de l'exercice on prend} $RC = 1$~s (c'est-à-dire une seconde)
\end{tabularx} 

\begin{enumerate}[resume]
\item 0n a donc : $S(p) = \dfrac{1}{p^2 (p + 1)}\left(1 - \text{e}^{-p}\right)$,
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que : $\dfrac{1}{p^2(p + 1)} = \dfrac{1}{p^2} - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p + 1}$.
		\item Déterminer l'original $b(t)$ de $B(p) = \dfrac{1}{p^2(p + 1)}$.
		\item En déduire que pour tout réel $t$:\,  $s(t) = \left(t -1 + \text{e}^{-t}\right)\mathcal{U}(t) - \left[(t - 1) - 1 + \text{e}^{- (t - 1)}\right]\mathcal{U}(t -1)$.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour $t < 0$, on a $s(t) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $s(t)$ en fonction de $t$ pour $0 \leqslant t < 1$.
		\item Justifier que, pour $t \geqslant 1$,\,  $s(t) = 1 + \text{e}^{-t}(1 - \text{e})$.
		\item Justifier que la fonction $s$ est croissante sur les intervalles [0~;~1[ et $[1~;~+ \infty[$.
		\item Quelle est la limite de $s(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs de $s(t)$ donné sur le document réponse. Arrondir au centième.
		\item Représenter la fonction $s$ dans le même repère que la fonction $e$ .
		\item Observer les représentations graphiques des fonctions $e$ et $s$ . Que peut-on conclure?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Document réponse à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1- Partie A - Questions 1. et 2.a. -- Partie B - Question 3.b.}

\medskip

\psset{xunit=579cm,yunit=0.5cm,comma=true,algebraic=true}%
\begin{pspicture}(-0.001,-2)(0.016,17)
\multido{\n=0.0000+0.0005}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-0.2)(\n,17)}
\multido{\n=0.00+0.01}{2}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-0.2)(\n,17)}
\multido{\n=0.0+0.5}{35}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n,)(0.016,\n)}
\multido{\n=0+10}{2}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n,)(0.016,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.002,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(0.016,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.002,Dy=2](0,0)(0,0)(0.016,17)
\uput[u](0.0155,0){$t$}\uput[r](0,16.5){$v(t)$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{0.015}{10-(10*cos(2000*x)+2*sin(2000*x))*(2.71828^(-400*x))}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0.001571,15.2551)\uput[u](0.001571,15.2551){A}
\end{pspicture}


\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 -- Partie B-Questions 1. a. et 5.}

\medskip
\psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm,arrowsize=2pt 4,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(4.25,1.5)
\multido{\n=-0.75+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-0.2)(\n,1.5)}
\multido{\n=-0.5+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,-0.2)(\n,1.5)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{18}{\psline[linewidth=0.1pt](-0.75,\n)(4.25,\n)}
\multido{\n=0.0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.4pt](-0.75,\n)(4.25,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(4.25,1.5)
\uput[u](4.2,0){$t$}
\end{pspicture}

\bigskip \medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 0&0,25&0,5&0,75&1&1,5&2&3&4\\ \hline
$s(t)$&0&0,03&&0,22&&0,62&&0,91&0,97\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}